Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Відбіркові тести на IMOTST-2007-004

Найменші натуральні значення виразу 7m²−11n²

Знайдіть два найменші натуральні числа, які можна записати у вигляді 7m2−11n27 m^{2}-11 n^{2} з натуральними числами mm і nn.
10–11 класиМіркування за модулем
Відбіркові тести на IMOTST-2007-009

Точка з рівними різницями кутів

Нехай точка PP лежить усередині трикутника ABCA B C і задовольняє умову ∡BPC−∡BAC=∡CPA−∡CBA=∡APB−∡ACB.\varangle B P C-\varangle B A C=\varangle C P A-\varangle C B A=\varangle A P B-\varangle A C B . Доведіть, що тоді виконується: PA‾⋅BC‾=PB‾⋅AC‾=PC‾⋅AB‾\overline{P A} \cdot \overline{B C}=\overline{P B} \cdot \overline{A C}=\overline{P C} \cdot \overline{A B} Спочатку зауважимо, що ∡BPC=60∘+α,∡CPA=60∘+β,∡APB=60∘+γ\varangle B P C=60^{\circ}+\alpha, \varangle C P A=60^{\circ}+\beta, \varangle A P B=60^{\circ}+\gamma. З міркувань симетрії достатньо показати одну з двох стверджуваних рівностей. (Вказівка: для кута ∡XYZ\varangle X Y Z, де 0∘<∡XYZ<180∘0^{\circ}<\varangle X Y Z<180^{\circ}, у математично додатному напрямі покладемо ∡ZYX:=180∘−∡XYZ\varangle Z Y X:= 180^{\circ}-\varangle X Y Z. За цією домовленістю, наприклад, для чотирьох попарно різних точок W,X,Y,ZW, X, Y, Z на колі завжди ∡XYZ=∡XWZ\varangle X Y Z=\varangle X W Z).
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові тести на IMOTST-2007-007

Число Рамсея для неперетинних пар

Двох людей назвемо знайомою парою, якщо вони знають одне одного, а якщо вони не знають одне одного — назвемо їх незнайомою парою (знайомство чи незнайомство завжди взаємне). Нехай m,nm, n — натуральні числа. Знайдіть найменше натуральне число kk з такою властивістю: у будь-якій групі з kk людей завжди знайдуться 2m2 m людей, які утворюють mm попарно неперетинних знайомих пар, або знайдуться 2n2 n людей, які утворюють nn попарно неперетинних незнайомих пар.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2007-006

Раціональні косинуси послідовних кратних

Нехай θ\theta — кут з інтервалу (0,π/2)(0, \pi/2). Відомо, що cos⁡θ\cos \theta — ірраціональне число, а cos⁡kθ\cos k\theta і cos⁡[(k+1)θ]\cos[(k+1)\theta] — раціональні числа для деякого натурального числа kk. Доведіть, що θ=π/6\theta = \pi/6.
10–11 класиПеретворення тригонометричних вир…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2007-011

Добрі пари r, s для значень многочлена 2 і 5

Пара (r,s)(r, s) натуральних чисел називається доброю, якщо існують многочлен PP з цілими коефіцієнтами та попарно різні цілі числа a1,…,ara_{1}, \ldots, a_{r} і b1,…,bsb_{1}, \ldots, b_{s}, такі, що виконується P(a1)=P(a2)=…=P(ar)=2 і P(b1)=P(b2)=…=P(bs)=5P\left(a_{1}\right)=P\left(a_{2}\right)=\ldots=P\left(a_{r}\right)=2 \quad \text{ і } \quad P\left(b_{1}\right)=P\left(b_{2}\right)=\ldots=P\left(b_{s}\right)=5 a. Покажіть, що для кожної доброї пари (r,s)(r, s) натуральних чисел виконується r,s≤3r, s \leq 3. b. Знайдіть усі добрі пари.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові тести на IMOTST-2007-010

Подільність степеня мінус показник на фіксоване число

З'ясуйте, чи існують натуральні числа aa і bb такі, що aa не ділить bn−nb^n - n для всіх натуральних чисел nn.
10–11 класиТеорема Ейлера
Відбіркові тести на IMOTST-2007-012

Подібні трикутники у конструкції з дотичними

Трикутник ABCABC вписано в коло ω\omega. Дотичні до кола ω\omega у точках BB і CC перетинаються в точці TT. Точка SS лежить на промені BCBC, причому AS⊥ATAS \perp AT. Точки B1B_1 і C1C_1 лежать на промені STST (причому C1C_1 лежить між B1B_1 і SS) так, що B1T=BT=C1TB_1T = BT = C_1T. Доведіть, що трикутники ABCABC і AB1C1AB_1C_1 подібні.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2007-015

