Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Математичний гурток БеркліBMC-2017-006

Двоїстість розбиття шахових многокутників

Визначимо шаховий многокутник як многокутник, сторони якого лежать на прямих виду x=ax = a і y=by = b, де aa і bb — цілі числа. Ці прямі ділять його внутрішність на одиничні квадрати, які ми називаємо клітинками. Нехай nn і kk — натуральні числа. Припустимо, що квадрат можна розбити на nn конгруентних шахових многокутників із kk клітинок у кожному. Доведіть, що цей квадрат також можна розбити на kk конгруентних шахових многокутників із nn клітинок у кожному.
Розрізання, покриття та замощення
Математичний гурток БеркліBMC-2017-012

Цілі значення симетричного дробу

Доведіть, що існує нескінченно багато пар натуральних чисел (m,n)(m, n) таких, що m+1n+n+1m\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m} є цілим числом.
Стрибки Вієта
Математичний гурток БеркліBMC-2017-018

Нескінченна сума добутків за простими числами

Обчисліть суму ∑k=1∞(∏i=1kPi−1Pi+1)=13+13⋅25+13⋅25⋅47+13⋅25⋅47⋅611+…\sum_{k=1}^{\infty}\left(\prod_{i=1}^{k} \frac{P_{i}-1}{P_{i+1}}\right)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}+\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{7}+\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{6}{11}+\ldots де PnP_{n} позначає n-теn^{\text{-те}} просте число.
Суми послідовностей
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-046

Підмножина з непростими різницями

Яку найбільшу кількість цілих чисел можна вибрати з множини {1,2,3,…,2017}\{1,2,3, \ldots, 2017\} так, щоб різниця між будь-якими двома з них не була простим числом?
Арифметика остач (базові властиво…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-001

Інцентр трикутника та паралельні відрізки

Нехай DD — точка на стороні ABAB трикутника ABCABC така, що CD=ACCD = AC, як показано на рисунку нижче. Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін ACAC і ABAB у точках EE і FF відповідно. Нехай II — інцентр трикутника BCDBCD, а PP — точка перетину відрізків AIAI і EFEF. Крім того, нехай GG — точка на відрізку ABAB така, що прямі IGIG і EFEF паралельні. a) Доведіть, що DI=IGDI = IG. b) Доведіть, що AP=PIAP = PI. Зауваження: інцентр трикутника — це точка перетину бісектрис внутрішніх кутів трикутника, а вписане коло — це коло з центром в інцентрі, дотичне до трьох сторін трикутника.
Вписане коло
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-010

Вибір різнокольорових намистин із коробок

Є 2m2m намистин mm різних кольорів, по дві кожного кольору. Ці намистини розкладено в mm коробок, по дві в кожній коробці, так, що можна вибрати по одній намистині з кожної з них і отримати набір із mm намистин різних кольорів. Доведіть, що кількість способів зробити такий вибір обов'язково є степенем двійки.
Зв’язність
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2016-005

Найбільша кількість видимих порядків вершин n-кутника

Вершини фіксованого опуклого (але не обов'язково правильного) nn-кутника позначено різними літерами. Якщо спостерігач стоїть у точці площини многокутника поза межами многокутника, то він бачить літери в певному порядку зліва направо, і вони складають «слово» (тобто рядок літер; це не обов'язково має бути слово якоюсь мовою). Наприклад, на діаграмі нижче (де n=4n=4) спостерігач у точці XX прочитає «BAMO», а спостерігач у точці YY прочитає «MOAB». Знайдіть, у вигляді формули від nn, найбільшу кількість різних nn-літерних слів, які можна прочитати таким чином з одного nn-кутника. Не враховуйте слова, у яких якоїсь літери бракує через те, що з позиції спостерігача вона розташована точно за іншою літерою.
Дискретні набори точок та прямих…
Математичний гурток БеркліBMC-2016-006

