Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

831 задача
Складністьдуже складний, 17–20
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2019-003

Суми рядків і стовпців за модулем

Нехай nn — непарне ціле число, більше або рівне 33. Розглянемо гру на дошці n×nn \times n, складеній з n2n^2 клітинок 1×11 \times 1. Гра триває n2n^2 ходів, і на кожному ході треба виконати в зазначеному порядку такі дії: Оберіть одну порожню клітинку та впишіть у неї одне натуральне число, більше або рівне 11 і менше або рівне n2n^2. Протягом гри кожне число можна використати лише один раз. Ви отримуєте 11 бал, якщо сума чисел, записаних у клітинках того самого рядка, що й обрана вами клітинка, кратна nn, і те саме правило діє для стовпця (ви отримуєте 22 бали, якщо і сума рядка, і сума стовпця кратні nn). Знайдіть найбільше можливе значення загальної суми балів, набраних вами до кінця гри.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2019-007

Коло на діаметрі AK і середина сторони BC

Нехай II — інцентр, а Ω\Omega — вписане коло трикутника ABCABC, а MM — середина сторони BCBC. Нехай KK — точка перетину прямої, що проходить через AA і перпендикулярна до прямої BCBC, та прямої, що проходить через MM і перпендикулярна до прямої AIAI. Доведіть, що коло, діаметром якого є відрізок AKAK, дотикається до кола Ω\Omega.
10–11 класиЗовнівписане коло
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2018-005

Ітеративне множення на прості дільники

Нехай kk — дане парне натуральне число. Сара спочатку вибирає натуральне число NN, більше за 11, і далі змінює його так: щохвилини вона вибирає простий дільник pp поточного значення NN і множить поточне NN на pk−p−1p^{k}-p^{-1}, щоб отримати наступне значення NN. Доведіть, що існує нескінченно багато парних натуральних чисел kk таких, що, незалежно від виборів Сари, її число NN у певний момент ділитиметься на 20182018.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-042

Точки сітки зі вписаними чотирикутниками

На площині дано 16 попарно різних точок, які позначено Ai,jA_{i, j} для i,j∈{1,2,3,4}i, j \in \{1,2,3,4\}. Ці точки задовольняють такі співвідношення колінеарності та вписаності в коло: ▹\triangleright для всякого i∈{1,2,3,4}i \in \{1,2,3,4\} точки Ai,1,Ai,2,Ai,3A_{i, 1}, A_{i, 2}, A_{i, 3} і Ai,4A_{i, 4} колінеарні; ▹\triangleright для всякого j∈{1,2,3,4}j \in \{1,2,3,4\} точки A1,j,A2,j,A3,jA_{1, j}, A_{2, j}, A_{3, j} і A4,jA_{4, j} колінеарні; ▹\triangleright чотирикутники A1,1A1,2A2,2A2,1,A2,1A2,2A3,2A3,1,A3,1A3,2A4,2A4,1,A1,2A1,3A2,3A2,2A_{1,1} A_{1,2} A_{2,2} A_{2,1}, A_{2,1} A_{2,2} A_{3,2} A_{3,1}, A_{3,1} A_{3,2} A_{4,2} A_{4,1}, A_{1,2} A_{1,3} A_{2,3} A_{2,2}, A1,3A1,4A2,4A2,3,A1,1A2,2A2,3A1,4A_{1,3} A_{1,4} A_{2,4} A_{2,3}, A_{1,1} A_{2,2} A_{2,3} A_{1,4} і A1,1A2,2A3,2A4,1A_{1,1} A_{2,2} A_{3,2} A_{4,1} є вписаними. Доведіть, що чотирикутник A4,1A3,2A3,3A4,4A_{4,1} A_{3,2} A_{3,3} A_{4,4} також є вписаним. Зауваження: чотирикутник називається вписаним, якщо його чотири вершини лежать на одному колі.
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-021

