Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2022-019

Числа без четвірки та взяття різниць

Маленький Юку виписує на дошку всі цілі числа від 11 до nn, але оскільки він ще не знає цифру 44, то пропускає всі числа, що містять 44. Його сестра Марі стирає два числа з дошки і записує на дошку абсолютне значення різниці цих чисел. Потім Марі знову стирає два числа з дошки і записує на дошку абсолютне значення їхньої різниці і т. д. Чи може після скінченної кількості таких кроків статися, що на дошці будуть усі цілі числа від 11 до nn, які містять цифру 44, і лише вони, кожне рівно один раз, якщо a. n=2021n = 2021; b. n=10000n = 10000?
Парність і непарність
Математичний гурток БеркліBMC-2021-007

Опуклі многокутники зі сторонами-коренями в одиничному колі

Визначте кількість опуклих многокутників, які можна вписати в одиничне коло і всі сторони яких є квадратними коренями з натуральних чисел. Многокутники, які збігаються один з одним поворотом або відбиттям, вважаються однаковими.
Центральні і вписані кути
Математичний гурток БеркліBMC-2021-014

Процес виключення з ради теоретиків ігор

2020 членів товариства теоретиків ігор проводять щорічні вибори керівної ради. Спочатку до ради входять усі члени, ранжовані за кваліфікацією. Вони починають із голосування про те, чи залишити раду в незмінному складі; якщо суворої більшості не набрано, члена з найнижчим рейтингом виключають. Цей процес триває, доки вони нарешті не проголосують за збереження складу ради. Загальновідомо, що кожен член ради прагне максимізувати власний вплив, тобто прагне залишитися в раді, зберігши при цьому якомога менше інших членів. Скільки членів товариства залишиться в керівній раді після завершення цього процесу?
Виграшні та програшні позиції: ан…
Математичний гурток БеркліBMC-2021-023

Великі прості дільники значень многочлена четвертого степеня

Доведіть, що існує нескінченно багато цілих чисел nn таких, що n4+2020n^{4}+2020 має простий дільник, більший за 2n2 n.
Теорема Евкліда про нескінченніст…
Математичний гурток БеркліBMC-2021-025

Вписане та зовнівписане кола і висота трикутника

У △ABC\triangle ABC нехай вписане коло має центр II і дотикається до сторони BCBC у точці DD, а AA-зовнівписане коло має центр IaI_{a} і дотикається до сторони BCBC у точці D′D'. Доведіть, що прямі ID′ID' і IaDI_{a}D перетинаються на висоті, опущеній з AA на BCBC.
Гомотерія і подібність
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2021-036

Найбільша кількість обернених пар без потрійного ланцюга

Юку має вдома перші 100 томів книжкової серії про Гаррі Тоттера. Для кожних ii і jj, де 1≤i<j≤1001 \le i < j \le 100, пару (i,j)(i, j) назвемо оберненою, якщо том № jj стоїть на полиці Юку перед томом № ii. Юку хоче розставити всі томи серії в один ряд на полиці так, щоб не існувало чисел i,j,ki, j, k, де 1≤i<j<k≤1001 \le i < j < k \le 100, таких, що пари (i,j)(i, j) і (j,k)(j, k) обидві обернені. Знайдіть найбільшу кількість обернених пар, яка може виникнути за цієї умови.
Двочасткові графи2 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2021-013

Хрестики-нулики зі зміненими правилами

Ксав'єр і Олів'є грають у хрестики-нулики на прямокутній сітці розміру 3×33 \times 3 зі зміненими правилами. Кожного ходу гравець вибирає порожню клітинку і ставить у неї свою фішку. Гравці ходять по черзі, починає Ксав'єр. Гравець, який першим займе будь-які три клітинки, що або всі лежать в одному рядку чи стовпці, або лежать у попарно різних рядках і стовпцях, перемагає. Чи має хтось із гравців виграшну стратегію і якщо так, то хто?
Класичні ігри
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2021-014

Абсолютна рекурсія у вершинах правильного многокутника

Знайдіть усі цілі числа n≥3n \ge 3, для яких можна вписати по числу (не обов’язково цілому) в кожну вершину правильного nn-кутника так, щоб виконувалися обидві такі умови: (1) Якщо три послідовні вершини nn-кутника, взяті за годинниковою стрілкою, містять числа x,yx, y і zz відповідно, то виконується рівність x=∣y−z∣x = |y - z|; (2) Сума чисел в усіх вершинах nn-кутника дорівнює 1.
Періодичні і неперіодичні послідо…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2021-030

Гра із заміною чисел на суму, кратну їм

На дошці написано натуральні числа від 11 до nn. За один хід стирають з дошки 22 або більше чисел, сума яких ділиться на кожне з вибраних чисел, і пишуть на дошці їхню суму. Двоє гравців ходять по черзі, і гравець, який не може зробити хід, програє гру. Який гравець може виграти гру за будь-якої гри суперника, якщо: a. n=6n = 6; b. n=11n = 11?
Виграшні та програшні позиції: ан…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2021-026

