Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-166

Прямі AB, CD і FG для вписаного чотирикутника

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник. Пряма, що паралельна діагоналі BDBD та проходить через точку AA, перетинає в точці EE пряму, що паралельна діагоналі ACAC та проходить через точку BB. Описане коло трикутника ABEABE перетинає вдруге прямі ECEC та EDED у точках FF та GG відповідно. Доведіть, що прямі ABAB, CDCD та FGFG паралельні або перетинаються в одній точці.
10–11 класиРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-167

Функції з цілих чисел з нерівністю для непарної суми

Знайдіть усі функції f ⁣:Z→Zf\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, що задовольняють такі умови: - ∀x∈Z\forall x \in \mathbb{Z} справджується рівність f(f(x))=xf(f(x)) = x; - ∀x,y∈Z\forall x, y \in \mathbb{Z} таких, що x+yx + y — непарне число, справджується нерівність f(x)+f(y)⩾x+yf(x) + f(y) \geqslant x + y.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-063

Найбільше n для шахових партій без трикутників

Є 300300 учасників математичної олімпіади. По завершені змагань деякі з учасників грали в шахи. Кожні два учасники зіграли не більше ніж одну гру одне проти одного. Не було жодної трійки учасників, що зіграли кожний з кожним. Визначте найбільше можливе значення nn, для якого може справджуватися така умова: у певний момент усі гравці зіграли не більше ніж nn партій, при цьому для кожного m=1,n‾m = \overline{1, n} існує гравець, котрий провів рівно mm ігор.
7–8 класиСтепені вершин
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-064

Учні у гуртках зі спільним гуртком для кожної пари

Кожен учень класу займається не більше ніж у двох гуртках. При цьому кожні двоє однокласників відвідують спільний для них гурток. Доведіть, що є гурток, у якому займаються щонайменше дві третини всіх учнів класу.
7–8 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-065

n² фігур у квадраті та стрибок на n

Для деякого натурального числа nn множину з n2n^2 магічних шахових фігур розташовано у квадраті n2×n2n^2 \times n^2, що розділений на n4n^4 одиничних клітинок. За сигналом усі шахові фігури телепортують в інші клітинки таким чином, що відстань між центром попереднього розташування фігурки та нового дорівнює nn. Шахові фігурки перемагають, якщо до сигналу та після сигналу немає двох фігурок, що розташовані в одній горизонталі чи вертикалі. Для яких значень nn шахові фігурки можуть перемогти?
7–8 класиПарність і непарність
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-066

Найбільша сума НСД трьох доданків числа 5n

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть найбільше можливе значення величини (a,b)+(b,c)+(c,a)(a, b) + (b, c) + (c, a) для натуральних aa, bb, cc, що задовольняють умову: a+b+c=5na + b + c = 5n ((x,y)(x, y) — НСД чисел (x,y)(x, y)).
7–8 класиНСД та НСК
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-067

Найменша кількість доданків з 3 і 0 для 55…5

Сума декількох натуральних чисел, у записі кожного з яких є лише цифри 33 та 00, дорівнює 55…5⏟2019\underbrace{55\ldots5}_{2019}. Яка найменша кількість доданків може бути в цій сумі?
7–8 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-121

Найменше c для суми квадратів при нульовій сумі кубів

Знайдіть найменше дійсне число cc, що задовольняє умову x12+x22+…+xn2⩽cnx_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 \leqslant cn для довільного натурального nn та всіх дійсних чисел x1,x2,…,xn⩾−1x_1, x_2, \ldots, x_n \geqslant -1, що задовольняють умову x13+x23+…+xn3=0x_1^3 + x_2^3 + \ldots + x_n^3 = 0.
9 класІнші класичні нерівності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-124

Трикутник, вписане коло і кут API

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB≠ACAB \neq AC. Коло, що вписане в трикутник ABCABC, має центр у точці II та дотикається до сторони BCBC у точці DD. Пряма AIAI перетинає описане навколо трикутника ABCABC коло Γ\Gamma у точці MM, а пряма DMDM перетинає вдруге коло Γ\Gamma у точці PP. Знайдіть величину кута APIAPI.
9 класКоло і подібність
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-125

Висота, центр описаного кола і середня лінія

Дано гострокутний трикутник ABCABC, у якому AB<BCAB < BC, BB′BB' — висота, а точка OO — центр його описаного кола. Пряма, проведена через точку B′B' паралельно прямій COCO, перетинає пряму BOBO у точці XX. Доведіть, що точка XX лежить на прямій, що містить середню лінію трикутника ABCABC, яка паралельна стороні BCBC.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-126