Неминучі множини перестановок

Кажуть, що дві перестановки a1,…,a4035a_{1}, \ldots, a_{4035} і b1,…,b4035b_{1}, \ldots, b_{4035} чисел 1,…,40351, \ldots, 4035 перетинаються, якщо існує ціле число k⩽4035k \leqslant 4035 таке, що ak=bka_{k}=b_{k}. Кажуть, що множина EE перестановок є неминучою, якщо кожна перестановка чисел 1,…,40351, \ldots, 4035 перетинає перестановку, що належить EE. a) Доведіть, що існує неминуча множина, яка містить 2018 перестановок. b) Чи існує неминуча множина, яка містить 2017 перестановок?
9–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-005

Сума розривів підмножин проти суми інтервалів

Множину BB цілих чисел називають інтервалом цілих чисел, якщо існують цілі числа i⩽ji \leqslant j такі, що B={i,i+1,…,j}B=\{i, i+1, \ldots, j\}, і через J\mathcal{J} позначають множину інтервалів цілих чисел. Крім того, якщо A={a1,…,ak}A=\{a_1, \ldots, a_k\} — множина цілих чисел, причому a1<…<aka_1<\ldots<a_k, то покладають f(A)=max⁡1⩽i<k(ai+1−ai) і g(A)=max⁡B⊆A,B∈J∣B∣.f(A)=\max_{1 \leqslant i<k}(a_{i+1}-a_i) \text{ і } g(A)=\max_{B \subseteq A, B \in \mathcal{J}} |B|. Нагадаємо, що позначення ∣B∣|B| означає кількість елементів множини BB. Якщо AA порожня або одноелементна, також покладають f(A)=0f(A)=0. Нарешті, для кожного цілого числа n⩾1n \geqslant 1 визначають F(n)=∑A⊆{1,…,n}f(A) і G(n)=∑A⊆{1,…,n}g(A).F(n)=\sum_{A \subseteq\{1, \ldots, n\}} f(A) \text{ і } G(n)=\sum_{A \subseteq\{1, \ldots, n\}} g(A). Доведіть, що існує натуральне число mm таке, що F(n)>G(n)F(n)>G(n) для кожного цілого числа n⩾mn \geqslant m.
8–10 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-003

Рівнодільний многокутник і центральна симетрія

Многокутник на площині (без самоперетинів) називається рівнодільним, якщо кожна пряма, що проходить через початок координат, ділить многокутник на дві (можливо, незв'язні) області рівної площі. Чи існує рівнодільний многокутник, який не є центрально симетричним відносно початку координат? (Многокутник є центрально симетричним відносно початку координат, якщо поворот на 180 градусів навколо початку координат переводить многокутник у себе.)
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-005

Ациклічні орієнтації та непарні цикли

Нехай GG — неорієнтований простий граф. Нехай f(G)f(G) — кількість способів орієнтувати всі ребра графа GG в одному з двох можливих напрямів так, щоб утворений орієнтований граф не містив орієнтованих циклів. Доведіть, що f(G)f(G) кратне 33 тоді й лише тоді, коли GG має цикл непарної довжини.
10–11 класиДвочасткові графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-125

Конкурентні прямі в рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 88. Нехай XX лежить на стороні ABAB так, що AX=5AX = 5, а YY — на стороні ACAC так, що AY=3AY = 3. Нехай ZZ лежить на стороні BCBC так, що AZAZ, BYBY, CXCX перетинаються в одній точці. Нехай прямі ZXZX, ZYZY перетинають описане коло трикутника AXYAXY знову в точках PP, QQ відповідно. Нехай прямі XQXQ і YPYP перетинаються в точці KK. Обчисліть KX⋅KQKX \cdot KQ.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-117

Подільність многочлена від випадкової 6-елементної підмножини

Нехай SS — випадково вибрана 6-елементна підмножина множини {0,1,2,…,n}\{0,1,2, \ldots, n\}. Розглянемо многочлен P(x)=∑i∈SxiP(x) = \sum_{i \in S} x^{i}. Нехай XnX_{n} — ймовірність того, що P(x)P(x) ділиться на деякий несталий многочлен Q(x)Q(x) степеня не більше 3 з цілими коефіцієнтами, який задовольняє Q(0)≠0Q(0) \neq 0. Знайдіть границю XnX_{n} при nn, що прямує до нескінченності.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-137

