Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Відбіркові тести на IMOTST-2004-018

Подільність у лінійній рекурентній послідовності

Нехай mm — натуральне число, більше за 11. Послідовність x0,x1,x2,…x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots визначено так: xi={2i, для 0≤i≤m−1∑j=1mxi−j для i≥mx_{i}= \begin{cases}2^{i}, & \text{ для } \quad 0 \leq i \leq m-1 \\ \sum_{j=1}^{m} x_{i-j} & \text{ для } \quad i \geq m\end{cases} Знайдіть найбільше kk, для якого існує kk послідовних членів послідовності, кожен з яких ділиться на mm.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Відбіркові тести на IMOTST-2004-019

Різні підмножини після вилучення елемента

Нехай XX — множина з nn елементів, а A1,A2,…,AnA_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} — різні підмножини XX. Доведіть: існує таке x∈Xx \in X, що множини A1\{x},A2\{x},…,An\{x}A_{1} \backslash\{x\}, A_{2} \backslash\{x\}, \ldots, A_{n} \backslash\{x\} усі різні.
10–11 класиШляхи на графах2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2004-020

Циклічні точки на висотах і сума площ

Нехай дано гострокутний трикутник △ABC\triangle A B C з висотами AU‾\overline{A U}, BV‾\overline{B V}, CW‾\overline{C W} і точкою перетину висот HH. XX лежить на AU‾\overline{A U}, YY на BV‾\overline{B V} і ZZ на CW‾\overline{C W}. XX, YY і ZZ всі відмінні від HH. Доведіть: a. Якщо XX, YY, ZZ і HH лежать на одному колі, то виконується [ABC]=[ABZ]+[AYC]+[XBC][A B C]=[A B Z]+[A Y C]+[X B C] де [PQR][P Q R] позначає площу трикутника △PQR\triangle P Q R. b. Справедливе також обернене твердження до (a).
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Відбіркові тести на IMOTST-2004-021

Ін'єктивна функція із симетричним аргументом

Знайдіть усі ін'єктивні функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, такі, що для всіх дійсних чисел x≠yx \neq y виконується f(x+yx−y)=f(x)+f(y)f(x)−f(y)f\left(\frac{x+y}{x-y}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Відбіркові тести на IMOTST-2004-022

Натуральні значення виразу із сумою трьох чисел

Знайдіть усі натуральні числа, які можна подати у вигляді (a+b+c)2abc\frac{(a+b+c)^{2}}{a b c} де a,ba, b і cc — натуральні числа.
10–11 класиСтрибки Вієта
Італійська математична олімпіадаITAMO-2004-002

Геометричне місце точок зовнішнього дотику кіл

На площині дано дві паралельні прямі r,sr, s і дві точки P,QP, Q, причому P∈rP \in r і Q∈sQ \in s. Розглянемо пари кіл (CP,CQ)\left(C_{P}, C_{Q}\right), перше з яких дотикається до прямої rr в PP, а друге дотикається до прямої ss в QQ, і які також зовнішньо дотикаються між собою в точці, яку назвемо TT. Визначити геометричне місце таких точок TT при зміні всіх можливих пар кіл.
10–11 класиКола, що дотикаються
Італійська математична олімпіадаITAMO-2004-005

Розбиття послідовності на дві з обмеженими сумами

Визначте, чи є правильним таке твердження: «Для будь-якої послідовності x1,x2,x3,…x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots невід’ємних дійсних чисел існують дві послідовності a1,a2,a3,…a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots і b1,b2,b3,…b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots невід’ємних дійсних чисел такі, що - xn=an+bnx_{n}=a_{n}+b_{n} для кожного nn; - a1+…+an≤na_{1}+\ldots+a_{n} \leq n для нескінченно багатьох значень nn; - b1+…+bn≤nb_{1}+\ldots+b_{n} \leq n для нескінченно багатьох значень nn, можливо, відмінних від попередніх.»
10–11 класиКонструкція за індукцією
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2004-019

Множини натуральних чисел, замкнені відносно операції

Знайдіть усі множини MM натуральних чисел, такі, що для будь-яких двох (не обов’язково різних) елементів a,ba, b із MM також a+bНСД(a,b)\frac{a+b}{\text{НСД}(a, b)} належить MM.
10–11 класиНСД та НСК
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2004-016

