Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-018

Раціональна послідовність з рекурсією за парністю чисельника

Нехай x0,x1,x2,…x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots — послідовність раціональних чисел, задана рекурентно таким чином: x0x_{0} — довільне раціональне число, а для n≥0n \geq 0 xn+1={∣xn2−1∣ якщо чисельник xn парний ,∣1xn−1∣ якщо чисельник xn непарний ,x_{n+1}= \begin{cases}\left|\frac{x_{n}}{2}-1\right| & \text { якщо чисельник } x_{n} \text { парний }, \\ \left|\frac{1}{x_{n}}-1\right| & \text { якщо чисельник } x_{n} \text { непарний },\end{cases} де під чисельником раціонального числа розуміється чисельник дробу, зведеного до найменшого вигляду. Доведіть, що для кожного значення x0x_{0}: (a) послідовність містить лише скінченну кількість попарно різних членів; (b) послідовність містить рівно одне з чисел 0 і 2/32 / 3 (тобто: або існує індекс kk такий, що xk=0x_{k}=0, або існує індекс mm такий, що xm=2/3x_{m}=2 / 3, але не обидва разом).
10–11 класиНапівінваріанти
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-019

Перетин перпендикулярів і чевіани в рівнобедреному трикутнику

Нехай ABCABC — рівнобедрений трикутник, у якому AB=ACAB = AC і BAC^<60∘\widehat{BAC} < 60^\circ, нехай DD — точка на стороні ACAC така, що DBC^=BAC^\widehat{DBC} = \widehat{BAC}, нехай EE — перетин серединного перпендикуляра до відрізка BDBD з прямою, паралельною прямій BCBC, що проходить через AA, і нехай FF — точка на прямій ACAC, з боку AA відносно CC, така, що довжина відрізка FAFA вдвічі більша за довжину відрізка ACAC. Нарешті, нехай rr — перпендикуляр до прямої ABAB, проведений через FF, ss — перпендикуляр до прямої ACAC, проведений через EE, а tt — пряма BDBD. Доведіть, що: (a) прямі EBEB і ACAC паралельні; (b) прямі rr, ss і tt перетинаються в одній точці.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-022

Пошук відмінного числа в цілочисловій послідовності

Таємнича машина містить секретну комбінацію, що складається з 2016 цілих чисел x1,…,x2016x_{1}, \ldots, x_{2016}. Відомо, що всі числа комбінації рівні між собою, крім одного. Машину можна опитувати, подаючи їй послідовність із 2016 цілих чисел y1,…,y2016y_{1}, \ldots, y_{2016}. Машина відповідає, повідомляючи значення суми x1y1+⋯+x2016y2016.x_{1} y_{1}+\cdots+x_{2016} y_{2016} \text{.} Після відповіді на перше запитання машина приймає друге запитання, потім третє, і так далі. Скільки запитань необхідно, щоб визначити комбінацію: (a) знаючи, що відмінне число дорівнює нулю? (b) не знаючи, яким є відмінне число?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-023

Поділ дуги кола навпіл через центри двох кіл

Нехай на площині дано два кола γ1\gamma_{1} і γ2\gamma_{2} з центрами AA і BB відповідно, які перетинаються у двох точках CC і DD. Припустімо, що коло, яке проходить через AA, BB і CC, перетинає γ1\gamma_{1} і γ2\gamma_{2} ще раз у точках EE та FF відповідно, і що дуга EFE F, яка не містить CC, лежить поза двома кругами, обмеженими колами γ1\gamma_{1} і γ2\gamma_{2}. Доведіть, що дуга EFE F, яка не містить CC, ділиться навпіл прямою CDC D.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Італійська математична олімпіадаITAMO-0000-024