Розфарбування вирізаної дошки без шахових квадратів

У Лілі є дошка 300×300300 \times 300 з клітинок. Вона вирізає по 100×100100 \times 100 клітинок з кожного з чотирьох кутів і фарбує кожну з решти 50000 клітинок у чорний або білий колір. Відомо, що жоден квадрат 2×22 \times 2 не пофарбовано в шаховому порядку. Знайдіть найбільшу можливу кількість (невпорядкованих) пар клітинок таких, що одна чорна, друга біла, а клітинки мають спільну сторону.
10–11 класиСтепені вершин
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-099

Ґратковий чотирикутник з обмеженою площею

Нехай nn і mm — натуральні числа, які не перевищують 101010^{10}. Нехай RR — прямокутник з вершинами в точках (0,0)(0,0), (n,0)(n, 0), (n,m)(n, m), (0,m)(0, m) на координатній площині. Простий чотирикутник без самоперетинів з вершинами з цілочисельними координатами називається далекосяжним, якщо кожна його вершина лежить у прямокутнику RR або на його межі, але кожна сторона прямокутника RR містить принаймні одну вершину чотирикутника. Доведіть, що існує далекосяжний чотирикутник з площею не більше 10610^{6}. (Сторона прямокутника включає обидва кінці.)
10–11 класиДискретні набори точок та прямих…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-071

Куб, розрізаний площинами через позначені точки

У дерев'яному бруску, що має форму куба, позначено всі вершини та середини ребер. Куб розрізають уздовж усіх можливих площин, які проходять принаймні через чотири позначені точки. Нехай NN — кількість частин, на які розрізано куб. Оцініть NN. Оцінка E>0E>0 дає ⌊20min⁡(N/E,E/N)⌋\lfloor 20 \min (N / E, E / N)\rfloor балів.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2018-032

Конкурентність дотичних на описаному колі трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник із центром вписаного кола II, центром описаного кола OO та описаним колом Γ\Gamma. Нехай MM — середина сторони AB‾\overline{AB}. Промінь AIAI перетинає BC‾\overline{BC} у точці DD. Позначимо через ω\omega і γ\gamma описані кола трикутників △BIC\triangle BIC і △BAD\triangle BAD відповідно. Пряма MOMO перетинає ω\omega у точках XX і YY, а пряма COCO перетинає ω\omega у точках CC і QQ. Припустімо, що точка QQ лежить усередині △ABC\triangle ABC і що ∠AQM=∠ACB\angle AQM = \angle ACB. Проведено дотичні до кола ω\omega у точках XX і YY та дотичні до кола γ\gamma у точках AA і DD. За умови ∠BAC≠60∘\angle BAC \neq 60^\circ доведіть, що ці чотири прямі перетинаються в одній точці, що лежить на колі Γ\Gamma.
10–11 класиДотична кола
Відбіркові тести на IMOTST-2018-033

Цілі корені квадратного тричлена з послідовними коефіцієнтами

Для цілого числа n>0n > 0 позначимо через F(n)\mathcal{F}(n) множину цілих чисел m>0m > 0, для яких многочлен p(x)=x2+mx+np(x) = x^2 + mx + n має цілий корінь. a. Нехай SS — множина цілих чисел n>0n > 0, для яких F(n)\mathcal{F}(n) містить два послідовні цілі числа. Доведіть, що SS нескінченна, але ∑n∈S1n≤1.\sum_{n \in S} \frac{1}{n} \le 1. b. Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел nn, для яких F(n)\mathcal{F}(n) містить три послідовні цілі числа.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-043