Площа многокутника при зрізанні кутів

Зрізати кут опуклого nn-кутника означає таке: вибирають дві сусідні сторони ABAB і BCBC та замінюють їх ламаною AMAM, MNMN, NCNC, де M∈ABM \in AB і N∈BCN \in BC — довільні внутрішні точки цих відрізків. Іншими словами, відрізають один кут і одержують (n+1)(n+1)-кутник. Починаючи з правильного шестикутника P6\mathcal{P}_6 площею 1, послідовним зрізанням кутів утворюють послідовність P6,P7,P8,…\mathcal{P}_6, \mathcal{P}_7, \mathcal{P}_8, \ldots опуклих многокутників. Доведіть, що площа Pn\mathcal{P}_n для всіх n≥6n \geq 6 більша за 12\frac{1}{2}, незалежно від того, як виконують зрізання.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2004-017

Мінімум симетричної суми з параметрами

Нехай aa і bb — фіксовані додатні числа. Знайдіть залежно від aa і bb найменше можливе значення суми x2(ay+bz)(az+by)+y2(az+bx)(ax+bz)+z2(ax+by)(ay+bx)\frac{x^{2}}{(a y+b z)(a z+b y)}+\frac{y^{2}}{(a z+b x)(a x+b z)}+\frac{z^{2}}{(a x+b y)(a y+b x)} де x,y,zx, y, z — додатні дійсні числа.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2004-008

Найменший кут серед точок на площині

Дано m≥3m \geq 3 точок на площині. Доведіть, що завжди можна вибрати три з цих точок A,B,CA, B, C так, щоб виконувалося ∡ABC≤180∘m.\Varangle A B C \leq \frac{180^{\circ}}{m} .
10–11 класиОпуклі множини
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2004-010

Покриття чорних полів дошки Л-триміно

Нехай n>1n>1 — непарне натуральне число. Поля дошки n×nn \times n пофарбовано в білий і чорний кольори в шаховому порядку так, що чотири кутові поля чорні. L-триміно — це L-подібна фігура, яка покриває рівно три поля дошки. Для яких значень nn можна покрити всі чорні поля L-триміно так, щоб жодні два L-триміно не перетиналися? Для цих значень nn визначте найменшу можливу кількість L-триміно, потрібну для цього.
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2003-004

Підмножина з обмеженням на попарні відстані

Нехай SS — множина з nn точок на площині така, що будь-які дві точки множини SS перебувають на відстані щонайменше 11 одна від одної. Доведіть, що існує підмножина TT множини SS з принаймні n/7n / 7 точок така, що будь-які дві точки множини TT перебувають на відстані щонайменше 3\sqrt{3} одна від одної.
10–11 класиЖадібний алгоритм
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2003-081

Членство в клубах із розділювальною властивістю

У певному коледжі є 10 клубів і деяка кількість студентів. Для будь-яких двох різних студентів існує клуб, до якого належить рівно один із них. Для будь-яких трьох різних студентів існує клуб, до якого належить або рівно один із них, або всі троє. Яка найбільша можлива кількість студентів?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2003-073

Перетин трьох прямих в опуклому чотирикутнику

Дано опуклий чотирикутник MATHM A T H, у якому HM/MT=3/4H M / M T = 3 / 4 і ∠ATM=∠MAT=∠AHM=60∘\angle A T M = \angle M A T = \angle A H M = 60^{\circ}. NN — середина сторони MAM A, а OO — точка на стороні THT H така, що прямі MTM T, AHA H, NON O перетинаються в одній точці. Знайдіть відношення HO/OTH O / O T.
10–11 класиТеорема Менелая
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2003-029

Відбиття трикутника і паралельні прямі

Дано трикутник ABCABC, у якому AB=9AB = 9, AC=10AC = 10 і BC=12BC = 12, та точку DD на стороні BCBC. Точки BB і CC відображено симетрично відносно прямої ADAD у точки B′B' і C′C' відповідно. Припустимо, що прямі BC′BC' і B′CB'C ніколи не перетинаються (тобто паралельні та різні). Знайдіть довжину відрізка BDBD.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2003-032

Поділ яблук на мінімальну кількість шматків

Учителька має порівну поділити 221 яблуко між 403 учнями. На яку найменшу кількість шматків вона мусить розрізати яблука? (Ціле нерозрізане яблуко вважається одним шматком.)
10–11 класиДвочасткові графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2003-035