Найменша сума дробів при фіксованому добутку

Для кожного цілого n≥2n \geq 2 визначити: a. найбільше дійсне число cnc_{n} таке, що 11+a1+11+a2+…+11+an≥cn\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+\ldots+\frac{1}{1+a_{n}} \geq c_{n} для будь-якого вибору додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} таких, що a1⋅a2⋅…⋅an=1a_{1} \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{n}=1; b. найбільше дійсне число dnd_{n} таке, що 11+2a1+11+2a2+…+11+2an≥dn\frac{1}{1+2 a_{1}}+\frac{1}{1+2 a_{2}}+\ldots+\frac{1}{1+2 a_{n}} \geq d_{n} для будь-якого вибору додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} таких, що a1⋅a2⋅…⋅an=1a_{1} \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{n}=1.
10–11 класиЧислові нерівності
Інші змаганняMISC-0000-091

Елементи діагоналі в монотонній сітці

На дошці нижче треба розмістити всі числа від 11 до 2525 за такими правилами: - У кожному рядку 55 розміщених чисел мають утворювати строго зростаючу послідовність при читанні зліва направо. - У кожному стовпці 55 розміщених чисел мають утворювати строго зростаючу послідовність при читанні зверху вниз. Головна діагональ дошки — це діагональ, зафарбована на рисунку. a) Покажіть, що після розміщення чисел найменше число, розміщене на головній діагоналі, завжди більше або дорівнює 55, а найбільше число, розміщене на головній діагоналі, більше або дорівнює 1515. b) Розмістіть числа на дошці таким чином, щоб на головній діагоналі були числа 5,9,12,145, 9, 12, 14 і 1515. c) Покажіть, що неможливо розмістити числа таким чином, щоб сума на головній діагоналі була меншою за 5555.
8–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Інші змаганняMISC-0000-167

Упорядкована послідовність із цілими середніми

Педріньйо вибрав 8 різних чисел від 1 до 11 і записав їх у певному порядку. Жоаозінью, побачивши числа, які записав Педріньйо, помітив такий цікавий факт: якщо взяти середнє арифметичне nn перших чисел, записаних Педріньйо, n=1,…,8n=1, \ldots, 8, то результатом завжди буде ціле число. Тобто якщо взяти середнє арифметичне двох перших чисел, трьох перших, чотирьох перших чисел і так далі, то всі ці середні будуть цілими. Які можливі послідовності чисел міг записати Педріньйо? (Підказка: спочатку з'ясуйте, якими можуть бути суми цих 8 чисел, а потім спробуйте відновити вибрані числа з кінця до початку.)
8–9 класиДільники та кратні (базові власти…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-0000-122

Сума чисел на дошці 8×8 за умовою на сусідів

Гільєрме написав по числу в кожній клітинці дошки 8×88 \times 8 так, що для кожної клітинки дошки сума чисел у сусідніх з нею клітинках дорівнює 1. Обчисліть суму всіх чисел, написаних Гільєрме. Зауваження: дві клітинки є сусідніми, якщо мають спільну сторону.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-0000-002

Конкурентні прямі від середин дуг

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Нехай MAM_{A}, MBM_{B} та MCM_{C} — середини сторін BCBC, CACA та ABAB відповідно. Нехай MA′M_{A}^{\prime}, MB′M_{B}^{\prime} та MC′M_{C}^{\prime} — середини менших дуг BCBC, CACA та ABAB на описаному колі трикутника ABCABC відповідно. Нехай PAP_{A} — перетин прямої MBMCM_{B}M_{C} та перпендикуляра до прямої MB′MC′M_{B}^{\prime}M_{C}^{\prime}, проведеного через AA. Точки PBP_{B} та PCP_{C} означено аналогічно. Доведіть, що прямі MAPAM_{A}P_{A}, MBPBM_{B}P_{B} та MCPCM_{C}P_{C} перетинаються в одній точці.
10–11 класиТеорема Чеви2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-0000-003

Різні прямі кути в прямокутниках

Нам дано nn різних прямокутників на площині. Доведіть, що серед 4n4n внутрішніх прямих кутів, утворених цими прямокутниками, принаймні 4n4 \sqrt{n} є різними.
10–11 класиНерівність Коші
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-0000-004

Функція Ейлера від мерсеннових чисел

Нехай φ\varphi позначає функцію Ейлера. Доведіть, що для кожного натурального числа nn 2n(n+1)∣32⋅φ(22n−1)2^{n(n+1)} \mid 32 \cdot \varphi\left(2^{2^{n}}-1\right)
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-0000-006