Стратегія вгадування переважної масті

У стандартній колоді з 52 карт є по 13 карт кожної з чотирьох мастей. Кевін називає масть верхньої карти, після чого верхню карту відкривають і відкладають. Цей процес триває, доки не закінчаться карти. Якщо Кевін завжди називає масть, карт якої залишилося найбільше (у разі рівності обираючи довільно), доведіть, що він вгадає принаймні 13 разів.
Жадібний алгоритм
Математичний гурток БеркліBMC-2016-008

Рівняння з коренями з добутків x+1, x+2, x+3

Розв’яжіть рівняння для дійсного xx: x+(x+1)(x+2)+(x+2)(x+3)+(x+3)(x+1)=4.x + \sqrt{(x+1)(x+2)} + \sqrt{(x+2)(x+3)} + \sqrt{(x+3)(x+1)} = 4.
Перетворення ірраціональних вираз…
Математичний гурток БеркліBMC-2016-009

Коло з дугами з додатною сумою

На колі записано 2n2n дійсних чисел із додатною сумою. Для кожного числа існує два набори з nn чисел, для яких це число стоїть на краю. Доведіть, що знайдеться число, для якого суми обох цих наборів додатні.
Двочасткові графи
Математичний гурток БеркліBMC-2016-010

П'ятикутник із рівними сторонами та співвідношеннями кутів

Нехай ABCDEABCDE — опуклий п'ятикутник, у якому CD=DECD = DE та ∠BCD=∠DEA=90∘\angle BCD = \angle DEA = 90^{\circ}. Точка FF лежить на стороні ABAB так, що AFAE=BFBC\frac{AF}{AE} = \frac{BF}{BC}. Доведіть, що ∠FCE=∠ADE\angle FCE = \angle ADE та ∠FEC=∠BDC\angle FEC = \angle BDC.
Допоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний гурток БеркліBMC-2016-011

Вписаний чотирикутник із точок дотику вписаних кіл

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Припустімо, що вписане коло трикутника ABDABD дотикається до сторін AB‾\overline{AB}, AD‾\overline{AD}, BD‾\overline{BD} у точках WW, ZZ, KK. Також припустімо, що вписане коло трикутника CBDCBD дотикається до сторін CB‾\overline{CB}, CD‾\overline{CD}, BD‾\overline{BD} у точках XX, YY, KK. Доведіть, що чотирикутник WXYZWXYZ є вписаним.
Степінь точки відносно кола
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2015-004

Розбиття кубів на конгруентні прямокутні паралелепіпеди

Дано nn однакових кубів, кожен розміру 1×1×11 \times 1 \times 1. Ми розкладаємо всі ці nn кубів так, щоб отримати один або кілька конгруентних прямокутних паралелепіпедів; нехай B(n)B(n) — кількість способів це зробити. Наприклад, якщо n=12n=12, то один зі способів — дванадцять кубів 1×1×11 \times 1 \times 1, інший — один паралелепіпед 3×2×23 \times 2 \times 2, інший — три паралелепіпеди 2×2×12 \times 2 \times 1, інший — три паралелепіпеди 4×1×14 \times 1 \times 1 тощо. Скажімо, 2×2×12 \times 2 \times 1 та 1×2×21 \times 2 \times 2 ми не вважаємо різними; ці паралелепіпеди конгруентні. За бажанням можна перевірити, наприклад, що B(12)=11B(12)=11. Знайдіть з доведенням ціле число mm, для якого 10m<B(2015100)<10m+110^{m}<B\left(2015^{100}\right)<10^{m+1}.
Комбінації
Математичний гурток БеркліBMC-2015-023

Сума за умови повного квадрата

Нехай aa, bb, cc — натуральні числа такі, що a2−bca^{2}-b c — повний квадрат. Доведіть, що число 2a+b+c2a+b+c не є простим.
Метод факторизації (розкладання н…
Математичний гурток БеркліBMC-2015-010

