Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Київська математична карусельKMC-08-09-072

Найменша довжина замкненої ламаної на гранях куба

На поверхні кубу з ребром 11 розташована замкнена ламана. На кожній грані кубу знаходиться принаймні одна ланка ламаної. Яку найменшу довжину може мати довжина цієї ламаної?
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-019

Сто цілих чисел по колу і додатні ланцюжки

По колу виписані 100100 цілих чисел, сума яких дорівнює 11. Ланцюжком назвемо декілька чисел, які стоять поспіль. Знайти максимально можливу кількість ланцюжків, сума чисел у яких додатна.
8–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-020

Способи поставити трьох коней з максимальною кількістю битих клітин

Скільки існує способів поставити на шахівницю трьох коней так, щоб вони били максимально можливу кількість клітин (вважаємо, що кінь також б'є і клітину на якій знаходиться й сам).
8–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-107

n прямих на площині з k точками перетину

Які числа можуть бути поставлені замість kk, щоб наступна задача мала єдиний розв'язок: «На площині розташовано nn прямих, які перетинаються в kk точках. Знайти nn.»?
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-037

Прямі AF, DK і BO у прямокутній трапеції

Нехай ABCDABCD – трапеція, у якої AD=aAD = a, AB=2aAB = 2a, BC=3aBC = 3a і ∠A=∠B=90∘\angle A = \angle B = 90^\circ, точки EE і FF – середини бічних сторін ABAB і CDCD, OO – середина EFEF. З точки FF опустили перпендикуляр FKFK на сторону BCBC. Довести, що прямі AFAF, DKDK і BOBO перетинаються в одній точці.
8–9 класиТочка перетину висот
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-123

Послідовність кількостей дільників без квадратів

Кожному натуральному числу kk, k≥2k \ge 2 ставиться у відповідність послідовність an(k)a_n(k) за таким правилом: a0(k)=ka_0(k) = k, an(k)=τ(an−1(k))a_n(k) = \tau\left(a_{n-1}(k)\right) для n≥1n \ge 1, де через τ(a)\tau(a) позначається кількість різних дільників числа aa. Знайдіть усі kk, для яких послідовність an(k)a_n(k) не містить квадратів натуральних чисел.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-124

Відношення площ чотирикутника APEF і трикутника ABP

Всередині трикутника ABCABC взяли точку PP, таку що ∠PBC=∠PCA<∠PAB\angle PBC = \angle PCA < \angle PAB. Пряма BPBP перетинає коло, описане навколо ΔABC\Delta ABC у точках BB та EE. Описане коло навколо ΔAPE\Delta APE перетинається з прямою CECE в точках EE та FF. Доведіть, що відношення площ чотирикутника APEFAPEF та трикутника ABPABP не залежить від точки PP.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-126

Покриття кола перетинами дуг двох покриттів

Нехай SS – це коло і α={A1,...,An}\alpha = \{A_1, ..., A_n\} – сімейство відкритих дуг на SS. Нехай N(α)=nN(\alpha) = n позначає кількість елементів в α\alpha. Будемо казати, що α\alpha є покриттям SS, якщо S⊂⋃k=1nAkS \subset \bigcup\limits_{k=1}^{n} A_k. Нехай α={A1,...,An}\alpha = \{A_1, ..., A_n\} і β={B1,...,Bm}\beta = \{B_1, ..., B_m\} – два покриття SS. Доведіть, що з сімейства всіх множин виду Ai∩BjA_i \cap B_j, i=1,n‾i = \overline{1,n}, j=1,m‾j = \overline{1,m} можна обрати покриття γ\gamma кола SS, таке що N(γ)≤N(α)+N(β)N(\gamma) \le N(\alpha) + N(\beta).
10–11 класиЖадібний алгоритм
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-127

Нерівність з добутком двох сум для a, b, c

Нехай a,b,ca, b, c додатні числа, довести нерівність: (1a+1b+1c)(11+a+11+b+11+c)≥91+abc.\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)\left(\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c}\right) \ge \frac{9}{1 + abc}.
10–11 класиНерівність Коші
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-128

