Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2010-047

Обернена матриця зі строго додатними елементами

Нехай nn — ціле число, а n1n_1 — один з його дільників. Нехай AA — симетрична матриця розміру n×nn \times n, задана рівностями ai,i=4a_{i,i} = 4, ai,i+1=ai+1,i=−1a_{i,i+1} = a_{i+1,i} = -1 для всіх ii таких, що 1≤i≤n−11 \le i \le n-1 і i+1i+1 не кратне n1n_1, ai,i+n1=ai+n1,i=−1a_{i,i+n_1} = a_{i+n_1,i} = -1, а ai,j=0a_{i,j} = 0 в інших випадках. Доведіть, що AA має обернену матрицю і що всі елементи оберненої матриці додатні.
Нерівність Коші-Буняковського
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2010-049

Відношення об'ємів об'єднань куль

Для кожної скінченної підмножини FF простору R3R^3 визначимо Vr(F)V_r(F) як об'єднання відкритих куль з центрами в кожній точці множини FF та радіусом rr. Доведіть, що при 0<r<R0 < r < R об’єм(VR(F))≤R3r3об’єм(Vr(F)).\text{об'єм}(V_R(F)) \le \frac{R^3}{r^3} \text{об'єм}(V_r(F)).
Гомотерія і подібність
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2010-050

Прості дільники квадратичного виразу

Доведіть, що якщо 102n+8⋅10n+110^{2n} + 8 \cdot 10^n + 1 має простий дільник вигляду 60k+760k + 7, де kk і nn — натуральні числа, то nn і kk — парні.
Квадратичні лишки і символ Лежанд…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2009-003

Скінченні множини, замкнені щодо НСД-суми

Множина SS натуральних чисел називається магічною, якщо для будь-яких двох різних елементів ii та jj множини SS число i+jНСД(i,j)\frac{i+j}{\text{НСД}(i, j)} також належить SS. НСД\text{НСД}, тобто найбільший спільний дільник, двох натуральних чисел — це найбільше ціле число, що ділить націло кожне з них; наприклад, НСД(36,80)=4\text{НСД}(36,80)=4. Знайдіть і опишіть усі скінченні магічні множини.
НСД та НСК
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2009-004

Стрибки жаб по правильному шестикутнику

На початку цієї задачі шість жаб сидять по одній у кожній із шести вершин правильного шестикутника. Щохвилини ми обираємо жабу, яка має стрибнути через іншу жабу за одним із двох правил, зображених нижче. Якщо жаба в точці FF стрибає через жабу в точці PP, то вона приземлиться в точці F′F' такій, що FF, PP і F′F' лежать на одній прямій, причому: - за Правилом 11, F′P=2FPF'P = 2FP. - за Правилом 22, F′P=FP/2F'P = FP / 2. Правило 1 Правило 2 Яку жабу обрати для стрибка і через яку жабу стрибнути — вирішуємо ми. а. Якщо ми користуємось лише Правилом 1, чи може якась жаба за скінченний час приземлитися в центр початкового шестикутника? б. Якщо дозволені обидва правила — і Правило 1, і Правило 2 (вільно обираючи, яким правилом користуватися, яка жаба стрибає і через яку жабу вона стрибає), чи може якась жаба за скінченний час приземлитися в центр початкового шестикутника?
Остача від ділення
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2009-005

Сума cos α / cos(β − γ) гострокутного трикутника

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник з кутами α,β\alpha, \beta і γ\gamma. Доведіть, що cos⁡αcos⁡(β−γ)+cos⁡βcos⁡(γ−α)+cos⁡γcos⁡(α−β)≥32\frac{\cos \alpha}{\cos (\beta-\gamma)}+\frac{\cos \beta}{\cos (\gamma-\alpha)}+\frac{\cos \gamma}{\cos (\alpha-\beta)} \geq \frac{3}{2}
Тригонометричні нерівності2 розв’язки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2009-017

Похідна дорівнює одиниці у двох точках

Нехай f:[0,1]→[0,1]f: [0, 1] \to [0, 1] — зростаюча диференційовна функція, яка має обернену f−1f^{-1}. Якщо ∫01f(x)dx=∫01f−1(x)dx\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 f^{-1}(x) dx, доведіть, що існують два різні дійсні числа aa і bb, 0≤a<b≤10 \le a < b \le 1, такі, що f′(a)=f′(b)=1f'(a) = f'(b) = 1.
Метод допоміжних функцій: g(x) =…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2009-015

Функціональне рівняння з лінійним зсувом аргумента

Знайдіть усі функції f:Z→Zf: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} такі, що (i) f(f(n))=f(n+1)f(f(n)) = f(n+1) для всіх n∈Zn \in \mathbb{Z}; (ii) f(2009n+2008)=2009⋅f(n)f(2009n + 2008) = 2009 \cdot f(n) для всіх n∈Zn \in \mathbb{Z}.
Властивості ін'єктивність або сюр…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2008-004

