Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Відбіркові тести на IMOTST-2001-009

Велика вільна від сум підмножина цілих чисел

Для множини SS через ∣S∣|S| позначимо кількість елементів множини SS. Нехай AA — множина натуральних чисел, причому ∣A∣=2001|A| = 2001. Доведіть, що існує множина BB така, що (i) B⊆AB \subseteq A; (ii) ∣B∣≥668|B| \geq 668; (iii) для будь-яких u,v∈Bu, v \in B (не обов'язково різних) u+v∉Bu + v \notin B.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2001-014

Подання у вигляді суми різних дільників

Нехай n∈Nn \in \mathbb{N} і t1,t2,…,tkt_{1}, t_{2}, \ldots, t_{k} — різні додатні дільники числа nn. Тотожність вигляду n=t1+t2+…+tkn = t_{1} + t_{2} + \ldots + t_{k} називається поданням числа nn у вигляді суми різних дільників. Два такі подання вважаються однаковими, якщо вони відрізняються лише порядком доданків (наприклад, 20=10+5+4+120 = 10 + 5 + 4 + 1 і 20=5+1+10+420 = 5 + 1 + 10 + 4 — двічі те саме подання числа 2020 у вигляді суми різних дільників). Нехай a(n)a(n) — кількість різних подань числа nn у вигляді суми різних дільників. Доведіть або спростуйте: Існує M∈NM \in \mathbb{N} таке, що a(n)≤Ma(n) \leq M для всіх n∈Nn \in \mathbb{N}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові тести на IMOTST-2001-018

Сума обернених до префіксно-вільної послідовності

Нехай a1<a2<…<ana_{1}<a_{2}<\ldots<a_{n} — послідовність натуральних чисел з властивістю, що для i<ji<j десятковий запис числа aja_{j} не починається із запису числа aia_{i} (наприклад, числа 137 і 13729 не можуть обидва входити до послідовності). Доведіть, що виконується ∑i=1n1ai≤11+12+13+…+19\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_{i}} \leq \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{9}
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Відбіркові тести на IMOTST-2001-015

Множина цілих чисел, замкнена відносно квадрата мінус елемент

Нехай SS — множина цілих чисел (не обов'язково додатних) така, що a. існують a,b∈Sa, b \in S, для яких НСД(a,b)=НСД(a−2,b−2)=1\text{НСД}(a, b) = \text{НСД}(a - 2, b - 2) = 1; b. якщо xx і yy — елементи SS (можливо, рівні), то x2−yx^2 - y також належить SS. Доведіть, що SS — це множина всіх цілих чисел.
10–11 класиМіркування за модулем2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2001-016

Трисектриси і серединний перпендикуляр у трикутнику

Дано трикутник ABCABC, у якому ∠B=2∠C\angle B = 2\angle C. Нехай PP і QQ — точки на серединному перпендикулярі до відрізка BCBC такі, що промені APAP і AQAQ ділять ∠A\angle A на три рівні частини. Доведіть, що PQ<ABPQ < AB тоді і тільки тоді, коли ∠B\angle B тупий.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2001-017

Трикутник з рівністю сум відрізків бісектрис

У трикутнику ABCABC відрізок APAP ділить навпіл ∠BAC\angle BAC, причому точка PP лежить на стороні BCBC, а відрізок BQBQ ділить навпіл ∠ABC\angle ABC, причому точка QQ лежить на стороні CACA. Відомо, що ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^\circ і що AB+BP=AQ+QBAB + BP = AQ + QB. Які можливі кути трикутника ABCABC?
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2001-019

Нерівності із симетричними оберненими величинами

Нехай a,b,ca, b, c — додатні дійсні числа такі, що a+b+c≥abc.a + b + c \ge abc. Доведіть, що принаймні дві з нерівностей 2a+3b+6c≥6,2b+3c+6a≥6,2c+3a+6b≥6,\frac{2}{a} + \frac{3}{b} + \frac{6}{c} \ge 6, \quad \frac{2}{b} + \frac{3}{c} + \frac{6}{a} \ge 6, \quad \frac{2}{c} + \frac{3}{a} + \frac{6}{b} \ge 6, справджуються.
10–11 класиЧислові нерівності
Відбіркові тести на IMOTST-2001-021

Кути 135° і добутки сторін та діагоналей чотирикутника

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якого ∠ABC=∠ADC=135∘\angle ABC = \angle ADC = 135^\circ і AC2⋅BD2=2AB⋅BC⋅CD⋅DA.AC^2 \cdot BD^2 = 2AB \cdot BC \cdot CD \cdot DA. Доведіть, що діагоналі чотирикутника ABCDABCD перпендикулярні.
10–11 класиПлоща чотирикутника
Відбіркові тести на IMOTST-2001-026