Рівність відношень протилежних сторін опуклого шестикутника

Для опуклого шестикутника ABCDEFABCDEF справджуються такі рівності: AD=BC+EFAD = BC + EF, BE=AF+CDBE = AF + CD, CF=DE+ABCF = DE + AB. Доведіть, що тоді ABDE=CDAF=EFBC\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{CD}{AF} = \dfrac{EF}{BC}.
10–11 класиВекторний метод
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-129

Два рівняння з трьома квадратами 0 і 1

Нехай a,b,ca, b, c – цілі числа, відмінні від нуля. Відомо, що рівняння ax2+by2+cz2=0ax^2 + by^2 + cz^2 = 0 має цілий ненульовий розв'язок. Довести, що рівняння ax2+by2+cz2=1ax^2 + by^2 + cz^2 = 1 має розв'язок у раціональних числах.
10–11 класиРівняння Пелля
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-043

Найменша кількість кольорів бездоганного розфарбування 17-кутника

Є правильний 17-кутник A1A2...A17A_1A_2...A_{17}. Відстань dijd_{ij} між вершинами AiA_i і AjA_j (i≠j)(i \ne j) означимо як dij=min⁡{∣j−i∣+1, 18−∣j−i∣}d_{ij} = \min\{|j-i|+1,\, 18-|j-i|\} тобто dijd_{ij} дорівнює найменшій кількості вершин між вершинами AiA_i і AjA_j, включаючи їх самих, якщо йти вздовж межі багатокутника. Розфарбування 17-кутника назвемо бездоганним, якщо будь-які дві вершини, відстань між якими дорівнює або 3, або 5, або 9, зафарбовано різними кольорами. Скільки щонайменше потрібно кольорів для бездоганного розфарбування 17-кутника?
8–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-046

Прямокутний трикутник, перетин кіл і бісектриса

У прямокутному трикутнику ABCABC з прямим кутом ∠A\angle A точка MM – середина сторони BCBC. На промені ACAC вибрано таку точку DD, що AD=AMAD = AM. Нехай PP – точка перетину кіл, описаних навколо трикутників AMCAMC і BDCBDC, що відмінна від точки CC. Довести, що CPCP – бісектриса кута ∠ACB\angle ACB.
8–9 класиЦентральні і вписані кути
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-049

Межі дробу зі сторонами трикутника та медіанами

Знайти найбільше дійсне число pp та найменше дійсне число qq, для яких нерівність p<a+mbb+ma<qp < \dfrac{a + m_b}{b + m_a} < q справджується для довільного трикутника ABCABC зі сторонами a,ba, b і відповідними медіанами ma,mbm_a, m_b.
8–9 класиІнші нерівності в геометрії
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-050

Рівняння з перевернутим записом числа та половиною

Нехай натуральне число A=a1a2...an−1an‾A = \overline{a_1a_2...a_{n-1}a_n}. Розглянемо функцію f(A)=anan−1...a2a1‾f(A) = \overline{a_na_{n-1}...a_2a_1} (наприклад f(123)=321f(123) = 321, f(100)=1f(100) = 1). Розв'язати рівняння f(n)=⌈n2⌉f(n) = \left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil, де nn – натуральне, а ⌈x⌉\lceil x \rceil – найменше ціле число, що не менше за xx (наприклад: ⌈2,1⌉=3\lceil 2{,}1 \rceil = 3, ⌈π⌉=4\lceil \pi \rceil = 4).
8–9 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-131

Нерівність для чисел з проміжку від нуля до одиниці

Для довільних x1,x2,...,xn∈[0,1)x_1, x_2, ..., x_n \in [0, 1) довести нерівність: 1(1−x1)(1−x2)...(1−xn)≥1+x11−x1+(2x22−x1−x2)2+...+(nxnn−x1−x2−...−xn)n.\frac{1}{(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_n)} \ge 1 + \frac{x_1}{1-x_1} + \left(\frac{2x_2}{2-x_1-x_2}\right)^2 + ... + \left(\frac{nx_n}{n-x_1-x_2-...-x_n}\right)^n.
10–11 класиНерівність Коші
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-132