Двійкова послідовність з обмеженням на густину

Кожен член послідовності a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots дорівнює 00 або 11. Відомо, що серед будь-яких 20212021 послідовних членів послідовності і 00, і 11 трапляються щонайменше 10101010 разів. Чи можна стверджувати, що послідовність, починаючи з деякого місця, є періодичною, тобто існують натуральні числа nn і pp такі, що an+i=an+i+pa_{n+i} = a_{n+i+p} для кожного натурального числа ii?
Періодичні і неперіодичні послідо…
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2021-020

Вписане коло і колінеарність точок

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін ABAB і ACAC у точках KK і LL відповідно. Пряма BLBL перетинає вписане коло трикутника ABCABC у точці MM (M≠LM \neq L). Коло, яке проходить через точку MM, дотикається до прямих ABAB і BCBC у точках PP і QQ відповідно та перетинає вписане коло трикутника ABCABC у точці NN (N≠MN \neq M). Доведіть, що якщо KM∥ACKM \parallel AC, то точки PP, NN і LL лежать на одній прямій.
Гомотерія і подібність
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2021-035

Симетрична точка на описаному колі

Точка DD всередині гострокутного трикутника ABCABC задовольняє ∠ADC=∠BDA=180∘−∠CAB.\angle ADC = \angle BDA = 180^{\circ} - \angle CAB. Доведіть, що точка, симетрична точці AA відносно точки DD, лежить на описаному колі трикутника ABCABC.
Допоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2021-007

Гамільтонові цикли і шляхи на дошці 3 на n

Дано прямокутну клітинну дошку з 3 рядками і nn стовпцями. а. Знайдіть кількість способів записати в кожну клітинку рівно по одному з чисел 1,2,…,3n1, 2, \ldots, 3n так, щоб виконувалися всі такі умови: (1) Різні клітинки містять різні числа. (2) Для кожного i=1,2,…,3n−1i = 1, 2, \ldots, 3n - 1 числа ii і i+1i + 1 записані в сусідні клітинки (тобто клітинки, що мають спільну сторону). (3) Числа 11 і 3n3n записані в сусідні клітинки. б. Те саме запитання, але замість 3-ї умови вимагається, щоб число 11 було записане в найлівіший, а число 3n3n — у найправіший стовпець.
Шляхи на графах
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2021-008

Розподіл мандатів методами Анни та Берта

Є nn списків кандидатів, які беруть участь у виборах. Нехай hih_i — загальна кількість голосів, відданих за кандидатів ii-го списку. У представницькому органі є MM місць. Анна пропонує таку систему розподілу мандатів: для кожного списку обчислюють контрольне число vi=hiai+1v_i = \frac{h_i}{a_i + 1}, де aia_i — кількість мандатів, уже наданих ii-му списку (спочатку ai=0a_i = 0, тобто контрольне число кожного списку дорівнює кількості його голосів). На кожному кроці (загалом MM разів) обирають список із найбільшим контрольним числом (якщо перше місце ділять кілька списків, один із них обирають навмання) і додають цьому списку один мандат, після чого контрольне число цього списку перераховують. Берт для розподілу мандатів пропонує помножити кількість голосів кожного списку на M/KM/K, де K=h1+⋯+hnK = h_1 + \dots + h_n, причому дробові результати заокруглюють униз. Оскільки через заокруглення деякі місця можуть залишитися нерозподіленими, він пропонує помножити всі кількості голосів списків на деякий відповідний коефіцієнт β\beta, так, щоб кількість мандатів, наданих ii-му списку, дорівнювала mi=⌊βhiMK⌋m_i = \lfloor \frac{\beta h_i M}{K} \rfloor, де m1+⋯+mn=Mm_1 + \dots + m_n = M. Доведіть, що якщо такий коефіцієнт β\beta існує, то методи Анни та Берта приводять до однакового розподілу мандатів.
Ціла та дробова частини числа
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2021-018

Дотичні й поділена навпіл хорда в трикутнику

Прямі, дотичні до описаного кола трикутника ABCABC в точках BB і CC, перетинаються в точці DD. Описане коло трикутника BCDBCD перетинає прямі ABAB і ACAC вдруге в точках KK і LL відповідно. Доведіть, що пряма ADAD ділить навпіл відрізок KLKL.
Допоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2021-011

Коні, що не б'ють один одного на дошці

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть найбільшу кількість коней, яку можна поставити на дошку розміру n×nn \times n так, щоб жодні два коні не били один одного. Кінь б'є саме ті клітинки, які розташовані на одну клітинку по горизонталі та на дві клітинки по вертикалі або на дві клітинки по горизонталі та на одну клітинку по вертикалі.
Симетрія та розбиття на пари
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2020-001

