Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-103

Гарні дільники числа та прості дільники

Для натурального числа nn випишемо всі його дільники: 1=d1<d2<…<dk=n1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_k = n. Дільник did_i назвемо гарним, якщо добуток di−1di+1d_{i-1}d_{i+1} не ділиться на did_i, 2⩽i⩽k−12 \leqslant i \leqslant k-1. Знайдіть усі nn, у яких кількість гарних дільників менша, ніж кількість різних простих дільників.
11 класДільники та кратні (базові власти…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-22-23-104

Гарантована кількість міст для подорожі одним транспортом

У країні 20242024 міста, кожні два з яких сполучено в обох напрямках рівно одним із трьох видів транспорту — залізницею, повітряним сполученням чи автомобільним шляхом. У цю країну приїхав турист, який має всю транспортну схему. Він вибирає проїзний квиток на один із видів транспорту та місто, з якого розпочинає подорож. Турист хоче відвідати якомога більше міст, при цьому користуючись лише проїзним квитком на вказаний вид транспорту. Яку кількість міст гарантовано може відвідати турист? Примітка. Протягом маршруту турист може повертатися в міста, у яких уже побував.
11 класЗв’язність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-015

Найбільше учасників турніру трійок з трьома дівчатами

У чемпіонаті Трипілля з тріанону зібралися nn учасників, поміж яких було рівно три дівчини. У кожній грі грали рівно троє учасників. У першій грі грали три дівчини. У кожній наступній грі обов’язково брала участь принаймні одна з них. Виявилося, що були зіграні всі заплановані розкладом ігри, при цьому кожні два учасники (хлопці чи дівчата) одне з одним грали рівно в одній грі. Для якого найбільшого значення nn це було можливо?
7 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-022

Перефарбування трійок клітинок у прямокутнику 5 × 8

Маємо прямокутник 5×85 \times 8, кожну клітинку 1×11 \times 1 якого пофарбовано в білий колір. На кожному кроці можна вибрати довільний прямокутник із трьох клітинок та перефарбувати всі його клітинки в протилежний колір: білі — у чорний, чорні — у білий. Яка найбільша кількість чорних клітинок може бути в прямокутнику в деякий момент і за яку найменшу кількість ходів можна досягнути такої позиції? У відповіді запишіть суму цих двох чисел.
8 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-024

Повне число з різницевим числом виду 1a1a1a1a

Натуральне число назвемо повним, якщо воно є дев’ятицифровим та містить кожну із цифр від 11 до 99. Різницевим числом для числа NN є число, яке отримано таким чином: перша його цифра — це різниця між 11-ю та 22-ю цифрами числа NN, друга цифра — це різниця між 22-ю та 33-ю цифрами числа NN і так далі (завжди від більшої цифри віднімаємо меншу). Наприклад, різницевим числом для числа 25 14325\,143 є число 34313431. Повне число 124 356 879124\,356\,879 має різницеве число 12 121 21212\,121\,212, що складається з двох цифр — 11 та 22, які чергуються. Знайдіть усі такі цифри aa, 3⩽a⩽93 \leqslant a \leqslant 9, для яких існує повне число NN з тією властивістю, що його різницеве число має вигляд 1a1a1a1a‾\overline{1a1a1a1a}. У відповіді запишіть суму всіх можливих значень цифри aa.
8 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-030

Точка в рівнобедреному трикутнику та кут BAP

Усередині рівнобедреного трикутника ABCABC з вершиною в точці AA вибрано точку PP, для якої справджуються умови: ∠BCP=30∘\angle BCP = 30^\circ, ∠APB=150∘\angle APB = 150^\circ та ∠CAP=39∘\angle CAP = 39^\circ. Знайдіть градусну міру кута BAPBAP.
9 класЦентральні і вписані кути
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-039