Сторони трикутника з позначеними точками та умовами з'єднання

Нехай kk — додатне ціле число. Знайдіть усі додатні цілі числа nn такі, що можна позначити nn точок на сторонах трикутника (відмінних від його вершин) і з'єднати деякі з них лінією таким чином, щоб виконувалися такі умови: 1) на кожній стороні є принаймні 1 позначена точка; 2) для кожної пари точок XX і YY, позначених на різних сторонах, на третій стороні існує рівно kk позначених точок, які з'єднані як з XX, так і з YY, і рівно kk точок, які не з'єднані ні з XX, ні з YY.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Відбіркові тести на IMOTST-2018-036

Найбільша сума стрибків, довжини яких — степені двійки

Нехай nn — натуральне число. Жаба стартує на числовій прямій у точці 00. Припустімо, вона робить скінченну послідовність стрибків за двох умов: жаба відвідує лише точки з {1,2,…,2n−1}\{1, 2, \dots, 2^n - 1\}, причому кожну щонайбільше один раз; довжина кожного стрибка належить множині {20,21,22,… }\{2^0, 2^1, 2^2, \dots\}. (Стрибки можуть бути в будь-який бік, ліворуч чи праворуч.) Нехай SS — сума (додатних) довжин усіх стрибків у послідовності. Яке найбільше можливе значення SS?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2018-038

Перенос многокутника, що мінімізує перекриття

Доведіть, що існує абсолютна стала c<1c < 1 з такою властивістю: для будь-якого многокутника P\mathcal{P} площі 1 на площині його можна перенести на відстань 1100\frac{1}{100} у деякому напрямку, отримавши многокутник Q\mathcal{Q}, для якого перетин внутрішностей P\mathcal{P} і Q\mathcal{Q} має сумарну площу, не більшу за cc.
10–11 класиПринцип Діріхле (довжини, площі,…
Французька математична олімпіадаFRMO-2017-010

Дотик описаних кіл у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — чотирикутник, вписаний у коло. Позначимо через Δ1\Delta_{1} пряму, паралельну (BC)(BC), що проходить через AA, а через Δ2\Delta_{2} — пряму, паралельну (AD)(AD), що проходить через BB. Позначимо через EE точку перетину прямої Δ1\Delta_{1} з (CD)(CD), а через FF — точку перетину прямої Δ2\Delta_{2} з (CD)(CD). Пряма, перпендикулярна до Δ1\Delta_{1}, що проходить через AA, перетинає (BC)(BC) у точці PP, а пряма, перпендикулярна до Δ2\Delta_{2}, що проходить через BB, перетинає (AD)(AD) у точці QQ. Позначимо через Γ1\Gamma_{1} описане коло трикутника ADEADE, а через Γ2\Gamma_{2} — описане коло трикутника BFCBFC. Доведіть, що кола Γ1\Gamma_{1} і Γ2\Gamma_{2} дотикаються тоді й лише тоді, коли (DP)(DP) і (CQ)(CQ) перпендикулярні.
8–10 класиКола, що дотикаються
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-005

Наближені гомоморфізми на гіперкубі

Нехай SS — множина {−1,1}n\{-1,1\}^n, тобто nn-ок, кожна координата яких дорівнює −1-1 або 11. Для s=(s1,s2,…,sn), t=(t1,t2,…,tn)∈{−1,1}ns = (s_1, s_2, \ldots, s_n),\ t = (t_1, t_2, \ldots, t_n) \in \{-1,1\}^n означимо s⊙t=(s1t1,s2t2,…,sntn)s \odot t = (s_1 t_1, s_2 t_2, \ldots, s_n t_n). Нехай cc — додатна стала, а f:S→{−1,1}f: S \rightarrow \{-1,1\} — функція така, що існує принаймні (1−c)⋅22n(1-c) \cdot 2^{2n} пар (s,t)(s, t) з s,t∈Ss, t \in S, для яких f(s⊙t)=f(s)f(t)f(s \odot t) = f(s) f(t). Доведіть, що існує функція f′f' така, що f′(s⊙t)=f′(s)f′(t)f'(s \odot t) = f'(s) f'(t) для всіх s,t∈Ss, t \in S і f(s)=f′(s)f(s) = f'(s) принаймні для (1−10c)⋅2n(1-10c) \cdot 2^n значень s∈Ss \in S.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-040