Розподіл каменів на шахівниці з обмеженнями на ходи

Нехай nn — додатне ціле число. Розглянемо таку гру: спочатку kk каменів розподілено по n2n^{2} клітинках шахівниці розміром n×nn \times n. Хід полягає у виборі клітинки, що містить принаймні стільки ж каменів, скільки її сусідніх клітинок (дві клітинки є сусідніми, якщо вони мають спільну сторону), і переміщенні одного каменя з цієї клітинки до кожної з її сусідніх клітинок. Визначте всі додатні цілі числа kk такі, що: (a) Існує початкова конфігурація з kk каменями, при якій жоден хід неможливий. (b) Існує початкова конфігурація з kk каменями, при якій можлива нескінченна послідовність ходів.
10–11 класиБієкції
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-0000-007

Вписаний чотирикутник у рівнобічній трапеції

Нехай ABCDABCD — рівнобічна трапеція з AD>BCAD > BC. Нехай XX — точка перетину бісектриси ∠BAC\angle BAC і сторони BCBC. Нехай EE — точка перетину діагоналі DBDB з прямою, паралельною бісектрисі ∠CBD\angle CBD, що проходить через XX, і нехай FF — точка перетину сторони DCDC з прямою, паралельною бісектрисі ∠DCB\angle DCB, що проходить через XX. Доведіть, що AEFDAEFD — вписаний чотирикутник.
10–11 класиОзнаки подібності
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-004

Існування цікавого k-цифрового числа

Назвемо натуральне число nn цікавим, якщо як сума цифр числа nn, так і сума цифр числа n+1n+1 є повними квадратами, причому nn і n+1n+1 мають однакову кількість цифр. Знайдіть усі натуральні числа kk, для яких існує цікаве kk-цифрове число.
Міркування за модулем
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-050

Сума після операцій з НСД та НСК на дошці

Каті записує на дошку числа 20,21,22,…,2100,30,31,32,…,3100,60,61,62,…,61002^0, 2^1, 2^2, \dots, 2^{100}, 3^0, 3^1, 3^2, \dots, 3^{100}, 6^0, 6^1, 6^2, \dots, 6^{100} На кожному кроці вона виконує одну з таких операцій: (1) Вона може вибрати два числа і замінити їх на їхній найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне; або (2) Вона може вибрати два числа, одне з яких ділиться на інше, і замінити їх на деякі два числа, найбільшим спільним дільником і найменшим спільним кратним яких були б ці два вибрані числа. Знайдіть найменшу та найбільшу суму всіх чисел на дошці, яку можна досягти за скінченну кількість кроків.
Інші інваріанти
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-001

Дотик до кола IKL і циклічність точок A, K, L, E

Бісектриси кутів гострокутного трикутника ABCABC перетинаються в точці II. Пряма AIAI перетинає описане коло трикутника ABCABC у точці DD (D≠AD \neq A), а сторону BCBC — у точці EE. Пряма BIBI перетинає описане коло трикутника CDICDI у точці KK, а пряма CICI перетинає описане коло трикутника BDIBDI у точці LL (K≠I,L≠IK \neq I, L \neq I). a. Доведіть, що пряма DIDI дотикається до описаного кола трикутника IKLIKL. b. Доведіть, що точки A,K,L,EA, K, L, E лежать на одному колі.
Дотична кола
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-005

Точки дотику вписаного кола і середина відрізка

Дано трикутник ABCABC з AB<BCAB < BC і тупим кутом при вершині BB. Вписане коло трикутника ABCABC з інцентром II дотикається до сторін BCBC, CACA і ABAB у точках DD, EE і FF відповідно. Пряма AIAI перетинає сторону BCBC у точці KK. Промінь IBIB перетинає описане коло трикутника KIFKIF у точці PP (P≠IP \neq I), а промінь ICIC перетинає описане коло трикутника KIEKIE у точці QQ (Q≠IQ \neq I). Доведіть, що пряма PQPQ ділить навпіл відрізок DKDK.
Допоміжне коло (перекидання кутів)
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-036

