Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

5 945 задач
Складністьолімпіадний, 12–16
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-074

2020 прямих загального положення та відгородження

На площині намальовано 20202020 прямих загального положення, тобто таких, що серед них немає трьох, які перетинаються в одній точці, та немає двох паралельних. Будемо казати, що намальована пряма aa відгороджує намальовану пряму bb, якщо всі точки перетину прямої bb з іншими намальованими прямими лежать в одній півплощині відносно aa (з урахуванням і самої прямої aa). Доведіть, що гарантовано можна знайти такі дві намальовані прямі aa та bb, що aa відгороджує bb, але bb не відгороджує aa.
8 класДискретні набори точок та прямих…
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-085

Дотичні до кола та рівність двох кутів

Дано коло Γ\Gamma та точку PP зовні нього, прямі PAPA та PBPB — дотичні до кола Γ\Gamma, A,B∈ΓA, B \in \Gamma. Точка KK — довільна точка на відрізку ABAB. Описане коло трикутника PKBPKB удруге перетинає коло Γ\Gamma у точці TT, точка P′P' симетрична точці PP відносно точки AA. Доведіть, що ∠PBT=∠P′KA\angle PBT = \angle P'KA.
9 класЛанцюжок подібних трикутників
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-086

Ортоцентр трикутника, паралелограм і кути BCP та BHP

Нехай точка HH — ортоцентр гострокутного трикутника ABCABC. Усередині відрізка BCBC вибрано довільну точку DD. Нехай точка PP така, що ADPHADPH — паралелограм. Доведіть, що ∠BCP<∠BHP\angle BCP < \angle BHP.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-087

Опуклий п’ятикутник ABCDE і паралелограм BCDE

Дано опуклий п’ятикутник ABCDEABCDE, у якому ∠BAC=∠ABE=∠DEA−90∘\angle BAC = \angle ABE = \angle DEA - 90^\circ, ∠BCA=∠ADE\angle BCA = \angle ADE, а BC=EDBC = ED. Доведіть, що BCDEBCDE — паралелограм.
9 класЗастосування тригонометрії
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-099

Дотичні до двох кіл з точок спільної хорди

Кола w1w_1 і w2w_2 перетинаються в точках AA і BB, точка MM — середина відрізка ABAB. На прямій ABAB вибрано точки S1S_1 і S2S_2. Нехай прямі S1X1S_1X_1 та S1Y1S_1Y_1 — дотичні, проведені із точки S1S_1 до кола w1w_1; аналогічно прямі S2X2S_2X_2 та S2Y2S_2Y_2 — дотичні, проведені із точки S2S_2 до кола w2w_2. Доведіть, що коли точка MM належить прямій X1X2X_1X_2, то тоді вона належить і прямій Y1Y2Y_1Y_2.
10 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-100

Бісектриса трикутника і бісектриса кута AQC

Усередині трикутника ABCABC вибрано точку PP так, що ∠PAB=∠PCB=14(∠A+∠C)\angle PAB = \angle PCB = \frac{1}{4}(\angle A + \angle C). Нехай пряма BLBL — бісектриса трикутника ABCABC. Пряма PLPL перетинає описане коло трикутника APCAPC у точці QQ. Доведіть, що пряма QBQB — бісектриса кута AQCAQC.
10 класТеорема про тризуб
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-101

Розділення бурих і зелених точок за сумами довжин

На площині пофарбували 101101 точку в бурий колір та ще 101101 точку в зелений колір так, що немає трьох точок, які лежали б на одній прямій. Виявилося, що сума довжин усіх 50505050 відрізків з бурими кінцями дорівнює сумі довжин усіх 50505050 відрізків із зеленими кінцями та дорівнює 11, а сума довжин усіх 10 20110\,201 відрізка з різнокольоровими кінцями дорівнює 400400. Доведіть, що можна провести пряму так, що всі бурі точки лежатимуть по один бік від неї, а всі зелені — по другий.
10 класНерівність трикутника
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-113

Рівнобедрений трикутник, коло і пряма BE

Дано трикутник ABCABC, у якому AB=ACAB = AC. Коло Γ\Gamma лежить зовні трикутника ABCABC та дотикається до прямої ACAC у точці CC. Точку DD вибрано на колі Γ\Gamma так, що описане коло трикутника ABDABD внутрішньо дотикається до кола Γ\Gamma. Відрізок ADAD перетинає коло Γ\Gamma у точці EE, відмінної від точки DD. Доведіть, що пряма BEBE дотикається до кола Γ\Gamma.
11 класГомотерія і подібність
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-114