Орієнтовані цикли у графі стеження

У Женеві працюють 16 таємних агентів. Кожен агент стежить щонайменше за одним іншим агентом, але жодні два агенти не стежать один за одним взаємно. Припустимо, що будь-яких 10 агентів можна так пронумерувати, що перший стежить за другим, другий за третім і т. д., а десятий за першим. Доведіть, що тоді й будь-яких 11 агентів можна так пронумерувати, що кожен стежить за наступним.
10–11 класиОрієнтовані графи
Відбіркові тести на IMOTST-2001-025

Множина з рівними добутком і сумою квадратів

Нехай AA — скінченна множина натуральних чисел. Доведіть, що існує скінченна множина BB натуральних чисел така, що A⊆BA \subseteq B і ∏x∈Bx=∑x∈Bx2.\prod_{x \in B} x = \sum_{x \in B} x^2.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Італійська математична олімпіадаITAMO-2001-004

Перемикання лампочок на квадратному табло

Панель містить 100 лампочок, розташованих так, що утворюють квадрат із 10 рядків і 10 стовпців. Деякі з них увімкнені, інші вимкнені. Електрична система влаштована так, що коли натискають кнопку, яка відповідає будь-якій з лампочок, змінюють стан (тобто вмикаються або вимикаються) усі лампочки, що містяться в її стовпці, і всі ті, що містяться в її рядку (включно з лампочкою, що відповідає натиснутому вимикачу). a) З яких конфігурацій, діючи належним чином, можна досягти того, щоб наприкінці всі лампочки виявилися увімкненими? b) Яка відповідь на попереднє запитання, якщо лампочок 81, розташованих так, що утворюють панель із 9 рядків і 9 стовпців?
10–11 класиПарність і непарність
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2000-003

Підпослідовність із нульовою сумою в обмеженій послідовності

Нехай A=(a1,a2,…,a2000)A = (a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2000}) — послідовність цілих чисел, кожне з яких лежить у проміжку [−1000,1000][-1000, 1000]. Припустимо, що сума членів послідовності AA дорівнює 11. Доведіть, що деяка непорожня підпослідовність послідовності AA має суму нуль.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2000-004

Чотирикутник з подвійними кутами та рівними сторонами

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, для якого ∠CBD=2∠ADB,∠ABD=2∠CDBіAB=CB.\begin{aligned} \angle CBD &= 2 \angle ADB, \\ \angle ABD &= 2 \angle CDB \\ \text{і}\quad AB &= CB. \end{aligned} Доведіть, що AD=CDAD = CD.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2000-005

Максимум суми квадратів за обмежень

Нехай дійсні числа a1,a2,…,a100a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{100} задовольняють умови a1≥a2≥⋯≥a100≥0a1+a2≤100a3+a4+⋯+a100≤100\begin{gathered} a_{1} \geq a_{2} \geq \cdots \geq a_{100} \geq 0 \\ a_{1}+a_{2} \leq 100 \\ a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{100} \leq 100 \end{gathered} Визначте найбільше можливе значення a12+a22+⋯+a1002a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{100}^{2} та знайдіть усі можливі послідовності a1,a2,…,a100a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{100}, які досягають цього максимуму.
10–11 класиЧислові нерівності
Відбіркові тести на IMOTST-2000-011

Розмітка правильного парного многокутника з рівними сумами

Кожну вершину правильного 2n2n-кутника (n≥3)(n \geq 3) треба позначити числом із множини {1,2,…,2n}\{1,2, \ldots, 2n\}, причому так, щоб сума чисел у сусідніх вершинах завжди дорівнювала сумі чисел у двох діаметрально протилежних вершинах. Крім того, числа, що стоять у 2n2n вершинах, мають бути всі різні. Доведіть, що це можливо тоді й лише тоді, коли nn непарне.
10–11 класиПарність і непарність
Відбіркові тести на IMOTST-2000-012

Функціональне рівняння f(f(x)+y)=f(x²−y)+4 y f(x)

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, такі, що для всіх дійсних чисел xx і yy виконується f(f(x)+y)=f(x2−y)+4yf(x)f(f(x)+y)=f\left(x^{2}-y\right)+4 y f(x)
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2000-004

Виграшна стратегія у грі з дільниками та кратними

Зафіксовано ціле n>1n>1, Альберто і Барбара грають у таку гру: 1. Альберто вибирає додатне ціле число; 2. Барбара вибирає ціле число, більше за 1, яке є кратним або дільником числа Альберто (включно із самим числом); 3. Альберто повертає Барбарі назване нею число, за бажанням додаючи або віднімаючи 1; гра продовжується: кроки 2 і 3 повторюються по черзі. Барбара виграє, якщо їй вдається вибрати nn протягом 50 ходів. Для яких значень nn Барбара може виграти проти будь-якої стратегії Альберто?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2000-005

