Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Математичний гурток БеркліBMC-2013-017

Раціональні відстані на одиничному колі

a. Доведіть, що на одиничному колі існує 20122012 точок таких, що відстань між будь-якими двома з них є раціональною. b. Чи існує нескінченна множина точок на одиничному колі така, що відстань між будь-якими двома з них є раціональною?
Комплексні числа
Математичний гурток БеркліBMC-2013-009

Максимальна часткова сума обмеженої послідовності

Нехай a1,a2,…,a2013a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2013} — дійсні числа, які задовольняють такі умови: - a1=a2013=0a_{1}=a_{2013}=0 - ∣ai−ai+1∣<1|a_{i}-a_{i+1}|<1 для 1≤i≤20121 \leq i \leq 2012. - ∑i=12013ai=0\sum_{i=1}^{2013} a_{i}=0. Знайдіть найбільше можливе значення суми ∑i=1mai\sum_{i=1}^{m} a_{i}, де mm (1≤m≤20131 \leq m \leq 2013) може змінюватися разом із послідовністю {ai}\{a_{i}\}.
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний гурток БеркліBMC-2013-010

Періодична функція з квадратичною тотожністю

Скільки існує функцій f:Z→Rf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}, які задовольняють такі три властивості? (a) f(1)=1f(1)=1; (b) Для всіх m,n∈Zm, n \in \mathbb{Z} виконується f(m)2−f(n)2=f(m+n)f(m−n)f(m)^2 - f(n)^2 = f(m+n) f(m-n); (c) Для всіх n∈Zn \in \mathbb{Z} виконується f(n)=f(n+2013)f(n) = f(n+2013).
Лінійні рекурентні послідовності
Математичний гурток БеркліBMC-2013-018

Щасливі многочлени з коефіцієнтами з одиничного проміжку

Многочлен f(x)=∑i=0naixif(x)=\sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i} степеня не вище nn називається щасливим, якщо (i) Кожен коефіцієнт aia_{i} задовольняє 0≤ai<10 \leq a_{i}<1; (ii) f(x)f(x) є цілим числом для всіх цілих xx. Знайдіть кількість щасливих многочленів степеня не вище nn.
Інтерполяційні многочлени
Математичний гурток БеркліBMC-2013-019

Симетрична нерівність із шостими степенями

Доведіть, що для всіх дійсних чисел a,b,ca, b, c, a6+b6+c6−3a2b2c2≥12(a−b)2(b−c)2(c−a)2a^{6} + b^{6} + c^{6} - 3 a^{2} b^{2} c^{2} \geq \frac{1}{2}(a-b)^{2}(b-c)^{2}(c-a)^{2}
Числові нерівності
Математичний гурток БеркліBMC-2013-011

Складені числа з дільниками на одиницю більшими за степінь

Знайдіть усі складені натуральні числа nn такі, що всі дільники числа nn можна записати у вигляді ar+1a^{r}+1, де aa і rr — цілі числа, причому a≥0a \geq 0 і r≥2r \geq 2.
Метод факторизації (розкладання н…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2012-006

Рівносторонні трикутники і радикальні осі

На площині дано відрізок ABA B; на ньому обрано точку MM, відмінну від AA і BB. Два рівносторонні трикутники △AMC\triangle A M C і △BMD\triangle B M D побудовано по один бік від відрізка ABA B. Описані кола цих двох трикутників перетинаються в точці MM та ще в одній точці NN. (Описане коло трикутника — це коло, що проходить через усі три його вершини.) a. Доведіть, що прямі ADA D і BCB C проходять через точку NN. b. Доведіть, що незалежно від того, де на відрізку ABA B обрана точка MM, усі прямі MNM N проходять через деяку нерухому точку KK площини.
Центральні і вписані кути
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2012-008

Многочлени, що зберігають взаємну простість

Знайдіть усі ненульові многочлени P(x)P(x) з цілими коефіцієнтами, які задовольняють таку властивість: якщо aa і bb — взаємно прості цілі числа, то P(a)P(a) і P(b)P(b) також взаємно прості. Доведіть, що ваша відповідь правильна. (Два цілі числа взаємно прості, якщо вони не мають спільних простих дільників. Наприклад, −70-70 і 9999 — взаємно прості, а −70-70 і 1515 — ні.)
Метод затискання між сусідніми зн…
Математичний гурток БеркліBMC-2012-001