Кут у перетині описаних кіл

Середина гіпотенузи ABAB прямокутного трикутника ABCABC — точка MM. Точка DD лежить на стороні BCBC так, що описане коло трикутника ACDACD перетинає пряму DMDM у точці KK між точками DD і MM. Нехай LL — точка, симетрична точці KK відносно точки MM. Описані кола трикутників ACDACD і LBCLBC перетинаються в точці NN, N≠CN \neq C. Знайдіть величину кута KNLKNL.
Допоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-012

Послідовні звичайні числа

Натуральне число mm називається звичайним, якщо квадрат кожного простого дільника числа mm менший за mm. a. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел nn таких, що як nn, так і n+1n+1 є звичайними. b. Чи існує натуральне число nn таке, що nn, n+1n+1 і n+2n+2 усі звичайні?
Розподіл простих чисел2 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-014

Рівнобедрений трикутник із бісектрис кутів

Нехай OO — центр описаного кола гострокутного трикутника ABCABC. Точки DD і EE вибрано на стороні BCBC так, що ADAD — висота трикутника ABCABC, а AEAE ділить навпіл кут CADCAD. Бісектриси трикутника AOBAOB перетинаються в точці JJ. Доведіть, що трикутник JBEJBE рівнобедрений.
Поворотна гомотетія4 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-015

Максимальна кількість чорної смородини з балансом кольорів сусідів

Садівник Андрес хоче посадити по одному кущу смородини в кожну клітинку свого саду розміром 24×202424 \times 2024. Він хоче посадити якомога більше кущів чорної смородини за таких умов: має бути принаймні один кущ червоної смородини та принаймні один кущ білої смородини, а для будь-якої клітинки з кущем чорної смородини, клітинки, що мають з нею спільну сторону, повинні містити однакову кількість кущів червоної та білої смородини (можливо, також 0 обох). Знайдіть найбільшу кількість кущів чорної смородини, яку Андрес може посадити.
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-022

Гра на суми трьох різних цифр

Атс і Петс по черзі записують зображення числа 1515 у вигляді суми трьох різних одноцифрових натуральних чисел. Кожним ходом гравець повинен записати суму, яка має рівно один спільний доданок з попередньою сумою, жодного спільного доданка з передпопередньою сумою і менше трьох спільних доданків з будь-якою записаною раніше сумою. Атс починає і може довільно обрати першу суму. Гравець, який не може записати суму, програє. Який гравець може виграти незалежно від гри суперника?
Виграшні та програшні позиції: ан…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-042

Унікальні суми сусідніх клітинок у квадратній таблиці

Нехай nn — довільне натуральне число. Знайдіть найменше натуральне число kk таке, що в кожну клітинку таблиці n×nn \times n можна записати натуральне число від 11 до kk так, щоб сума чисел у будь-яких двох клітинках зі спільною стороною відрізнялася від усіх інших таких сум. Числа в різних клітинках не обов’язково мають бути різними.
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-020

Рівні відрізки при продовженні висоти

У гострокутному трикутнику ABCABC продовження висоти ADAD за точку DD перетинає описане коло в точці EE. Середина відрізка CECE — точка FF. Описані кола трикутників ABCABC і DEFDEF перетинаються в точці G≠EG \neq E. Основа висоти, проведеної з AA до прямої FGFG, — точка PP. Доведіть, що DA=DPDA = DP.
Допоміжне коло (перекидання кутів)3 розв’язки
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-045

Код Грея від нулів до дев’яток

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких усі 10n10^n невід’ємних цілих чисел, що складаються з nn цифр, можна впорядкувати так, щоб виконувалися всі такі умови: (1) перше число складається лише з нулів; (2) будь-які два числа, сусідні в цьому порядку, відрізняються рівно в одній позиції, а цифри в цій позиції відрізняються рівно на 1; (3) останнє число складається лише з дев’яток. Зауваження: у цій задачі дозволяється, щоб числа починалися з нуля (нулів).
Парність і непарність2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.