Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-109

Послідовність з кількістю попередників та неспадна сума

Послідовність натуральних чисел (an)(a_n) задано правилом: a1=aa_1 = a, a2=ba_2 = b, де aa та bb — натуральні, а для всіх n⩾2n \geqslant 2 an+1a_{n+1} дорівнює кількості індексів ii, 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n, таких, що ai=ana_i = a_n. Наприклад, для a=2a = 2, b=1b = 1 початок послідовності виглядатиме так: (2;1;1;2;2;3…)(2; 1; 1; 2; 2; 3\ldots). Знайдіть усі пари натуральних чисел (a,b)(a, b), для яких, починаючи з деякого місця, послідовність (an+an+1)(a_n + a_{n+1}) буде неспадною.
11 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-14-15-110

Система рівнянь з різними числами a і b

Для довільних різних чисел aa, bb розв’яжіть систему рівнянь {3x+z=2y+(a+b),3x2+3xz=y2+2(a+b)y+ab,x3+3x2z=y2(a+b)+2yab.\begin{cases} 3x+z=2y+(a+b), \\ 3x^2+3xz=y^2+2(a+b)y+ab, \\ x^3+3x^2z=y^2(a+b)+2yab. \end{cases}
11 класТеорема Вієта
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-004

Рівнобедрений трикутник і кут EDC

У рівнобедреному трикутнику ABCABC кут при основі BCBC дорівнює 80∘80^\circ. На бічній стороні ABAB вибрано точку DD таку, що AD=BCAD = BC, а на промені CBCB — точку EE таку, що AC=ECAC = EC. Знайдіть у градусах величину кута EDCEDC.
8 класРівнобедрений та рівносторонній т…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-014

Можливість зараження всього квадрата 10 × 10

У квадраті 10×1010 \times 10 деякі комірки заражені інфекцією. Далі кожної секунди всі комірки, у яких 22 чи більше сусідніх по стороні клітин заражені, також стають зараженими. Чи можуть через деякий час виявитися зараженими всі комірки квадрата, якщо із самого початку були заражені рівно: а) 99 комірок; б) 1010 комірок?
9 класНапівінваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-019

Функціональне рівняння з f(f(x - y)) і xy

Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, що ∀x, y∈R\forall x,\ y \in \mathbb{R}, задовольняють умову f(f(x−y))=f(x)f(y)−f(x)+f(y)−xy.f(f(x-y)) = f(x)f(y) - f(x) + f(y) - xy.
10 класБазові підстановки (однакові аргу…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-020

Нерівність для кількості перестановок з обмеженням

Нехай sns_n позначає кількість перестановок (a1,a2,…,an)(a_1, a_2, \ldots, a_n) чисел 1, 2, …, n1,\ 2,\ \ldots,\ n таких, що 1⩽∣ai−i∣⩽21 \leqslant |a_i - i| \leqslant 2 для всіх ii: 1⩽i⩽n1 \leqslant i \leqslant n. Доведіть, що для всіх n>6n > 6 виконується нерівність 7sn−14<sn<2sn−1\dfrac{7s_{n-1}}{4} < s_n < 2s_{n-1}.
10 класРекурентний підрахунок
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-021

Точки на колі і прямі через A та B

Задано коло ω\omega та точки AA, BB на прямій, яка не перетинає коло ω\omega. На колі вибрано довільну точку X0X_0 і далі побудовано такі послідовності точок (Yn)(Y_n) та (Xn)(X_n): YnY_n — друга точка перетину прямої AXnAX_n з колом ω\omega, n⩾0n \geqslant 0, а Xn+1X_{n+1} — друга точка перетину прямої BYnBY_n з колом ω\omega, n⩾0n \geqslant 0. Доведіть, що коли для деякої точки X0X_0 та для деякого натурального kk точка Xk=X0X_k = X_0, то Xk=X0X_k = X_0 при довільному виборі точки X0X_0.
10 класІнверсія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-029

Цілі числа-суми без нулів та різні елементи

Нехай FF — скінченний непорожній набір цілих чисел, у якому можуть бути рівні. Відомо, що для деякого натурального nn множина FF задовольняє такі умови: - ∀x∈F  ∃y,z∈F∖{x} ⁣: x=y+z\forall x \in F\ \ \exists y, z \in F \setminus \{x\}\colon\ x = y + z; - ∀k⩽n  ∀x1,…,xk∈F\forall k \leqslant n\ \ \forall x_1, \ldots, x_k \in F, має місце x1+…+xk≠0x_1 + \ldots + x_k \neq 0. Доведіть, що FF має принаймні 2n+22n + 2 різних елементів.
11 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-006