Г-подібні ходи на модульній шаховій дошці

Зафіксуємо натуральне число nn. Двоє гравців, Філ та Еллі, грають у таку гру. Спочатку Філ заповнює клітинки шахової дошки n×nn \times n невід'ємними цілими числами, меншими за nn. Потім Еллі обирає три клітинки, що утворюють Г, як на будь-якому з малюнків нижче: Еллі додає 1 до кожної з трьох клітинок, що утворюють Г, за винятком того, що якщо в клітинці з'являється число nn, воно негайно замінюється на 0. Еллі виграє, якщо, змінивши у такий спосіб скінченну кількість Г, вона може перетворити всі числа на дошці на 0; інакше виграє Філ. Який гравець має виграшну стратегію, якщо a. n=12n=12? b. n=2012n=2012?
Остача від ділення
Математичний гурток БеркліBMC-2012-002

Трапеція з перетину кола через інцентр

Нехай ABCABC — трикутник з інцентром II. Описане коло △AIB\triangle AIB перетинає прямі CACA і CBCB вдруге в точках PP (відмінній від AA) і QQ (відмінній від BB) відповідно. Доведіть, що AA, BB, PP і QQ є (у деякому порядку) вершинами трапеції.
Теорема про тризуб
Математичний гурток БеркліBMC-2012-003

Раціональність спільних значень раціональної функції

Розглянемо функцію f(x)=(x−2)(x+1)(2x−1)x(x−1)f(x) = \frac{(x-2)(x+1)(2x-1)}{x(x-1)} Нехай uu і vv — дійсні числа такі, що f(u)=f(v).f(u) = f(v). Припустимо, що uu — раціональне число. Доведіть, що vv — раціональне число.
Циклічні підстановки (метод орбіт)
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-005

Періодична послідовність з умовами подільності

Для заданого натурального числа nn треба вибрати натуральні числа a0,a1,…a_0, a_1, \dots так, щоб виконувалися такі умови: (1) ai=ai+na_i = a_{i+n} для будь-якого ii; (2) aia_i не ділиться на nn для будь-якого ii; (3) ai+aia_{i+a_i} ділиться на aia_i для будь-якого ii. Для яких натуральних чисел n>1n > 1 це можливо лише тоді, коли всі числа a0,a1,…a_0, a_1, \dots рівні?
Прості числа (базові властивості)
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-004

Гострий кут у вписаному чотирикутнику

У вписаному чотирикутнику ABCDABCD маємо ∣AD∣>∣BC∣|AD| > |BC|, а вершини CC і DD лежать на меншій дузі ABAB описаного кола. Промені ADAD і BCBC перетинаються в точці KK, діагоналі ACAC і BDBD перетинаються в точці PP. Пряма KPKP перетинає сторону ABAB в точці LL. Доведіть, що ∠ALK\angle ALK — гострий.
Відношення площ трикутників2 розв’язки
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-006

Мурахи на дошці з правилом повороту

На дошці m×mm \times m у серединах одиничних клітинок перебувають кілька мурах. У момент часу 00 кожна мураха починає рухатися зі швидкістю 11 паралельно до деякої сторони дошки, доки не зустріне мураху, що рухається в протилежному напрямку, або доки не досягне краю дошки. Коли дві мурахи, що рухаються в протилежних напрямках, зустрічаються, обидві повертають на 90∘90^\circ за годинниковою стрілкою і продовжують рухатися паралельно до іншої сторони дошки. Досягнувши краю дошки, мураха падає з дошки. а) Доведіть, що зрештою всі мурахи впадуть з дошки. б) Знайдіть найпізніший можливий момент падіння останньої мурахи з дошки.
Напівінваріанти2 розв’язки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-038