Нерівності для додатних дійсних чисел з умовою на abc

Нехай aa, bb, cc — додатні дійсні числа, для яких a+b+c≥abca+b+c \geq a b c. Доведіть, що принаймні дві з таких трьох нерівностей є правильними: 2a+3b+6c≥6,2b+3c+6a≥6,2c+3a+6b≥6\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{6}{c} \geq 6, \quad \frac{2}{b}+\frac{3}{c}+\frac{6}{a} \geq 6, \quad \frac{2}{c}+\frac{3}{a}+\frac{6}{b} \geq 6
10–11 класиЧислові нерівності
Відбіркові тести на IMOTST-2007-016

Обернення префікса перестановки за її першим елементом

Нехай a1,a2,…,a2007a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2007} — послідовність, яка містить кожне з чисел 1,2,…,20071,2, \ldots, 2007 рівно один раз. Далі багаторазово виконується така операція: якщо перший член послідовності дорівнює nn, то порядок перших nn членів послідовності змінюється на протилежний. Доведіть, що після скінченної кількості таких операцій послідовність починатиметься з числа 11.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2007-017

П'ятикутник з рівними ланцюжками кутів

Нехай ABCDEA B C D E — опуклий п'ятикутник, для якого ∠BAC=∠CAD=∠DAE і ∠ABC=∠ACD=∠ADE\angle B A C=\angle C A D=\angle D A E \quad \text{ і } \quad \angle A B C=\angle A C D=\angle A D E Діагоналі BDB D і CEC E перетинаються в точці PP. Доведіть, що пряма APA P перетинає сторону CDC D в її середині.
10–11 класиЛанцюжок подібних трикутників
Відбіркові тести на IMOTST-2007-018

Факторіал, що ділить степінь плюс один

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує рівно одне ціле число aa, 0<a<n!0 < a < n!, таке, що n!∣an+1n! \mid a^{n} + 1
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Відбіркові тести на IMOTST-2007-020

Функціональне рівняння зі степенем на додатних числах

Знайдіть усі функції f:R+→R+f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}, такі, що для всіх x,y>0x, y>0 виконується f(xy)=f(x)f(y)f\left(x^{y}\right)=f(x)^{f(y)}
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбіркові тести на IMOTST-2007-021

Дотик зовнівписаного кола й ортогональні проєкції

У трикутнику ABCA B C нехай JJ — центр зовнівписаного кола, яке дотикається до сторони BCB C у точці A1A_{1} та до продовжень сторін ACA C і ABA B у точках B1B_{1} і C1C_{1} відповідно. Пряма A1B1A_{1} B_{1} перетинає пряму ABA B під прямим кутом у точці DD. Нехай EE — проєкція точки C1C_{1} на пряму DJD J. Визначте величини кутів ∠BEA1\angle B E A_{1} і ∠AEB1\angle A E B_{1}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2007-002

Мінімаксне вилучення чисел з проміжку

Альберто, щоб відсвяткувати день народження Барбари, пропонує зіграти в таку гру: дано множину чисел 0,1,…,10240, 1, \ldots, 1024, Барбара вилучає з цієї множини 292^{9} чисел. На наступному кроці Альберто вилучає з решти 282^{8} чисел. Знову черга Барбари, яка з решти вилучає 272^{7}, і так далі, доки не залишаться лише 2 числа aa і bb. Альберто в цей момент має заплатити Барбарі ∣a−b∣|a-b| євро. Визначте найбільшу кількість євро, яку Барбара гарантовано може отримати, незалежно від стратегії, обраної Альберто.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська юніорська математична олімпіада (JJMO)JJMO-2007-003

Периметр чотирикутника з фіксованими діагоналями

Діагоналі ACAC і BDBD чотирикутника ABCDABCD перетинаються в точці PP всередині чотирикутника. Якщо AC=2AC = 2, BD=3BD = 3 і ∠APB=60∘\angle APB = 60^\circ, то яке найменше можливе значення суми AB+BC+CD+DAAB + BC + CD + DA?
7–9 класиНерівність трикутника
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-017

Виграшна стратегія в грі з модульною сумою

Нехай nn — натуральне число. Двоє гравців PP, QQ грають у гру, в якій вони по черзі називають ціле число mm (1≤m≤n1 \le m \le n). Першим число називає PP. Вони не можуть називати числа, які вже назвав хтось із гравців. Гра закінчується, коли ніхто не може назвати число. Якщо сума чисел, названих PP, ділиться на 33, то перемагає PP, інакше перемагає QQ. Знайдіть усі nn, які задовольняють наведену нижче умову. Умова: PP може виграти гру незалежно від дій QQ.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-018