Добре центровані підмногокутники та прості дільники

Нехай nn — непарне натуральне число, більше за 22, і розглянемо правильний nn-кутник G\mathcal{G} на площині з центром у початку координат. Підмногокутником G′\mathcal{G}' назвемо многокутник щонайменше з 33 вершинами, множина вершин якого є підмножиною множини вершин G\mathcal{G}. Скажімо, що G′\mathcal{G}' добре центрований, якщо його центроїд збігається з початком координат. Також скажімо, що G′\mathcal{G}' розкладний, якщо його множину вершин можна записати як диз'юнктне об'єднання правильних многокутників щонайменше з 33 вершинами. Доведіть, що всі добре центровані підмногокутники розкладні тоді й лише тоді, коли nn має не більше двох різних простих дільників.
10–11 класиМногочлени ділення кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-068

Підмножини з великими симетричними різницями

Нехай mm — натуральне число, а TT позначає множину всіх підмножин множини {1,2,…,m}\{1,2, \ldots, m\}. Підмножину SS множини TT назвемо δ\delta-доброю, якщо для всіх s1,s2∈Ss_{1}, s_{2} \in S, s1≠s2s_{1} \neq s_{2}, виконується ∣Δ(s1,s2)∣≥δm\left|\Delta\left(s_{1}, s_{2}\right)\right| \geq \delta m, де Δ\Delta позначає симетричну різницю (симетрична різниця двох множин — це множина елементів, що належать рівно одній із цих двох множин). Знайдіть найбільше можливе ціле число ss, для якого існують ціле число mm та 10242047\frac{1024}{2047}-добра множина розміру ss.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-041

Нерухома точка при проєкції інцентра

Нехай LBCL B C — нерухомий трикутник, у якого LB=LCL B = L C, і нехай AA — змінна точка на дузі LBL B його описаного кола. Нехай II — інцентр трикутника △ABC\triangle A B C, а AK‾\overline{A K} — висота, проведена з вершини AA. Описане коло трикутника △IKL\triangle I K L перетинає прямі KAK A і BCB C ще раз у точках U≠KU \neq K і V≠KV \neq K відповідно. Нарешті, нехай TT — проєкція точки II на пряму UVU V. Доведіть, що пряма, проведена через TT і середину відрізка IK‾\overline{I K}, проходить через деяку нерухому точку незалежно від положення точки AA.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-066

Двійкові рядки з фіксованим значенням у базі фі

Позначимо ϕ=1+52\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} і розглянемо множину всіх скінченних двійкових рядків без початкових нулів. Кожен рядок SS має значення в системі числення з основою ϕ\phi, яке позначимо p(S)p(S). Наприклад, p(1101)=ϕ3+ϕ2+1p(1101)=\phi^{3}+\phi^{2}+1. Для будь-якого натурального числа nn нехай f(n)f(n) — кількість таких рядків SS, що задовольняють p(S)=ϕ48n−1ϕ48−1p(S)=\frac{\phi^{48 n}-1}{\phi^{48}-1}. Послідовність дробів f(n+1)f(n)\frac{f(n+1)}{f(n)} прямує до дійсного числа cc, коли nn прямує до нескінченності. Знайдіть значення cc.
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-031

Мінімум зваженої симетричної суми

Нехай aa, bb, cc — невід'ємні дійсні числа, для яких ab+bc+ca=3ab + bc + ca = 3. Нехай також a3b+b3c+c3a+2abc(a+b+c)=92a^3 b + b^3 c + c^3 a + 2abc(a + b + c) = \frac{9}{2} Яке найменше можливе значення виразу ab3+bc3+ca3ab^3 + bc^3 + ca^3?
10–11 класиІнші класичні нерівності

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.