Розбиття прямокутника на дев'ять заданих квадратів

Принцеса Телассім розрізала прямокутний аркуш паперу на 9 квадратів зі сторонами 1,4,7,8,9,10,14,151, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 і 1818 сантиметрів. a) Якою була площа аркуша до розрізання? b) Якими були розміри аркуша до розрізання? c) Принцесі Телассім потрібно скласти аркуш заново. Допоможіть їй, показавши на малюнку, як зробити це складання.
Розрізання, покриття та замощення
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2011-001

Оцінки периметра зв'язної фігури з одиничних квадратів

На (дуже великій) підлозі викладають набір однакових квадратних плиток зі стороною 11. Кожна плитка, крім першої, має спільну цілу сторону щонайменше з однією вже викладеною плиткою. - Яким є найбільший можливий периметр фігури з 1010 плиток? - Яким є найменший можливий периметр фігури з 1010 плиток? - Яким є найбільший можливий периметр фігури з 20112011 плиток? - Яким є найменший можливий периметр фігури з 20112011 плиток? Доведіть, що ваші відповіді правильні.
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2011-002

Порядок перестановки у кубику Рубіка

Розглянемо зображений нижче кубик Рубіка 8×8×88 \times 8 \times 8. Кожна грань пофарбована в окремий колір, і, як і в менших кубиках Рубіка, будь-який шар можна повертати. Нехай XX позначає хід, який повертає показаний на рисунку заштрихований шар (його вказано стрілками, що йдуть від верхньої грані куба до правої) за годинниковою стрілкою на 9090 градусів навколо осі, позначеної XX. Коли виконується хід XX, рухається лише заштрихований шар. Аналогічно, нехай хід YY — це поворот за годинниковою стрілкою на 9090 градусів навколо осі, позначеної YY, причому повертається лише показаний заштрихований шар (його вказано стрілками, що йдуть від передньої грані до верхньої; передньою вважаємо грань, яку пробиває вісь обертання XX). Нехай MM позначає хід «виконати XX, потім виконати YY». Уявімо, що куб спочатку перебуває в «зібраному» стані (тобто кожна грань має один колір), і ми починаємо виконувати хід MM раз у раз. Яка найменша кількість повторень ходу MM потрібна, щоб куб повернувся до своїх початкових кольорів?
Перестановки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2011-003

Побудова образу точки при симетрії лише лінійкою

На площині задано пряму ll, дві точки AA і BB, жодна з яких не лежить на прямій ll, та відбиття A1A_{1} точки AA відносно прямої ll. Використовуючи лише лінійку, побудуйте відбиття B1B_{1} точки BB відносно прямої ll. Доведіть, що ваша побудова працює. Зауваження: «Використовуючи лише лінійку» означає, що можна виконувати тільки такі операції: (a) За двома точками можна побудувати пряму, що проходить через них. (b) За двома прямими, що перетинаються, можна побудувати їхню точку перетину. (c) Можна вибирати (позначати) точки на площині, які лежать або не лежать на вже намальованих об’єктах. (Про ці точки можна використовувати лише відомості про те, на яких прямих вони лежать, а на яких — ні.)
Симетрія
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2011-005

Кола, що перетинаються, і відношення відрізків

Три кола k1k_{1}, k2k_{2} і k3k_{3} перетинаються в точці OO. Нехай AA, BB і CC — другі точки перетину (відмінні від OO) кіл k2k_{2} і k3k_{3}, k1k_{1} і k3k_{3} та k1k_{1} і k2k_{2} відповідно. Припустимо, що OO лежить усередині трикутника ABCABC. Нехай прямі AOAO, BOBO і COCO перетинають кола k1k_{1}, k2k_{2} і k3k_{3} вдруге відповідно в точках A′A', B′B' і C′C'. Якщо ∣XY∣|XY| позначає довжину відрізка XYXY, доведіть, що ∣AO∣∣AA′∣+∣BO∣∣BB′∣+∣CO∣∣CC′∣=1\frac{|AO|}{|AA'|} + \frac{|BO|}{|BB'|} + \frac{|CO|}{|CC'|} = 1
Інверсія
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-056