Два кола в куті POQ і рівність кутів

Дано кут POQPOQ (OPOP і OQOQ є променями). Нехай точки MM і NN — точки всередині кута POQPOQ такі, що ∠POM=∠QON\angle POM = \angle QON та ∠POM<∠PON\angle POM < \angle PON. Розглянемо два кола: одне дотикається до променів OPOP та ONON, інше — до променів OMOM і OQOQ. Позначимо літерами BB і CC точки їхнього перетину. Доведіть, що ∠POC=∠QOB\angle POC = \angle QOB.
11 класІнверсія
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-061

Найбільша кількість пасажирів в автобусі з 11 зупинками

На автобусному маршруті рівно 1111 зупинок, рахуючи першу та останню, що занумеровані числами 1,2,…,111, 2, \ldots, 11. На всіх зупинках сумарна кількість тих, хто зайшов в автобус і вийшов з нього, дорівнювала 1010. Наприклад, зайшло 22 — вийшло 88 або ніхто не зайшов, а вийшли 1010. Тож на першій зупинці в автобус зайшли 1010 пасажирів. Кожний пасажир їхав не більше як 55 зупинок, тобто якщо хтось зайшов на третій зупинці, то мав вийти не пізніше від восьмої. При цьому в жодний момент часу автобус не був порожнім. Яка найбільша кількість пасажирів могла знаходитися в автобусі протягом руху за маршрутом?
7 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-090

Можливе значення функції з рівністю на сумі і добутку

Нехай функція f:N→Nf: \mathbb{N} \to \mathbb{N} для довільних натуральних a,b⩾4a, b \geqslant 4 задовольняє умову f(ab)=f(a+b)f(ab) = f(a + b). Відомо, що f(2019)=2020f(2019) = 2020. Чому може дорівнювати значення f(2020)f(2020)?
9 класБазові підстановки (однакові аргу…
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-091

Максимальна кількість гарних множин з числом 2020

Множину X⊂NX \subset \mathbb{N} назвемо гарною, якщо для довільних двох чисел a,b∈Xa, b \in X рівно одне з двох: a+ba + b та ∣a−b∣|a - b| належить множині XX (числа aa, bb можуть бути рівними). Знайдіть максимальну кількість гарних множин, що містять число 20202020.
9 класМетод математичної індукції
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-102

Функція з умовою f(ab) дорівнює f(a + b)

Нехай функція f:N→Nf:\mathbb{N} \to \mathbb{N} для довільних натуральних a,b⩾4a, b \geqslant 4 задовольняє умову f(ab)=f(a+b)f(ab) = f(a + b). Доведіть, що ∀n⩾8 f(n)=f(8)\forall n \geqslant 8\ f(n) = f(8).
10 класБазові підстановки (однакові аргу…
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-105

Спеціальні проміжки з числами 1, 1/2, …, 1/N

Проміжок (0, 1](0,\ 1] поділено на NN рівних проміжків (i−1N,iN]\left(\frac{i-1}{N},\frac{i}{N}\right], i=1,N‾i=\overline{1,N}. Проміжок назвемо спеціальним, якщо він містить принаймні одне із чисел множини {1,12,13,…,1N}\left\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots,\frac{1}{N}\right\}. Визначте залежно від NN кількість спеціальних проміжків.
10 класЦіла та дробова частини числа
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-106

Трикутник з кутом 20°, кубами сторін і рівнобедреність

Дано гострокутний трикутник з ∠A=20∘\angle A = 20^\circ, відповідні сторони якого задовольняють умову (a3+b3+c3−3abc)=(min⁡{b,c})3(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = (\min\{b, c\})^3. Доведіть, що даний трикутник є рівнобедреним.
10 класЗастосування тригонометрії
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-116

Функції з множиною значень R та рівнянням

Знайдіть усі функції f ⁣:R→Rf\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}, що мають множиною значень усю множину R\mathbb{R} та для довільних x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} задовольняють рівність f(xf(y)+y2)=f((x+y)2)−xf(x).f(xf(y) + y^2) = f((x+y)^2) - xf(x).
11 класБазові підстановки (однакові аргу…
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-117

Циклічна нерівність для додатних чисел із сумою n

Розглянемо таке твердження: якщо додатні числа x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n, n⩾3n \geqslant 3, задовольняють умову x1+x2+…+xn=nx_1 + x_2 + \ldots + x_n = n, то x2x1+2x3+x3x2+2x4+…+xnxn−1+2x1+x1xn+2x2⩾n3.\frac{x_2}{\sqrt{x_1 + 2x_3}} + \frac{x_3}{\sqrt{x_2 + 2x_4}} + \ldots + \frac{x_n}{\sqrt{x_{n-1} + 2x_1}} + \frac{x_1}{\sqrt{x_n + 2x_2}} \geqslant \frac{n}{\sqrt{3}}. Для яких nn це твердження обов’язково справджується?
11 класІнші класичні нерівності
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-049