Перетин в одній точці прямих через дотик напіввписаних кіл

Нехай Γ\Gamma — описане коло трикутника ABCABC. Нехай ΓA\Gamma_A — коло, яке дотикається до прямих ABAB, ACAC і дотикається до кола Γ\Gamma внутрішньо, ΓB\Gamma_B — коло, яке дотикається до прямих ABAB, BCBC і дотикається до кола Γ\Gamma внутрішньо, а ΓC\Gamma_C — коло, яке дотикається до прямих ACAC, BCBC і дотикається до кола Γ\Gamma внутрішньо. Нехай кола ΓA,ΓB,ΓC\Gamma_A, \Gamma_B, \Gamma_C дотикаються до кола Γ\Gamma у точках P,Q,RP, Q, R. Доведіть, що прямі AP,BQ,CRAP, BQ, CR перетинаються в одній точці.
10–11 класиГомотерія і подібність
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-019

Смуга, що покриває чотири точки площини

На площині смугою ширини dd називають множину всіх точок, відстань яких від деякої прямої менша або дорівнює d2\frac{d}{2}. На площині дано чотири точки AA, BB, CC, DD. Якщо вибрати будь-які три точки з них, то існує смуга ширини 11, яка їх містить. Доведіть, що існує смуга ширини 2\sqrt{2}, яка містить усі чотири точки.
10–11 класиПокриття, пакування, фарбування
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-004

Максимальна різниця сум рядків і стовпців

Є сітка 5×55 \times 5. Записуємо цілі числа 1,2,…,161,2,\ldots,16 в усі клітинки верхнього лівого квадрата 4×44 \times 4 (♣) (кожне число можна записати лише один раз). Для кожного з 4 рядків записуємо суму чотирьох чисел, записаних у цьому рядку, у правому кінці кожного рядка. Аналогічно для кожного з 4 стовпців записуємо суму чотирьох чисел, записаних у цьому стовпці, у нижньому кінці кожного стовпця. А в нижню праву клітинку нічого не записано. Знайдіть найбільше ціле число mm, яке задовольняє таку умову. Умова: стосовно кроку (♣) існує спосіб записування чисел такий, що можна вибрати два числа a,ba, b, для яких виконується ∣a−b∣≥m|a-b| \ge m, і з правого крайнього стовпця, і з нижнього крайнього рядка.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-010

Прямокутники, що ділять площину

На площину покладено 3 прямокутники, причому будь-які 2 прямокутники мають попарно паралельні сторони. Вони ділять площину на кілька частин. Визначте найбільшу можливу кількість таких частин. (Область, яка не міститься в жодному з прямокутників, вважаємо однією частиною. Наприклад, якщо є лише 1 прямокутник, площина ділиться на 2 частини.)
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-013

Розбиття куба на тетраедри з вершинами куба

Скільки існує способів розрізати куб SS на тетраедри {T1,…,Tk}\{T_1, \dots, T_k\} з такими властивостями? (1) Кожна вершина тетраедрів T1,…,TkT_1, \dots, T_k є однією з вершин куба SS. (2) Для будь-яких i≠ji \neq j перетин тетраедрів TiT_i і TjT_j є їхньою спільною гранню, спільним ребром, спільною вершиною або порожньою множиною.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-005

Покриття прямокутниками після вилучення клітинок

Маємо квадратну сітку 19×1919 \times 19. Назвемо прямокутник хорошим, якщо всі його сторони йдуть уздовж меж маленьких квадратиків. Яке найменше nn з такою властивістю? Властивість: якщо з сітки вилучити 99 маленьких квадратиків, то площу, що залишилася, можна розбити на nn або менше хороших прямокутників.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-014

Кількість пар цілих чисел з рівністю a²b²=4a⁵+b³

Скільки пар цілих чисел (a,b)(a, b) задовольняють a2b2=4a5+b3a^2 b^2 = 4a^5 + b^3?
10–11 класиНСД та НСК
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-015

Картки з єдиними сумами до 2007

Є декілька карток, на яких написано натуральні числа, і сума цих чисел дорівнює 20072007. Для будь-якого цілого 1≤k≤20061 \le k \le 2006 можна вибрати деякі картки так, щоб сума чисел, написаних на цих картках, дорівнювала kk, і для кожного kk існує лише один спосіб це зробити (картки з однаковим числом вважаються однаковими). Скільки існує різних таких наборів карток?
10–11 класиСистеми числення
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2007-016

Розподіл медалей за допомогою цілої частини

На математичному змаганні золоті медалі отримують ⌊na⌋\lfloor \frac{n}{a} \rfloor людей, срібні медалі — ⌊nb⌋\lfloor \frac{n}{b} \rfloor, а бронзові медалі — ⌊nc⌋\lfloor \frac{n}{c} \rfloor (a≥b≥ca \ge b \ge c — цілі сталі, а nn — кількість учасників). Ніхто не отримує двох або більше медалей. Знайдіть усі трійки (a,b,c)(a, b, c) з такою властивістю. Властивість: для всіх цілих k≥3k \ge 3 існує рівно два nn таких, що кількість людей без медалей дорівнює kk. ⌊r⌋\lfloor r \rfloor — це найбільше ціле число, яке не перевищує rr.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.