Таблиця 5 × 5 з однаковими числами

Числа від 11 до 2525 записано в комірках таблиці 5×55 \times 5, як це показано на рис. 3.1. За один хід дозволяється: - вибрати довільні дві комірки зі спільною стороною та збільшити (зменшити) число в одній із цих комірок на 22 й водночас із цим в іншій комірці записане число зменшити (збільшити відповідно) на 11; - вибрати довільні дві комірки зі спільною вершиною (але не стороною) та збільшити число в одній із цих комірок на 11 і водночас із цим в іншій комірці записане число зменшити на 11. | | | | | | |---|---|---|---|---| | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | | 66 | 77 | 88 | 99 | 1010 | | 1111 | 1212 | 1313 | 1414 | 1515 | | 1616 | 1717 | 1818 | 1919 | 2020 | | 2121 | 2222 | 2323 | 2424 | 2525 | Рис. 3.1 а) Чи можна після скінченної кількості ходів одержати таблицю з однаковими числами в усіх комірках? б) Чи можна після скінченної кількості ходів одержати таблицю із записаним числом 22 в кожній комірці?
8 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-008

Гарне число з 2013 різними простими дільниками

Нехай a1, …, ama_1,\ \ldots,\ a_m — усі дільники числа nn. Якщо існують mm цілих чисел b1, …, bmb_1,\ \ldots,\ b_m, для яких n=∑i=1m(−1)biain = \sum\limits_{i=1}^{m} (-1)^{b_i} a_i, то число nn називають гарним. Доведіть, що існує гарне число, яке має рівно 20132013 різних простих дільників.
8 класКонструкція за індукцією
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-015

Рівні відрізки від вершин до кола навколо ортоцентра

У гострокутному трикутнику ABCABC точки DD, EE, FF — середини сторін BCBC, CACA та ABAB відповідно. Побудуємо коло ω\omega із центром в ортоцентрі трикутника ABCABC таке, щоб трикутник ABCABC був усередині цього кола. Нехай промені EFEF, FDFD і DEDE перетинають коло ω\omega у точках PP, QQ і RR відповідно. Доведіть, що AP=BQ=CRAP = BQ = CR.
9 класТочка перетину висот
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-016

Сума кубів з коренями для додатних чисел з умовою

Нехай для додатних чисел aa, bb, cc справджується нерівність 1a+1b+1c⩽16(a+b+c)\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \leqslant 16(a+b+c). Доведіть, що 1(a+b+2(a+c))3+1(b+c+2(b+a))3+1(c+a+2(c+b))3⩽89.\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2(a+c)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2(b+a)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2(c+b)}\right)^3} \leqslant \frac{8}{9}.
9 класНерівність Коші
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-022

Спільна дотична двох кіл, пряма Ейлера і прогресія кутів

Доведіть, що в нерівнобедреному трикутнику ABCABC спільна дотична до кола дев'яти точок та вписаного кола паралельна прямій Ейлера тоді і тільки тоді, коли кути трикутника утворюють арифметичну прогресію. Пряму, що проходить через центр описаного кола та ортоцентр трикутника, називають прямою Ейлера трикутника. Коло дев'яти точок — це коло, що проходить через такі точки: середину кожної сторони трикутника; основи кожної висоти та середини відрізків, що сполучають вершини трикутника з ортоцентром.
10 класКоло Ейлера (коло 9 точок)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-023

Таблиця 7×7 з числами 1–49 і однакові числа

Числа від 11 до 4949 по одному записано в комірках таблиці 7×77 \times 7, як це показано на рис. 3.2. За один хід дозволяється вибрати довільну комірку та збільшити (зменшити) число в цій комірці на 11 і водночас із цим у деяких двох комірках, сусідніх по стороні з вибраною, зменшити (збільшити) на 11 числа в цих комірках. а) Чи можна після скінченної кількості ходів одержати таблицю, у всіх комірках якої записано однакові числа? б) Чи можна після скінченної кількості ходів одержати таблицю, у всіх комірках якої записано число 20132013? | | | | | | | | |---|---|---|---|---|---|---| | 11 | 22 | 33 | 44 | 55 | 66 | 77 | | 88 | 99 | 1010 | 1111 | 1212 | 1313 | 1414 | | 1515 | 1616 | 1717 | 1818 | 1919 | 2020 | 2121 | | 2222 | 2323 | 2424 | 2525 | 2626 | 2727 | 2828 | | 2929 | 3030 | 3131 | 3232 | 3333 | 3434 | 3535 | | 3636 | 3737 | 3838 | 3939 | 4040 | 4141 | 4242 | | 4343 | 4444 | 4545 | 4646 | 4747 | 4848 | 4949 | Рис. 3.2
10 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-024