Незмінна пряма через рухому хорду

Розглянемо △ABC\triangle A B C. Виберемо точку MM на його стороні BCB C і нехай OO — центр кола, що проходить через вершини трикутника △ABM\triangle A B M. Нехай kk — коло, яке проходить через точки AA і MM і центр якого лежить на прямій BCB C. Нехай пряма MOM O вдруге перетинає kk у точці KK. Доведіть, що пряма BKB K одна й та сама для будь-якого вибору точки MM на відрізку BCB C, за умови, що всі ці побудови визначені.
Допоміжне коло (перекидання кутів)
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2020-002

Площини, що розділяють точки на сфері

Нехай SS — множина з a+b+3a+b+3 точок на сфері, де a,ba, b — невід’ємні цілі числа і жодні чотири точки з SS не компланарні (тобто жодні чотири точки не лежать в одній площині). Визначте, скільки площин проходить через три точки з SS і розділяє решту точок на aa точок з одного боку площини та bb точок з іншого боку.
Підрахунок двома способами
Математичний гурток БеркліBMC-2020-006

Гра з перемикачами на столі, що обертається

Ви із зав’язаними очима сидите перед столом, що обертається, на якому є чотири перемикачі. Кожен перемикач завжди перебуває або вгорі, або внизу, і ви не знаєте, у якій конфігурації вони перебувають спочатку. На кожному ході ви можете покрутити стіл на невідому величину, потім простягнути руку й вибрати два перемикачі (або сусідні, або діаметрально протилежні), на дотик визначити, вгорі вони чи внизу, а потім вирішити перевернути один, обидва або жоден з них. Ви виграєте, якщо всі перемикачі стануть або вгорі, або внизу. З’ясуйте, чи завжди можна виграти в цю гру.
Класичні ігри
Математичний гурток БеркліBMC-2020-007

Опуклий многокутник із цілими сусідніми кутами

Припустімо, що маємо опуклий многокутник, у якому всі внутрішні кути є цілими числами, якщо вимірювати в градусах, а внутрішні кути при будь-яких двох сусідніх вершинах відрізняються рівно на 1∘1^{\circ}. Якщо найбільший і найменший внутрішні кути многокутника дорівнюють M∘M^{\circ} і m∘m^{\circ}, то яке найбільше можливе значення M−mM-m?
Кути багатокутника. Зовнішні кути
Математичний гурток БеркліBMC-2020-010

Сума обернених чисел, що дорівнює 2019

Визначте, з доведенням, чи існують різні натуральні числа a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} такі, що 1a1+1a2+⋯+1an=2019.\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdots + \frac{1}{a_{n}} = 2019.
Жадібний алгоритм
Математичний гурток БеркліBMC-2020-012

Зали в нескінченному замку з пронумерованими кімнатами

Нескінченний замок має кімнати з номерами 1,2,3,…1, 2, 3, \ldots Якщо кімната nn знаходиться в одному холі з кімнатами 2n+12n+1 і 3n+13n+1 для кожного nn, то яка найбільша можлива кількість різних холів у замку?
Метод нескінченного спуску
Математичний гурток БеркліBMC-2020-013

Двоколірний граф без непарних одноколірних циклів

Простий граф GG на 20202020 вершинах має ребра, пофарбовані в червоний і зелений кольори. Виявилося, що кожен одноколірний цикл має парну довжину. За цієї умови яку найбільшу кількість ребер може мати GG?
Класичні теореми теорії графів
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2019-001

Самовідображення з функціональним рівнянням

Нехай SS — скінченна множина ненульових дійсних чисел, а f:S→Sf: S \rightarrow S — функція з такою властивістю: для кожного x∈Sx \in S виконується або f(f(x))=x+f(x)абоf(f(x))=x+f(x)2f(f(x))=x+f(x) \quad \text{або} \quad f(f(x))=\frac{x+f(x)}{2} Доведіть, що f(x)=xf(x)=x для всіх x∈Sx \in S.
Циклічні підстановки (метод орбіт)
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2019-002

Класифікація чисел за сумами дільників

Кожне натуральне число є або хорошим, або поганим, і Оракул Чисел знає, які саме які. Однак Оракул не скаже вам напряму, чи число хороше, чи погане. Єдині запитання, на які Оракул відповідатиме, — це запитання виду «Чому дорівнює сума всіх хороших дільників числа nn?», де nn — число на вибір запитувача. Наприклад, припустімо (лише для цього прикладу), що 22 і 33 — хороші, а 11 і 66 — погані. Тоді, якби ви запитали Оракула: «Чому дорівнює сума всіх хороших дільників числа 66?», відповідь Оракула була б 55. Доведіть, що для будь-якого даного натурального числа nn, меншого за 11 мільйон, ви можете визначити, чи є nn хорошим, чи поганим, поставивши Оракулові щонайбільше чотири запитання.
Сума дільників σ(n)

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.