Набори натуральних чисел з циклічною подільністю степенів двійки

Для даного натурального k⩾2k \geqslant 2 знайдіть усі набори натуральних чисел n1,n2,…,nkn_1, n_2, \ldots, n_k, що задовольняють умови: n2∣2n1−1,n3∣2n2−1,…,nk∣2nk−1−1,n1∣2nk−1.n_2 \mid 2^{n_1} - 1,\quad n_3 \mid 2^{n_2} - 1,\quad \ldots,\quad n_k \mid 2^{n_{k-1}} - 1,\quad n_1 \mid 2^{n_k} - 1.
9 класПорядок (показник) числа за модул…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-171

Відображення множини 1…999 і нерухома точка

Дано множину S={1,2,…,999}S = \{1, 2, \ldots, 999\}, відображення якої f ⁣:S→Sf\colon S \to S задовольняє такі умови: fn+f(n)+1(n)=fnf(n)(n)=n∀n∈Sf^{n+f(n)+1}(n) = f^{nf(n)}(n) = n \quad \forall n \in S. Доведіть, що існує елемент a∈Sa \in S, для якого справджується рівність f(a)=af(a) = a. Тут f2(n)=f(f(n))f^{2}(n) = f(f(n)), f3(n)=f(f(f(n)))f^{3}(n) = f(f(f(n))) і так далі.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-081

Гра із заповненням таблиці 5 × 5 та сумою 70

Арнольд та Сильвестр по черзі (розпочинає Арнольд) записують натуральні числа від 11 до 2525 в клітинки таблиці 5×55 \times 5 (кожне число можна використати рівно один раз, а в кожну клітинку записати рівно одне число). Якщо по завершенні заповнення всіх клітинок таблиці сума чисел у деякому рядку чи стовпчику дорівнюватиме 7070, то перемагає Арнольд, інакше — Сильвестр. Хто переможе за правильної гри обох?
7–8 класиСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-130

Трійки дійсних чисел із рівняннями a(b² + c) = c(c + ab)

Знайдіть усі трійки дійсних чисел (a,b,c)(a, b, c), що задовольняють систему рівнянь {a(b2+c)=c(c+ab),b(c2+a)=a(a+bc),c(a2+b)=b(b+ca).\begin{cases} a(b^2+c)=c(c+ab), \\ b(c^2+a)=a(a+bc), \\ c(a^2+b)=b(b+ca). \end{cases}
9 класСиметричні системи рівнянь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-131

Циклічний чотирикутник з прямою PQ і точкою R

У циклічному чотирикутнику ABCDABCD діагоналі перетинаються в точці EE. Деяка пряма, відмінна від діагоналей, проходить через точку EE та перетинає сторону ABAB у точці PP і сторону BCBC у точці QQ. Коло, що дотикається до прямої PQPQ у точці EE та проходить через точку DD, перетинає описане коло чотирикутника ABCDABCD удруге в точці RR. Доведіть, що точки BB, PP, RR, QQ лежать на одному колі.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-134

Гра з 15 шоколадок у ряд і перемога Барбари

Альберто та Барбара сидять у таблиці, у якій є 1515 плиток шоколаду, розташованих у ряд зліва направо. Деякі з них — з молочного шоколаду, а деякі — із чорного. Вони грають у таку гру: на кожному кроці (розпочинає Альберто) кожний має з’їсти додатну кількість послідовно розташованих шоколадок, починаючи з крайньої ліворуч. При цьому кількість шоколадок, які він з’їдає на своєму ході, має бути такою, щоб серед них була непарна кількість шоколадок того типу, яку Альберто з’їдає першою. Наприклад, у послідовності шоколадок ММЧМЧ (молочні та чорні) він своїм ходом може з’їсти 11, 44 чи 55 шоколадок. Той із гравців, хто з’їдає останню шоколадку, — перемагає. У скількох із усіх можливих 2152^{15} розташувань шоколадок може перемогти Барбара?
9 класВиграшні та програшні позиції: ан…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-136

Натуральні числа, що діляться на значення функції Ейлера

Визначимо для натурального числа NN функцію Ейлера φ(N)\varphi(N) — кількість натуральних чисел, що не перевищують NN та взаємно прості з ним. Знайдіть усі натуральні NN, для яких φ(N)∣N\varphi(N) \mid N.
9 класФункція Ейлера φ(n)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-087