Число n²⁰¹³ − n²⁰ + n¹³ − 2013 з не менше ніж N дільниками

Доведіть, що для будь-якого натурального NN існує таке натуральне nn, що число n2013−n20+n13−2013n^{2013} - n^{20} + n^{13} - 2013 має не менше NN дільників.
10 класРозподіл простих чисел
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-031

Нерівність із сумою обернених та найменша константа

Для натурального nn та додатних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n доведіть нерівність ∑k=1nka1−1+a2−1+…+ak−1⩽2∑k=1nak.\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{a_1^{-1}+a_2^{-1}+\ldots+a_k^{-1}} \leqslant 2\sum_{k=1}^{n} a_k. Чи є константа 22 найменшою можливою?
11 класНерівність Коші-Буняковського
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-010

Дотик кіл на сторонах чотирикутника і ромб

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Позначимо через γAB\gamma_{AB}, γBC\gamma_{BC}, γCD\gamma_{CD}, γDA\gamma_{DA} кола, що побудовані на сторонах ABAB, BCBC, CDCD, DADA відповідно як на діаметрах. Відомо, що кола γAB\gamma_{AB} та γCD\gamma_{CD} дотикаються між собою, а також кола γBC\gamma_{BC} та γDA\gamma_{DA} дотикаються між собою. Доведіть, що ABCDABCD — ромб.
8 класКола, що дотикаються
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-011

Дороги між містами зі сталою кількістю серед 98 міст

У країні Лапландії є всього 100100 міст. Кожні два з них або сполучені єдиною дорогою, або взагалі безпосередньо не сполучені. Відомо, що коли вибрати будь-які 9898 міст, то загальна кількість доріг, що існують між цими 9898 містами, є сталою величиною, яка не залежить від вибору цих 9898 міст. Якого значення може набувати NN — загальна кількість доріг у Лапландії?
8 класПідрахунок двома способами
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-012

Спільні корені квадратних рівнянь та сума коефіцієнтів

Відомо, що для деяких дійсних aa, bb і c≠1c \neq 1 квадратні рівняння x2+ax+1=0x^2 + ax + 1 = 0 та x2+bx+c=0x^2 + bx + c = 0 мають спільний дійсний корінь, так само рівняння x2+x+a=0x^2 + x + a = 0 та x2+cx+b=0x^2 + cx + b = 0 мають спільний дійсний корінь. Знайдіть суму a+b+ca + b + c.
8 класКвадратні рівняння та системи
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-017

Інцентр трикутника і рівність відрізків BK та CK

Точка II — інцентр різностороннього трикутника ABCABC, промінь AIAI вдруге перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці DD. Коло, що проходить через точки CC, DD, II, удруге перетинає промінь BIBI в точці KK. Доведіть, що BK=CKBK = CK.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-018

Раціональні r і раціональність x за двома виразами

Для яких раціональних чисел rr є правильним твердження: якщо xx — дійсне число, для якого вирази x2−rxx^2 - rx та x3−rxx^3 - rx набувають раціональних значень, то xx також раціональне число?
9 класРаціональні та ірраціональні числа
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-026

Дотичне коло в півколі та бісектриса кута

Нехай PQPQ — діаметр півкола Γ\Gamma. Коло ω\omega внутрішнім чином дотикається до півкола Γ\Gamma, а також дотикається до PQPQ у точці CC. Нехай точки A∈ΓA \in \Gamma та B∈PQB \in PQ такі, що AB⊥PQAB \perp PQ і дотикається до кола ω\omega. Доведіть, що ACAC — бісектриса кута PABPAB.
10 класІнверсія
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-027

Перетин усіх множин при попарних перетинах по два елементи

Кожна з 2222 множин містить 55 елементів. Перетин будь-яких двох із цих множин містить рівно 22 елементи. Доведіть, що перетин усіх множин так само містить рівно 22 елементи.
10 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-032

Прямі AP та IM у трикутнику з вписаним колом

У трикутнику ABCABC сторона AB≠ACAB \neq AC, точка MM — середина дуги BCBC описаного кола трикутника ABCABC, що містить точку AA. Вписане в трикутник ABCABC коло із центром у точці II дотикається до сторони BCBC у точці DD. Пряма, яка паралельна AIAI та проходить через точку DD, перетинає вписане коло вдруге в точці PP. Доведіть, що прямі APAP та IMIM перетинаються в точці, яка лежить на описаному колі.
11 класСтепінь точки відносно кола
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-13-14-033

Функція з умовами та значення 1000

Функція f ⁣:Z+→Z+f\colon \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+ для кожного n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ задовольняє такі умови: - (f(2n+1))2−(f(2n))2=6f(n)+1(f(2n+1))^2 - (f(2n))^2 = 6f(n) + 1; - f(2n)⩾f(n)f(2n) \geqslant f(n). Розв'яжіть рівняння f(n)=1000f(n) = 1000.
11 класСистеми числення

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.