Одиничні кола в куті та рівність OA = OB

Два кола c1c_1 та c2c_2, що мають радіуси 11, не перетинаються. Вони розташовані всередині кута з вершиною в точці OO таким чином, що коло c1c_1 дотикається до однієї сторони кута, коло c2c_2 — до другої сторони кута. Одна спільна внутрішня дотична до кіл c1c_1 і c2c_2 проходить через точку OO, а друга спільна внутрішня дотична до цих кіл перетинає сторони кута в точках AA та BB, при цьому OA=OBOA = OB. Знайдіть відстань від точки AA до прямої OBOB.
10 класЗовнівписане коло
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-052

Мільйон купюр 3, 25, 80 за 2024 послідовні платежі

У деякій чарівній країні використовують лише купюри номіналом 33, 2525 і 8080 грн. Бізнесмен Віктор 20242024 дні поспіль харчувався в ресторані цієї країни, причому кожного наступного дня він платив (без решти) на 11 грн більше, ніж попереднього. Чи міг він сплатити за харчування сумарно рівно мільйон купюр?
7 класАрифметика остач (базові властиво…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-062

Тупокутний трикутник з дотичними та перпендикуляром

Навколо тупокутного трикутника ABCABC з тупим кутом при вершині BB описано коло. Дотичні до цього кола в точках AA і BB перетинаються в точці PP, а перпендикуляр до прямої BCBC, проведений через точку BB, перетинає сторону ACAC у точці KK. Доведіть, що PA=PKPA = PK.
8 класЦентральні і вписані кути
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-063

Вибрані числа до 2022 з неподільністю сум на різниці

Серед натуральних чисел 1,2,…,20221, 2, \ldots, 2022 вибрали декілька. Виявилося, що сума будь-яких двох із вибраних чисел не ділиться націло на жодну різницю будь-яких двох із цих чисел. Знайдіть найбільшу можливу кількість вибраних чисел.
8 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-064

Турнір з 2022 команд і обернений порядок у таблиці

У турнірі з підводного поло взяли участь 20222022 команди, і кожні дві команди зіграли між собою рівно один матч. Кожній команді за перемогу, нічию та поразку нараховували відповідно 22 очки, 11 очко та 00 очок. Виявилося, що жодні дві команди не набрали однакової кількості очок. У підсумковій таблиці команди розташували в порядку спадання кількості набраних очок. Під час перегляду регламенту встановили, що кожний матч, у якому був переможець, мав закінчитися внічию, і навпаки, у кожному матчі, що закінчився внічию, мав бути переможець. При цьому знову жодні дві команди не набрали однакової кількості очок, і в підсумковій таблиці їх знову розташували в порядку спадання кількості набраних очок. Чи могло статися так, що новий порядок команд у підсумковій таблиці протилежний початковому?
8 класПідрахунок двома способами
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-076

Найбільша кількість дільників вільного від квадратів числа

Назвемо натуральне число вільним від квадратів, якщо воно не ділиться на p2p^2 для жодного простого числа pp. Дано число n>1n > 1, що вільне від квадратів і має dd натуральних дільників. Яку найбільшу кількість дільників цього числа можна вибрати таким чином, щоб для будь-яких двох із цих вибраних, наприклад aa і bb, число a2+ab−na^2 + ab - n не було б квадратом цілого числа?
9 класДільники та кратні (базові власти…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-077

Круговий турнір зі зміною результатів і зворотний порядок

У турнірі з підводного поло взяли участь команди, кількість яких становила n⩾2n \geqslant 2, і кожні дві команди зіграли між собою рівно один матч. Кожній команді за перемогу, нічию та поразку нараховували відповідно 22 очки, 11 очко та 00 очок. Виявилося, що жодні дві команди не набрали однакової кількості очок. У підсумковій таблиці команди розташували в порядку спадання кількості набраних очок. Під час перегляду регламенту встановили, що кожний матч, у якому був переможець, мав закінчитися внічию, і навпаки, у кожному матчі, що закінчився внічию, мав бути переможець. При цьому знову жодні дві команди не набрали однакової кількості очок, і в підсумковій таблиці їх знову розташували в порядку спадання кількості набраних очок. Для яких nn могло статися так, що новий порядок команд протилежний початковому?
9 класПідрахунок двома способами
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-079