Різнокольорові трикутники у розфарбованому 17-кутнику

Нехай P\mathcal{P} — правильний 1717-кутник; проведено всі (172)\left(\begin{array}{c}17 \\ 2\end{array}\right) діагоналі й сторони P\mathcal{P}, і кожну сторону чи діагональ пофарбовано в один із восьми різних кольорів. Припустімо, що немає трикутника (з вершинами серед вершин P\mathcal{P}), усі три сторони якого мають однаковий колір. Яка найбільша можлива кількість трикутників, усі сторони яких мають різні кольори?
Підрахунок двома способами
Математичний гурток БеркліBMC-2015-025

Кути з внутрішньої точки трикутника

У трикутнику ABCA B C вибрано внутрішню точку MM так, що ∠MAB=10∘\angle M A B = 10^{\circ}, ∠MBA=20∘\angle M B A = 20^{\circ}, ∠MCA=30∘\angle M C A = 30^{\circ} і ∠MAC=40∘\angle M A C = 40^{\circ}. Знайдіть величину ∠MBC\angle M B C.
Точка перетину бісектрис
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-005

Чевіани, що перетинаються, та описані чотирикутники

На сторонах ABAB, BCBC та CACA трикутника ABCABC вибрано точки LL, MM та NN відповідно так, що прямі CLCL, AMAM та BNBN перетинаються у спільній точці OO всередині трикутника, а чотирикутники ALONALON, BMOLBMOL та CNOMCNOM мають вписані кола. Доведіть, що 1AL⋅BM+1BM⋅CN+1CN⋅AL=1AN⋅BL+1BL⋅CM+1CM⋅AN.\frac{1}{AL \cdot BM} + \frac{1}{BM \cdot CN} + \frac{1}{CN \cdot AL} = \frac{1}{AN \cdot BL} + \frac{1}{BL \cdot CM} + \frac{1}{CM \cdot AN}.
Теорема Чеви
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-020

Підпослідовності перестановки та недільники

Нехай nn — натуральне число таке, що існує натуральне число, менше за n\sqrt{n}, яке не ділить nn. Нехай (a1,…,an)(a_1, \dots, a_n) — довільна перестановка чисел 1,…,n1, \dots, n. Нехай ai1<⋯<aika_{i_1} < \dots < a_{i_k} — її найдовша зростаюча підпослідовність, а aj1>⋯>ajla_{j_1} > \dots > a_{j_l} — її найдовша спадна підпослідовність. Доведіть, що набори (ai1,…,aik)(a_{i_1}, \dots, a_{i_k}) і (aj1,…,ajl)(a_{j_1}, \dots, a_{j_l}) разом містять принаймні одне число, яке не ділить nn.
Принцип Діріхле (скінченні множин…3 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2015-004

Спільні хобі серед груп учнів

Нехай mm — ціле число, m≥2m \ge 2. Кожен учень у школі займається щонайбільше mm хобі. Серед будь-яких mm учнів знайдуться двоє учнів, які мають спільне хобі. Знайдіть найменшу кількість учнів, за якої обов'язково знайдеться хобі, яким займаються принаймні 3 учні.
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2013-002

Замощення L-триміно меншими триміно

Триміно розміру nn визначимо як фігуру, що утворюється, коли з квадрата 2n×2n2n \times 2n видаляють один квадрант. На рисунку нижче ліворуч зображено триміно розміру 1, а праворуч — триміно розміру 2. Кажемо, що фігуру можна замостити триміно розміру 1, якщо можна покрити всю площу фігури — і жодної зайвої площі — триміно розміру 1, які не перекриваються. Наприклад, прямокутник 2×32 \times 3 можна замостити триміно розміру 1, як показано нижче, а квадрат 3×33 \times 3 замостити триміно розміру 1 не можна. а) Чи можна замостити триміно розміру 5 триміно розміру 1? б) Чи можна замостити триміно розміру 2013 триміно розміру 1? Обґрунтуйте відповіді.
Розрізання, покриття та замощення
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2013-005