Розбиття вільних хлопців і дівчат на різносімейні пари

У деякому місті жили декілька величезних родин, у кожній з яких були неодружені хлопці та незаміжні дівчата, загальна кількість таких хлопців та незаміжніх дівчат була однаковою. Відомо, що в кожній родині сумарна кількість неодружених хлопців і незаміжніх дівчат не перевищує половини від загальної їх кількості в місті. Доведіть, що всіх «вільних» молодих людей можна розбити на пари наречених так, щоб не було нареченого та нареченої з однієї родини.
6 класЖадібний алгоритм
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-094

Найменша кількість чорних комірок для заповнення прямокутника

Прямокутник n×mn \times m, n⩽mn \leqslant m, поділено на одиничні квадратики 1×11 \times 1 (комірки). На початку ми вибираємо NN комірок та фарбуємо їх у чорний колір. Далі наша мета — зробити всі комірки чорними завдяки таким ходам: якщо порожня комірка має спільну сторону щонайменше з двома чорними, то цей квадрат стає чорним. Знайдіть найменше можливе NN, для якого після скінченної кількості кроків усі комірки стануть чорними.
9 класНапівінваріанти
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-109

Ребра двоколірного графа без одноколірних C3 і C5

Нехай GG — граф з n⩾5n \geqslant 5 вершинами. Усі ребра цього графа зафарбовано в один із двох кольорів — синій чи жовтий — так, що немає жодного однокольорового циклу C3C_3 та C5C_5. Доведіть, що в цьому графі не більше ніж 38n2\frac{3}{8}n^2 ребер.
10 класКласичні теореми теорії графів
Тематичні олімпіади з математикиTMO-19-20-120

Магічна таблиця як сума одиничних таблиць

Назвемо таблицю n×nn \times n магічною, якщо її заповнено цілими невід’ємними числами таким чином, що суми всіх чисел кожного рядка та суми кожного стовпчика однакові. Назвемо таблицю n×nn \times n одиничною, якщо її заповнено числами 00 та 11 таким чином, що суми чисел кожного рядка та суми чисел кожного стовпчика дорівнюють 11. Доведіть, що кожна магічна таблиця дорівнює сумі скінченної кількості одиничних таблиць (таблиці додаємо додаванням чисел у відповідних комірках).
11 класДвочасткові графи
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-18-19-033

Прямокутник без квадрата 2 на 2, розрізаний на трикутники

У Марії був прямокутник m×nm \times n клітинок, де m⩽nm \leqslant n — натуральні числа. Вона відрізала з його куточка квадрат 2×22 \times 2. Надалі вона змогла той шматочок, що залишився, одним прямолінійним розрізом розрізати на три трикутники. Чому можуть дорівнювати розміри прямокутника m×nm \times n? Наведіть усі можливі відповіді.
5 класРозрізання, склеювання та рівноск…
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-18-19-023

Шаховий турнір в одне коло з умовою для трійок

У класі відбувся шаховий турнір в одне коло між усіма бажаючими, тобто кожний з кожним зіграв рівно по одному разу. За перемогу гравець отримує 11 очко, за нічию — 12\frac{1}{2} очка, за поразку очки не нараховують. Відомо, що серед будь-яких трьох учасників є той, хто набрав в іграх з іншими двома рівно 32\frac{3}{2} очка. Яка найбільша кількість учасників могла брати участь у турнірі?
4 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-18-19-062

Існування прямих із заданими кількостями червоних точок

На площині проведено nn прямих p1,p2,…,pnp_1, p_2, \ldots, p_n. Кожну точку, через яку проходить рівно три із цих прямих, пофарбуємо в червоний колір. Позначимо через aia_i кількість червоних точок на прямій pip_i. Чи існує така система прямих, у якій: а) 44 прямих, що для них (a1,a2,a3,a4)=(1,1,2,2)(a_1, a_2, a_3, a_4) = (1, 1, 2, 2); б) 99 прямих, що для них (a1,a2,…,a9)=(2,2,2,2,2,2,3,3,3)(a_1, a_2, \ldots, a_9) = (2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3)?
6 класДискретні набори точок та прямих…
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-18-19-067

Добуток частин стрічки з числами від 1 до 33

На стрічці в один рядок без пропусків виписали послідовно всі числа від 11 до 3333. Після того цю стрічку розрізали на частини з написаними на них числами, кожне з яких не перевищувало 20182018. Якщо відрізане число виявляється з нулем попереду, то нуль відкидаємо, наприклад, вважаємо, що відрізане число 011011 дорівнює 1111. а) Доведіть, що добуток чисел, які утворилися в результаті такого розрізання, кратний 3232. б) Чи обов'язково добуток отриманих чисел буде кратним 6464?
7 класОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.