Хто має виграшну стратегію на дошці m × n

Петрик і Василь грають у гру на дошці розміром m×nm \times n. Вони роблять ходи почергово, розпочинає Петрик. Він ставить пішака в будь-яку вільну клітинку дошки. Василь на своєму ході має поставити пішака на вільну клітинку, що є сусідньою по стороні з клітинкою, у яку Петрик поставив пішака останнім ходом. Василь ви́грає, якщо вся дошка буде заповнена пішаками. Петрик ви́грає, якщо після його ходу Василь не зможе зробити хід за зазначеними правилами та на дошці ще будуть вільні клітинки. Якщо кожен прагне перемогти, то хто має виграшну стратегію залежно від значень mm, nn?
9 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-087

Вписаний чотирикутник і паралельність AB та QR

Нехай PP — це точка перетину діагоналей вписаного чотирикутника ABCDABCD. Описані кола трикутників APDAPD та BPCBPC перетинають пряму ABAB у точках EE та FF відповідно. Точки QQ та RR — проєкції точки PP на прямі FCFC і DEDE відповідно. Доведіть, що AB∥QRAB \parallel QR.
10 класЦентральні і вписані кути
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-089

Чорна та дві білі фішки на дошці m × n

У лівій нижній кутовій клітинці 1×11 \times 1 дошки розміром m×nm \times n (m,n⩾3)(m, n \geqslant 3) стоїть чорна фішка, а в лівій верхній та правій нижній клітинках стоять білі фішки. Петрик за один хід двічі поспіль пересуває чорну фішку на сусідню по стороні клітинку, а Василь може або одну з білих фішок двічі поспіль пересунути на сусідню по стороні клітинку, або кожну з двох білих фішок окремо пересунути на сусідню по стороні клітинку. Фішки не можна ставити на клітинки, у яких уже побувала фішка іншого кольору. Василь перемагає, якщо в певний момент через скінченну кількість ходів обидві білі фішки опиняться в одній клітинці. Якщо Василь прагне перемогти, а Петрик прагне не дати йому такої можливості, то за яких умов для mm та nn переможе Василь? Першим ходить Петрик.
10 класПарність і непарність
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-091

Чорна і дві білі фішки на дошці 2022×2023

У лівій нижній кутовій клітинці 1×11 \times 1 дошки розміром 2022×20232022 \times 2023 клітинки стоїть чорна фішка, а в лівій верхній і правій нижній клітинках стоять білі фішки. Петрик за один хід двічі поспіль пересуває чорну фішку на сусідню по стороні клітинку, а Василь може або одну з білих фішок двічі поспіль пересунути на сусідню по стороні клітинку, або кожну з двох білих фішок окремо пересунути на сусідню по стороні клітинку. Фішки не можна ставити на клітинки, у яких уже побувала фішка іншого кольору. Василь переможе, якщо в певний момент через скінченну кількість ходів обидві білі фішки опиняться в одній клітинці. Доведіть, що за правильної гри Петрика, який робить перший хід, Василь перемогти не зможе.
10 класКласичні ігри
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-098

Кут BAC при рівних відрізках на прямій HO

У гострокутному трикутнику ABCABC точки HH та OO є точкою перетину висот і центром описаного кола відповідно. Пряма HOHO перетинає сторони ABAB та ACAC в точках XX і YY відповідно, причому точка HH належить відрізку OXOX. Виявилося, що XH=HO=OYXH = HO = OY. Знайдіть градусну міру кута BACBAC.
11 класТочка перетину висот
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-100

Мінімальне n для розбиття квадрата на квадрати двох розмірів

Для якого мінімального натурального nn квадрат можна розрізати на 2n2n квадратів двох різних розмірів: nn квадратів одного розміру та ще nn — іншого розміру?
11 класРозрізання, покриття та замощення
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-102

Максимальне розміщення доміно на дошці m × n

На прямокутну дошку розміром m×nm \times n клітинок, де m,n⩾3m, n \geqslant 3, поклали декілька кісточок доміно (прямокутники розміром 1×21 \times 2 клітинки або 2×12 \times 1 клітинку) таким чином, що кісточки доміно не накладаються одна на одну, не виходять за межі дошки m×nm \times n, принаймні одне кутове поле дошки покрите кісточкою доміно та більше жодної кісточки доміно не можна докласти на дошку без порушення цих правил. Доведіть, що принаймні 23\dfrac{2}{3} усіх полів дошки заповнено.
11 класБієкції
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-056