Середнє медіан рядків у таблиці цифр

Розглянемо прямокутну таблицю цифр di,jd_{i, j} з 10 рядками та 7 стовпцями, таку, що di+1,j−di,jd_{i+1, j}-d_{i, j} завжди дорівнює 1 або -9 для всіх 1≤i≤91 \leq i \leq 9 і всіх 1≤j≤71 \leq j \leq 7, як у прикладі нижче. Для 1≤i≤101 \leq i \leq 10 нехай mim_{i} — медіана чисел di,1,…,di,7d_{i, 1}, \ldots, d_{i, 7}. Знайдіть найменше та найбільше можливі значення середнього арифметичного чисел m1,m2,…,m10m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{10}. Приклад: | | di,1d_{i, 1} | di,2d_{i, 2} | di,3d_{i, 3} | di,4d_{i, 4} | di,5d_{i, 5} | di,6d_{i, 6} | di,7d_{i, 7} | mim_{i} | |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: | | i=1i=1 | 2 | 7 | 5 | 9 | 5 | 8 | 6 | медіана 6 | | i=2i=2 | 3 | 8 | 6 | 0 | 6 | 9 | 7 | медіана 6 | | i=3i=3 | 4 | 9 | 7 | 1 | 7 | 0 | 8 | медіана 7 | | i=4i=4 | 5 | 0 | 8 | 2 | 8 | 1 | 9 | медіана 5 | | i=5i=5 | 6 | 1 | 9 | 3 | 9 | 2 | 0 | медіана 3 | | i=6i=6 | 7 | 2 | 0 | 4 | 0 | 3 | 1 | медіана 2 | | i=7i=7 | 8 | 3 | 1 | 5 | 1 | 4 | 2 | медіана 3 | | i=8i=8 | 9 | 4 | 2 | 6 | 2 | 5 | 3 | медіана 4 | | i=9i=9 | 0 | 5 | 3 | 7 | 3 | 6 | 4 | медіана 4 | | i=10i=10 | 1 | 6 | 4 | 8 | 4 | 7 | 5 | медіана 5 |
Інші інваріанти2 розв’язки
Математичний гурток БеркліBMC-2013-013

Магічний куб з неповторними числами на ребрах

На кожному ребрі куба написано число. Куб називається магічним, якщо: (i) Для кожної грані чотири ребра навколо неї мають однакову суму. (ii) Для кожної вершини три ребра, що сходяться в ній, мають однакову суму. (Суми для граней і для вершин можуть бути різними.) Визначте, чи існує магічний куб, який використовує (a) числа від 1 до 12, кожне рівно один раз; (b) числа від 1 до 13, кожне не більше одного разу.
Підрахунок двома способами
Математичний гурток БеркліBMC-2013-005

Відновлення правильного многокутника за п’ятьма вершинами

Дано п’ять послідовних вершин правильного 2013-кутника. Доведіть, що весь 2013-кутник можна відновити однією лише лінійкою.
Задачі на побудову (алгоритмічна…
Математичний гурток БеркліBMC-2013-006

Перетин прямих при діаметрах і симетрії

Нехай ABAB і CDCD — два неперпендикулярні діаметри кола з центром OO, а QQ — образ точки DD при симетрії відносно ABAB. Дотична в точці BB перетинає ACAC у точці PP, а DPDP перетинає коло знову в точці EE. Доведіть, що прямі AEAE, BPBP і CQCQ перетинаються в одній точці.
Ознаки подібності
Математичний гурток БеркліBMC-2013-007

Многочлен із коефіцієнтами 1 і -1, кратний високому степеню

З'ясуйте, чи існує многочлен f(x)f(x) такий, що - кожен коефіцієнт многочлена ff, від старшого коефіцієнта до вільного члена, дорівнює або 11, або −1-1. - (x−1)2013(x-1)^{2013} ділить f(x)f(x) націло (тобто їхня частка є многочленом).
Конструкція за індукцією

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.