Переміщення гостей на сітці 2×8

Готель складається із сітки кімнат 2×82 \times 8, у кожній з яких мешкає по одному гостю. Усім гостям незатишно, тож кожен гість хотів би переміститися в одну із сусідніх кімнат (по горизонталі або по вертикалі). Звісно, вони мають зробити це одночасно так, щоб у кожній кімнаті знову опинився рівно один гість. Скількома різними способами вони можуть колективно переміститися?
10–11 класиБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2003-008

Функціональне рівняння f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} з властивістю f(f(x)+y)=2x+f(f(y)−x)f(f(x)+y)=2 x+f(f(y)-x) для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2003-001

Множини з пропусками, що уникають двох різниць

Для пари цілих чисел aa і bb, де 0<a<b<10000 < a < b < 1000, множину S⊆{1,2,…,2003}S \subseteq \{1, 2, \dots, 2003\} називають множиною з пропусками для (a,b)(a, b), якщо для будь-якої пари елементів s1,s2∈Ss_1, s_2 \in S маємо ∣s1−s2∣∉{a,b}|s_1 - s_2| \notin \{a, b\}. Нехай f(a,b)f(a, b) — найбільший розмір множини з пропусками для (a,b)(a, b). Знайдіть найбільше та найменше значення ff.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2003-009

Центр описаного кола в конфігурації дотичних кіл

Нехай BB — довільна точка на колі k1k_{1}, а AA — відмінна від BB точка на дотичній до кола k1k_{1} в BB. Далі нехай CC — точка поза колом k1k_{1} з властивістю, що відрізок ACA C перетинає коло k1k_{1} у двох різних точках. Нарешті нехай k2k_{2} — коло, яке дотикається до прямої ACA C в CC і дотикається до кола k1k_{1} в точці DD, яка лежить з іншого боку від прямої ACA C, ніж BB. Доведіть, що центр описаного кола трикутника BCDBCD лежить на описаному колі трикутника ABCA B C.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Відбіркові тести на IMOTST-2003-002

Прості дільники циклічних степеневих сум

Знайдіть усі впорядковані трійки простих чисел (p,q,r)(p, q, r) такі, що p∣qr+1,q∣rp+1,r∣pq+1.p \mid q^r + 1, \quad q \mid r^p + 1, \quad r \mid p^q + 1.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Відбіркові тести на IMOTST-2003-003

Функції з умовою f(m+n)f(m-n) = f(m²)

Нехай N\mathbb{N} позначає множину натуральних чисел. Знайдіть усі функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} такі, що f(m+n)f(m−n)=f(m2)f(m+n)f(m-n) = f(m^2) для всіх m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2003-004

Симетрична нерівність для синусів кутів

Нехай a,b,ca, b, c — дійсні числа з проміжку (0,π2)(0, \frac{\pi}{2}). Доведіть, що sin⁡asin⁡(a−b)sin⁡(a−c)sin⁡(b+c)+sin⁡bsin⁡(b−c)sin⁡(b−a)sin⁡(c+a)+sin⁡csin⁡(c−a)sin⁡(c−b)sin⁡(a+b)≥0.\frac{\sin a \sin(a-b) \sin(a-c)}{\sin(b+c)} + \frac{\sin b \sin(b-c) \sin(b-a)}{\sin(c+a)} + \frac{\sin c \sin(c-a) \sin(c-b)}{\sin(a+b)} \ge 0.
10–11 класиТригонометричні нерівності
Італійська математична олімпіадаITAMO-2003-005

Обхід круглого столу з кроком за номером картки

На обід запрошено nn осіб, які сядуть навколо круглого столу, місця за яким позначено від 1 до nn за допомогою відповідних карток із номерами місць, розставлених церемоніймейстером. Офіціант вирішив подавати страви за оригінальною процедурою: обирає одного гостя, обслуговує його, потім зміщується проти годинникової стрілки на кількість місць, що дорівнює номеру картки щойно обслуженого гостя, обслуговує гостя, біля якого він тепер опинився, і так далі, завжди зміщуючись проти годинникової стрілки відповідно до номера картки останнього обслуженого гостя. Визначте, для яких nn церемоніймейстер може розставити картки з номерами так, щоб офіціант міг, розпочавши з відповідного гостя і дотримуючись описаної процедури, обслужити всіх гостей.
10–11 класиОстача від ділення

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.