Випадковий конус, породжений точками сфери

Якщо u1,…,uk∈R3u_1, \dots, u_k \in \mathbb{R}^3, позначимо через C(u1,…,uk)C(u_1, \dots, u_k) конус, породжений u1,…,uku_1, \dots, u_k: C(u1,…,uk)={a1u1+⋯+akuk;a1,…,ak∈[0,+∞)}.C(u_1, \dots, u_k) = \{a_1 u_1 + \dots + a_k u_k; a_1, \dots, a_k \in [0, +\infty)\}. Нехай v1,v2,v3,v4v_1, v_2, v_3, v_4 — точки, випадково й незалежно вибрані з одиничної сфери x2+y2+z2=1x^2 + y^2 + z^2 = 1. a. Яка ймовірність того, що C(v1,v2,v3,v4)=R3C(v_1, v_2, v_3, v_4) = \mathbb{R}^3? b. Яка ймовірність того, що кожен із векторів потрібен для породження C(v1,v2,v3,v4)C(v_1, v_2, v_3, v_4), тобто що C(v1,v2,v3)≠C(v1,v2,v3,v4)C(v_1, v_2, v_3) \neq C(v_1, v_2, v_3, v_4), C(v1,v2,v4)≠C(v1,v2,v3,v4)C(v_1, v_2, v_4) \neq C(v_1, v_2, v_3, v_4), C(v1,v3,v4)≠C(v1,v2,v3,v4)C(v_1, v_3, v_4) \neq C(v_1, v_2, v_3, v_4) і C(v2,v3,v4)≠C(v1,v2,v3,v4)C(v_2, v_3, v_4) \neq C(v_1, v_2, v_3, v_4)?
Опуклі множини
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2010-006

Перпендикулярність через відображення у трикутнику

Гострокутний трикутник ABCA B C такий, що ∠BAC<45∘\angle B A C < 45^{\circ}. Точка DD лежить усередині трикутника ABCA B C, причому BD=CDB D = C D і ∠BDC=4∠BAC\angle B D C = 4 \angle B A C. Точка EE — це відображення точки CC відносно прямої ABA B, а точка FF — відображення точки BB відносно прямої ACA C. Доведіть, що прямі ADA D і EFE F перпендикулярні.
Симетрія
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2010-007

Нерівність з циклічним обмеженням на добуток

Нехай aa, bb, cc і dd — додатні дійсні числа, що задовольняють умову abcd=1a b c d = 1. Доведіть, що 112+a+ab+abc+112+b+bc+bcd+112+c+cd+cda+112+d+da+dab≥2.\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} + a + a b + a b c}} + \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} + b + b c + b c d}} + \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} + c + c d + c d a}} + \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2} + d + d a + d a b}} \geq \sqrt{2}.
Нерівність Коші
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-004

Шалькові терези з гирями

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть найбільше ціле число NN, для якого існує набір з nn гир, що дає змогу визначити масу всіх тіл з масами 11, 22, …\ldots, NN за допомогою шалькових терезів (тобто визначити, чи має тіло з невідомою масою масу 11, 22, …\ldots, NN, і яку саме).
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-002

Бісектриса кута в конструкції з описаним колом

У гострокутному трикутнику ABCABC кут CC більший за кут AA. Нехай AEAE — діаметр описаного кола трикутника. Нехай точкою перетину променя ACAC і дотичної до описаного кола, проведеної через вершину BB, буде KK. Перпендикуляр до AEAE, проведений через KK, вдруге перетинає описане коло трикутника BCKBCK у точці DD. Доведіть, що CECE ділить навпіл кут BCDBCD.
Центральні і вписані кути
Естонська математична олімпіадаESTMO-2010-006

Розфарбування квадратів 2×2 на дошці

Кожну клітинку дошки n×nn \times n пофарбовано в червоний або синій колір так, що серед усіх квадратів 2×22 \times 2 на цій дошці трапляються всі можливі розфарбування квадратів 2×22 \times 2 у ці два кольори (розфарбування, отримані одне з одного поворотом чи відбиттям, вважаються різними). a) Знайдіть найменше можливе значення nn. б) Для найменшого можливого значення nn знайдіть найменшу можливу кількість червоних клітинок.
Оптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.