Гра з червоними та зеленими фішками

На початку гри на столі знаходиться mm червоних та nn зелених фішок. Дмитро та Євген роблять ходи по черзі. Кожним своїм ходом гравець вибирає колір і забирає зі стола kk фішок цього кольору, причому kk повинно бути дільником кількості фішок іншого кольору, які в даний момент знаходяться на столі. Виграє той, хто забере зі стола останню фішку. Починає Дмитро. Хто з хлопців може забезпечити собі виграш при правильній грі?
10–11 класиВиграшні та програшні позиції: ан…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-133

Замкнені обмежені фігури з півколами між точками

Опишіть усі замкнені обмежені фігури Ф на площині, кожні дві точки яких можна з'єднати півколом, яке цілком належить Ф.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-135

Захоплення квадратної станції починаючи з n відсіків

Космічна станція має форму квадрата n×nn \times n, n≥3n \geq 3 поділеного на n2n^2 відсіків розміру 1×11 \times 1. Відсіки є суміжними, якщо мають спільну сторону. У першій день інопланетяни захопили деякі nn відсіків, а потім кожного наступного дня захоплюють усі вільні відсіки, для яких принаймні два сусідні відсіки вже захоплено. Чи може трапитись, що після [n22]\left[\dfrac{n^2}{2}\right] дня ще залишаються вільні (не захоплені) відсіки, але врешті-решт усю станцію буде захоплено? Тут [a][a] – ціла частина числа aa.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-136

Відношення відрізків KL і MN у гострому куті

Дано гострий кут з вершиною OO. На одній стороні обрано довільні точки A,DA, D, на іншій – B,CB, C. Нехай M,NM, N – середини відрізків ABAB і CDCD відповідно. KK – точка перетину дотичних до описаного кола трикутника OABOAB в точках AA і BB; LL – точка перетину дотичних до описаного кола трикутника OCDOCD в точках CC і DD. Довести, що відношення KLMN\frac{KL}{MN} не залежить від вибору точок A,B,C,DA, B, C, D.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-138

Вписаний рівносторонній трикутник і дотичні до меншого кола

Два кола дотикаються одне до одного внутрішнім чином і рівносторонній трикутник вписане у більше з них. З кожної вершини цього трикутника провели один з відрізків дотичної до меншого кола. Доведіть, що довжина одного з цих відрізків дорівнює сумі довжин двох інших.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-139

Функції з рівністю f(f(x) − x) = 6x

Знайдіть усі функції f:(0,+∞)→(0,+∞)f : (0,+\infty) \to (0,+\infty), які ∀x>0\forall x > 0 задовольняють наступну умову: f(f(x)−x)=6xf\left(f(x) - x\right) = 6x.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-056

Три номінали монет для сум від 1 до 99

У зв'язку з економічною кризою, американський долар хочуть замінити на соверен. Один соверен буде складатися із 100100 пенні. Для пенні будуть введені монети трьох номіналів. Знайти усі такі номінали монет, для яких виконується наступна умова: маючи kk монет цих номіналів (декілька першого, декілька другого та декілька третього, разом kk монет), можна було б купити будь-який товар вартістю від 11 до 9999 пенні, а маючи уже (k−1)(k-1) монету будь-якого номіналу цього зробити було б не можна.
8–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-057

Три кубічні рівняння з п'ятьма різними коренями

Знайти усі трійки a,b,ca, b, c дійсних чисел, які задовольняють умову: кожне з рівнянь: x3+(a+1)x2+(b+3)x+(c+2)=0x^3 + (a+1)x^2 + (b+3)x + (c+2) = 0, x3+(a+2)x2+(b+1)x+(c+3)=0x^3 + (a+2)x^2 + (b+1)x + (c+3) = 0, x3+(a+3)x2+(b+2)x+(c+1)=0x^3 + (a+3)x^2 + (b+2)x + (c+1) = 0 має три різні дійсні корені, але усі ці дев'ять коренів утворюють множину з п'яти чисел.
8–9 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-058

Геометричне місце середин відрізків AB з прямим кутом ATB

Кола k1k_1 і k2k_2 з різними радіусами дотикаються зовнішнім чином у точці TT. На колах k1k_1 і k2k_2 візьмемо відповідно точки AA і BB, обидві відмінні від TT і такі, що кут ∠ATB=90∘\angle ATB = 90^\circ. Знайти геометричне місце середин усіх таких відрізків ABAB.
8–9 класиЦентральні і вписані кути

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.