Мінімальна кількість розпилів для решітки n на n

Зварювальник має металеві прутики довжиною 2 і хоче побудувати решітку, що складається з n×nn \times n квадратиків зі стороною 1 (приклад 5×55 \times 5 поруч). Йому дозволено розпилювати прутики навпіл і зварювати їх між собою, але без накладання чи перетину. Яка найменша кількість прутиків, які потрібно розпиляти, щоб отримати решітку?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-1999-057

Вільний від квадратів дільник числа виду 4242…42

Яке найменше вільне від квадратів складене число може ділити число вигляду 4242…42±14242 \ldots 42 \pm 1?
10–11 класиСтепені за модулем. Періодичність…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-1999-010

Трикутники з вершинами в решітці та обмеженням площі

Якщо на площині розміщено 5 точок у точках цілочисельної решітки (тобто точках (x,y)(x, y), де xx і yy — обидва цілі числа) так, що жодні три не лежать на одній прямій, то існує 10 трикутників з вершинами серед цих точок. Яка найменша можлива кількість цих трикутників, що мають площу, більшу за 1/21/2?
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-1999-058

Многочлени четвертого і третього степенів з цілими коренями

A,B,C,DA, B, C, D і EE — взаємно прості в сукупності цілі числа (тобто не мають жодного спільного дільника), такі, що многочлени 5Ax4+4Bx3+3Cx2+2Dx+E5A x^{4} + 4B x^{3} + 3C x^{2} + 2D x + E і 10Ax3+6Bx2+3Cx+D10A x^{3} + 6B x^{2} + 3C x + D разом мають 7 різних цілих коренів. Які всі можливі значення AA? Вашій команді видано запечатаний конверт, який містить підказку до цієї задачі. Якщо ви відкриєте конверт, вартість цієї задачі зменшується на 20 балів. Щоб отримати повний залік, віддайте запечатаний конверт судді перед представленням вашого розв’язку.
10–11 класиТеорема Вієта
Відбіркові тести на IMOTST-1999-009

Арифметична прогресія, що уникає значень многочлена

Доведіть, що для кожного многочлена P(x)P(x) степеня 1010 з цілими коефіцієнтами існує (в обидва боки) нескінченна арифметична прогресія цілих чисел, яка не містить жодного зі значень P(k)P(k), k∈Zk \in \mathbb{Z}.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Відбіркові тести на IMOTST-1999-010

Добуток п’яти послідовних натуральних чисел не є квадратом

Доведіть, що добуток п’яти послідовних натуральних чисел не є повним квадратом.
10–11 класиОсновна теорема арифметики
Італійська математична олімпіадаITAMO-1999-007

Мости між хатинами на прямокутній решітці

На озері є селище з хатин на палях, розташованих у вузлах прямокутної решітки m×nm \times n (див. приклад на рисунку). З платформи кожної хатини виходить рівно pp мостів, які з'єднують її з однією або кількома сусідніми хатинами (відносно решітки, тобто не по діагоналі). Для яких натуральних значень m,nm, n і pp можна розмістити мости так, щоб з кожної хатини можна було дістатися до будь-якої іншої хатини? (Звісно, між двома сусідніми хатинами можна прокласти кілька мостів).
10–11 класиКольорові інваріанти (розфарбуван…
Італійська математична олімпіадаITAMO-1998-005

Строго зростаючі мультиплікативні функції

Нехай ff — функція, визначена на множині натуральних чисел, зі значеннями в натуральних числах. Скажемо, що: - ff є зростаючою, якщо з n<mn < m випливає f(n)<f(m)f(n) < f(m) - ff є мультиплікативною, якщо з НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n) = 1 випливає f(nm)=f(n)⋅f(m)f(n m) = f(n) \cdot f(m) - ff є цілком мультиплікативною, якщо f(nm)=f(n)⋅f(m)f(n m) = f(n) \cdot f(m) для всіх n,mn, m. a. Доведіть, що якщо ff є зростаючою, то f(n)≥nf(n) \geq n для всіх nn. b. Доведіть, що якщо ff є зростаючою, цілком мультиплікативною і f(2)=2f(2) = 2, то f(n)=nf(n) = n для всіх nn. c. Чи залишається твердження (b) правильним, якщо вилучити прислівник «цілком»?
10–11 класиВластивості монотонності або обме…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.