Баскетбольний турнір з єдиним чемпіоном і єдиним невдахою

NN команд брали участь у національному чемпіонаті з баскетболу, в якому кожні дві команди зіграли між собою рівно один матч. З цих NN команд 251 — з Каліфорнії. Виявилося, що каліфорнійська команда «Алькатрас» — єдиний чемпіон Каліфорнії (Алькатрас виграв більше матчів проти каліфорнійських команд, ніж будь-яка інша команда з Каліфорнії). Однак Алькатрас виявився єдиним невдахою турніру, бо він програв більше матчів, ніж будь-яка інша команда країни! Яке найменше можливе значення NN?
Орієнтовані графи
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2008-005

Сума відношень відрізків до перетинів з описаними колами

Точка DD лежить всередині трикутника ABCABC. Нехай A1A_1, B1B_1 і C1C_1 — другі точки перетину прямих ADAD, BDBD та CDCD з колами, описаними навколо △BDC\triangle BDC, △CDA\triangle CDA і △ADB\triangle ADB відповідно. Доведіть, що ADAA1+BDBB1+CDCC1=1\frac{AD}{AA_1} + \frac{BD}{BB_1} + \frac{CD}{CC_1} = 1
Інверсія
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2008-006

Розбиття дільників на дві рівні суми

Натуральне число NN називають стійким, якщо множину всіх додатних дільників числа NN (включно з 11 та NN) можна розбити на дві підмножини без спільних елементів, які мають однакову суму. Наприклад, 66 стійке, бо 1+2+3=61+2+3=6, а 1010 не є стійким. Чи є число 22008⋅20082^{2008} \cdot 2008 стійким?
Дільники та кратні (базові власти…2 розв’язки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2008-003

Відбиття від бісектрис у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, а rr і ss — прямі, отримані відбиттям прямої ABAB відносно внутрішніх бісектрис ∠CAD\angle CAD і ∠CBD\angle CBD відповідно. Якщо PP — точка перетину прямих rr і ss, а OO — центр описаного кола чотирикутника ABCDABCD, доведіть, що пряма OPOP перпендикулярна до сторони CDCD.
Центральні і вписані кути
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2008-004

Двійкове слово з обмеженою кількістю підслів

Венеріанський пророк Забруберсон надіслав своїм учням слово з 10000 літер, кожна літера якого є AA або EE: забрубікове слово. Учні вирішили, що для 1≤k≤100001 \le k \le 10000 кожне слово, складене з kk послідовних літер забрубікового слова, є пророчим словом довжини kk. Відомо, що існує не більше 7 пророчих слів довжини 3. Знайдіть найбільшу можливу кількість пророчих слів довжини 10.
Рекурентний підрахунок
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2007-003

Рівнобедрений трикутник з умови на кути

У △ABC\triangle ABC, DD і EE — дві точки на відрізку BC‾\overline{BC} такі, що BD=CEBD = CE і ∠BAD=∠CAE\angle BAD = \angle CAE. Доведіть, що △ABC\triangle ABC рівнобедрений.
Допоміжне коло (перекидання кутів)4 розв’язки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2007-005

Послідовність зі зростаючим відношенням

Дано дві послідовності натуральних чисел x1,x2,x3,…x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots і y1,y2,y3,…y_{1}, y_{2}, y_{3}, \ldots такі, що yn+1/xn+1>yn/xny_{n+1} / x_{n+1}>y_{n} / x_{n} для кожного n≥1n \geq 1. Доведіть, що існує нескінченно багато значень nn, для яких yn>ny_{n}>\sqrt{n}.
Принцип Діріхле (скінченні множин…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2006-004

Згасання скінченної конфігурації клітинного автомата

Нехай на нескінченній квадратній клітинній дошці nn клітинок пофарбовано в сірий колір, а всі інші — у білий. На кожному кроці з попередньої дошки за таким правилом отримують нову дошку клітинок. Для кожної позиції на дошці розглядаємо саму цю клітинку, клітинку безпосередньо над нею та клітинку безпосередньо праворуч від неї. Якщо серед цих трьох клітинок є дві або три сірі, то в наступній дошці фарбуємо цю позицію в сірий колір; інакше — у білий. Доведіть, що щонайбільше через nn кроків усі клітинки дошки стануть білими. Нижче наведено приклад із n=4n=4. Перша дошка зображує початкову конфігурацію, а друга — конфігурацію після одного кроку.
Метод математичної індукції
Математичний гурток БеркліBMC-2006-005