Вираз p² + qⁿ при квадраті p + q²

Нехай pp та qq — прості числа, для яких число p+q2p+q^2 — точний квадрат цілого числа. Доведіть, що ні для якого натурального nn число p2+qnp^2+q^n не буде точним квадратом цілого числа.
7–8 класиМетод факторизації (розкладання н…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-089

n + 1 жовтих чисел без суми трійки

Натуральне число n>2n > 2. Ми хочемо пофарбувати в жовтий колір рівно n+1n + 1 із чисел 1,2,…,2n1, 2, \ldots, 2n таким чином, щоб не існувало трьох попарно різних жовтих чисел xx, yy та zz, що задовольняють умову x+y=zx + y = z. Доведіть, що існує єдине таке розфарбування.
7–8 класиМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-090

Четвірки додатних чисел із сумою та добутком максимумів

Визначте всі четвірки (a,b,c,d)(a, b, c, d) додатних чисел, що задовольняють такі умови: a+b+c+d=1a + b + c + d = 1 та max⁡{a2b,b2a}⋅max⁡{c2d,d2c}=(min⁡{a+b,c+d})4.\max\left\{\frac{a^2}{b}, \frac{b^2}{a}\right\} \cdot \max\left\{\frac{c^2}{d}, \frac{d^2}{c}\right\} = (\min\{a+b, c+d\})^4.
7–8 класиЧислові нерівності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-140

Точки на стороні трикутника та описані кола

На стороні ACAC трикутника ABCABC вибрано точки DD та EE так, що вони лежать на цій стороні в такому порядку: AA, EE, DD, CC. Пряма, що проходить через точку EE паралельно стороні BCBC, перетинає описане коло трикутника ABDABD удруге в точці FF. Аналогічно пряма, що проходить через точку EE паралельно стороні ABAB, перетинає описане коло трикутника BCDBCD удруге в точці GG. Доведіть, що чотирикутник DEFGDEFG — вписаний.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-142

Паралелограм ANCM і перетин прямих AQ та MN

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник із центром описаного кола в точці OO. Точка QQ лежить на описаному колі трикутника BOCBOC, при цьому OQOQ — діаметр цього кола. Точка MM лежить на прямій CQCQ, а точка NN — внутрішня точка відрізка BCBC, так що ANCMANCM — паралелограм. Доведіть, що прямі AQAQ та MNMN перетинаються на описаному колі трикутника BOCBOC.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-143

Цілі частини степенів числа і точні квадрати

Для дійсного числа z>1z > 1 та натурального nn відомо, що числа [zn+1][z^{n+1}], [zn+2][z^{n+2}], …\ldots, [z4n][z^{4n}] — точні квадрати цілих чисел. Доведіть, що [z][z] — точний квадрат. Примітка. Тут [z][z] — ціла частина числа zz.
9 класЦіла та дробова частини числа
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-19-20-179

Неспадна функція з рівністю для x⁴, x² і x

Знайдіть усі функції f:(0,+∞)→(0,+∞)f:(0,+\infty)\to(0,+\infty), що задовольняють такі умови: для x⩽yx\leqslant y має місце нерівність f(x)⩽f(y)f(x)\leqslant f(y), а також ∀x>0\forall x>0 справджується рівність f(x4)+f(x2)+f(x)+f(1)=x4+x2+x+1.f(x^4)+f(x^2)+f(x)+f(1)=x^4+x^2+x+1.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Київський турнір математичних боївKMB-18-19-096

Гра з перевертанням монет і виграш другої гравчині

Аліса та Олександра грають у гру, де кожним ходом вони по черзі перевертають певну кількість монет, що лежать гербом донизу на столі, на зворотний бік. Першою ходить Аліса, перед її першим ходом на столі лежало nn монет. Якщо в момент ходу на столі лежало mm монет гербом донизу, то кожним ходом гравець може перекласти kk монет: якщо число kk парне, то воно має задовольняти умову k⩽12mk \leqslant \frac{1}{2}m; якщо число kk непарне, то має задовольняти умову 12m⩽k⩽m\frac{1}{2}m \leqslant k \leqslant m. Перемагає той, хто переверне останню монету. Визначте найменше значення n⩾1000n \geqslant 1000, при якому Олександра має виграшну стратегію.
9 класВиграшні та програшні позиції: ан…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.