Локомотиви на станціях і прибуття на вокзал швидше 1/2

У точці OO розташований залізничний вокзал, сполучений коліями із залізничними станціями A1,A2,…,A8A_1, A_2, \ldots, A_8. Між цими станціями також прокладено колії, що сполучають пункти AiA_i та Ai+1A_{i+1}, 1⩽i⩽81 \leqslant i \leqslant 8 (уважаємо, що A1=A9A_1 = A_9). Довжина кожної колії AiAi+1A_iA_{i+1} дорівнює 11, а довжина колії OAiOA_i дорівнює 22. Є вісім локомотивів B1,B2,…,B8B_1, B_2, \ldots, B_8, причому швидкість локомотива BjB_j дорівнює jj. Локомотиви можуть рухатися лише прокладеними коліями в обох напрямках, не витрачаючи часу на розворотах. Якщо два чи більше локомотивів зустрічаються в одній точці, то далі вони рухаються всі разом, як один локомотив, зі швидкістю найшвидшого локомотива з тих, що зустрілися. Чи можна так розставити локомотиви по пунктах A1,A2,…,A8A_1, A_2, \ldots, A_8 (у кожному пункті рівно один локомотив) і так організувати їхній рух, щоб вони вирушили одночасно та прибули на вокзал окремо чи в групах за час t<12t < \dfrac{1}{2}?
7 класГеометричні приклади і контрприкл…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-058

Гра з трьома купками камінців 100, 101, 102

У Федька та Михайлика є три купки камінців: у першій — 100100 камінців, у другій — 101101 камінець, а в третій — 102102 камінці. Хлопці грають за такими правилами: ходи роблять почергово, на своєму ході кожен вибирає дві довільні купки, що містять, скажімо, aa та bb камінців відповідно, та з кожної забирає камінці, кількість яких дорівнює найбільшому спільному дільнику чисел aa та bb. Перемагає той гравець, після ходу якого вперше лишилося менше ніж три купки камінців. Хто може перемогти за таких умов, якщо перший хід робить Федько й кожен прагне виграти?
7 класВиграшні та програшні позиції: ан…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-059

Два однакові квадрати зі спільною точкою і відрізки

Два однакових квадрати ABCDABCD та EFGHEFGH розташовано таким чином, що в них рівно одна спільна точка CC, яка є серединою сторони EFEF, при цьому точки BB, FF, GG лежать на одній прямій. Прямі BCBC та EHEH перетинаються в точці KK, а прямі ACAC і GHGH — у точці MM. Позначимо через LL середину відрізка GHGH. Нехай пряма, що паралельна GHGH і проходить через точку KK, перетинає пряму FGFG у точці NN. Доведіть, що CK=CL=CNCK = CL = CN.
7 класКути прямокутного трикутника
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-068

Гра з n точками на площині та k відстанями

Моніка та Богдан грають у гру, яка залежить від двох натуральних чисел nn та kk. Спочатку Моніка виписує kk додатних чисел. Богдан ви́грає, якщо йому вдасться відмітити на площині nn точок так, що для кожного числа mm, виписаного Монікою, знайдуться дві відмічені точки на відстані mm, інакше — переможе Моніка. З’ясуйте, залежно від чисел nn і kk, хто виграє за правильної гри, якщо кожен із гравців прагне перемогти.
8 класДерева
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-21-22-069

Ланцюжок рівностей x − 1/y для n чисел

Ненульові дійсні числа x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n задовольняють умови x1−1x2=x2−1x3=…=xn−1−1xn=xn−1x1.x_1 - \frac{1}{x_2} = x_2 - \frac{1}{x_3} = \ldots = x_{n-1} - \frac{1}{x_n} = x_n - \frac{1}{x_1}. Для яких nn числа x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n обов’язково мають бути рівними?
8 класСиметричні системи рівнянь

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.