Множина кіл, кожне з яких дотикається до п’яти інших

Скінченну множину кіл на площині називають гарною, якщо виконано такі три умови: (i) Жодні два кола не перетинаються більш ніж в одній точці; (ii) Для кожної точки AA площини існує не більше двох кіл, що проходять через AA; (iii) Кожне коло з множини дотикається рівно до 5 інших кіл з множини. Чи існує гарна множина, що складається рівно з (a) 2006 кіл? (b) 2007 кіл?
Підрахунок двома способами
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-002

Рівнобедрені трикутники на множині точок

Нехай nn — ціле число, n≥3n \ge 3. Нехай f(n)f(n) — найбільша кількість рівнобедрених трикутників, вершини яких належать деякій множині з nn точок на площині, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Доведіть, що існують додатні дійсні сталі aa і bb такі, що an2<f(n)<bn2an^2 < f(n) < bn^2 для кожного цілого nn, n≥3n \ge 3.
Підрахунок двома способами
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-004

Нерівність із симетричними сумами високих степенів

Знайдіть найменше дійсне число CC таке, що нерівність C(x12005+x22005+x32005+x42005+x52005)≥x1x2x3x4x5(x1125+x2125+x3125+x4125+x5125)16C(x_1^{2005} + x_2^{2005} + x_3^{2005} + x_4^{2005} + x_5^{2005}) \geq x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 (x_1^{125} + x_2^{125} + x_3^{125} + x_4^{125} + x_5^{125})^{16} виконується для всіх додатних дійсних чисел x1,x2,x3,x4,x5x_1, x_2, x_3, x_4, x_5.
Інші класичні нерівності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-003

Функціональне рівняння з добутком і сумою

Знайдіть усі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} такі, що f(xf(y)+f(x))=2f(x)+xyf(xf(y) + f(x)) = 2f(x) + xy для всіх дійсних x,yx, y.
Властивості ін'єктивність або сюр…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-008

Спільна точка прямих Ейлера в трикутниках Ферма

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, а FF — його точка Ферма, тобто внутрішня точка трикутника ABCABC така, що ∠AFB=∠BFC=∠CFA=120∘\angle AFB = \angle BFC = \angle CFA = 120^\circ. Для кожного з трикутників ABFABF, BCFBCF і CAFCAF проведено його пряму Ейлера, тобто пряму, що сполучає центр його описаного кола з його центроїдом. Доведіть, що ці три прямі проходять через одну спільну точку.
Пряма Ейлера
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-006

Спільна точка діагоналей і серединних ліній многокутника

Нехай PP — опуклий 20062006-кутник. 10031003 діагоналі, що сполучають протилежні вершини, і 10031003 прямі, що сполучають середини протилежних сторін, перетинаються в одній точці, тобто всі 20062006 прямих мають спільну точку. Доведіть, що протилежні сторони многокутника PP паралельні та рівні.
Паралельні прямі і теорема Фалеса
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-009

Розв'язність показникової конгруенції

Нехай aa, cc — натуральні числа, а bb — ціле число. Доведіть, що існує натуральне число xx таке, що ax+x≡b(modc),a^x + x \equiv b \pmod{c}, тобто існує натуральне число xx таке, що cc ділить ax+x−ba^x + x - b.
Степені за модулем. Періодичність…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2005-001

Пошук заряджених батарейок за найменшу кількість спроб

Маємо чотири заряджені батарейки, чотири розряджені батарейки та радіо, для роботи якого потрібні дві заряджені батарейки. Припустімо, ми не знаємо, які батарейки заряджені, а які розряджені. Знайдіть найменшу кількість спроб, достатню, щоб гарантувати, що радіо запрацює. Спроба полягає в тому, щоб вставити дві батарейки в радіо й перевірити, працює радіо чи ні.
Класичні теореми теорії графів
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2004-001

Замощення площини квадратами й трикутниками

Замощення площини многокутниками — це розміщення многокутників на площині так, щоб внутрішності многокутників не перетиналися, кожна вершина одного многокутника збігалася з вершиною іншого многокутника, і жодна точка площини не залишалася непокритою. Одиничний многокутник — це многокутник, усі сторони якого мають довжину один. Площину досить легко замостити нескінченною кількістю одиничних квадратів. Так само легко замостити площину нескінченною кількістю одиничних рівносторонніх трикутників. a. Доведіть, що існує замощення площини, яке одночасно містить нескінченно багато одиничних квадратів і нескінченно багато одиничних рівносторонніх трикутників. b. Доведіть, що неможливо знайти замощення площини, яке одночасно містить нескінченно багато одиничних квадратів і скінченну кількість (принаймні один) одиничних рівносторонніх трикутників.
Розрізання, покриття та замощення

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.