Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

831 задача
Складністьдуже складний, 17–20
Математичний гурток БеркліBMC-2022-013

Добутки трійок серед дільників

Еріт вибирає п’ять чисел і для кожних трьох з них бере їхній добуток, отримуючи десять добутків. Вона каже Бобу, що дев’ять найменших додатних дільників шістдесяти є серед її добутків. Чи може Боб визначити останній добуток?
Симетричні системи рівнянь
Естонська математична олімпіадаESTMO-2018-030

Квадратична гра з додатними коренями

На дошці написано квадратне рівняння x2+px+q=0x^2 + px + q = 0, причому pp і qq — дійсні числа такі, що рівняння на дошці має дійсні розв'язки і всі розв'язки додатні. Два гравці по черзі змінюють коефіцієнти рівняння за такими правилами. Перший гравець зменшує вільний член на будь-який із розв'язків рівняння і (тим самим ходом) збільшує коефіцієнт при лінійному члені на 1. Другий гравець може замінити вільний член довільним дійсним числом. Або ж другий гравець може збільшити вільний член на найбільший розв'язок рівняння і (тим самим ходом) зменшити коефіцієнт при лінійному члені на 1, але такий хід дозволено лише якщо розв'язки рівняння на дошці перед ходом відрізняються один від одного більш ніж на 1. Якщо після ходу будь-якого з гравців отримане рівняння не має дійсних розв'язків або має недодатний дійсний розв'язок, то перший гравець перемагає. Чи може перший гравець перемогти незалежно від того, як грає суперник?
Теорема Вієта
Математичний гурток БеркліBMC-2017-013

Прості числа з геометричною сумою за модулем степеня

Знайдіть усі прості числа pp, для яких існує ціле число xx, що задовольняє x2010+x2009+⋯+1≡p2010(modp2011)x^{2010} + x^{2009} + \cdots + 1 \equiv p^{2010} \pmod{p^{2011}}.
Порядок (показник) числа за модул…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2013-006

Різниці добутків чисел Фібоначчі

Нехай F1,F2,F3…F_{1}, F_{2}, F_{3} \ldots — послідовність Фібоначчі, тобто послідовність натуральних чисел, у якій F1=F2=1F_{1}=F_{2}=1 і Fn+2=Fn+1+FnF_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} для всіх n≥1n \geq 1. Число Фібоначчі за означенням — це число, що зустрічається в цій послідовності. Нехай P1,P2,P3,…P_{1}, P_{2}, P_{3}, \ldots — послідовність, що складається з усіх цілих чисел, які є добутками двох чисел Фібоначчі (не обов'язково різних), записаних у порядку зростання. Перші кілька членів такі: 1,2,3,4,5,6,8,9,10,13,…1,2,3,4,5,6,8,9,10,13, \ldots адже, наприклад, 3=1⋅3,4=2⋅23=1 \cdot 3, 4=2 \cdot 2 і 10=2⋅510=2 \cdot 5. Розглянемо послідовність DnD_{n} послідовних різниць послідовності PnP_{n}, де Dn=Pn+1−PnD_{n}=P_{n+1}-P_{n} при n≥1n \geq 1. Перші кілька членів послідовності DnD_{n} такі: 1,1,1,1,1,2,1,1,3,…1,1,1,1,1,2,1,1,3, \ldots Доведіть, що кожне число в послідовності DnD_{n} є числом Фібоначчі.
Числа Фібоначі
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2011-006

Різні біноміальні коефіцієнти з подвійними відношеннями

Чи існує рядок трикутника Паскаля, що містить чотири різні елементи aa, bb, cc і dd такі, що b=2ab=2a і d=2cd=2c? Зауважимо, що значення мають бути різними, тобто aa, bb, cc, dd мають бути чотирма різними числами. Нагадаємо, що трикутник Паскаля — це схема чисел, яка починається так: де елементи кожного рядка є сумами пар сусідніх елементів попереднього рядка. Наприклад, 10=4+610 = 4 + 6. Також зауважимо, що останній показаний вище рядок містить чотири елементи a=5a=5, b=10b=10, d=10d=10, c=5c=5, які задовольняють b=2ab=2a і d=2cd=2c, але ці чотири елементи НЕ є різними.
Рівняння Пелля
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-057

Цілі коефіцієнти мінімального лінійного рекурентного співвідношення

Нехай (xn)n≥0(x_n)_{n \ge 0} — послідовність цілих чисел, яка задовольняє лінійне рекурентне співвідношення порядку kk для фіксованого натурального числа kk, тобто існують сталі дійсні числа c1,c2,…,ckc_1, c_2, \dots, c_k такі, що xn+k=∑r=1kcrxn+k−rx_{n+k} = \sum_{r=1}^k c_r x_{n+k-r}, ∀n≥0\forall n \ge 0. Припустимо, що kk — найменше натуральне число з цією властивістю. Доведіть, що cj∈Zc_j \in \mathbb{Z} для всіх jj, 1≤j≤k1 \le j \le k.
Лінійні рекурентні послідовності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2009-013

Знаменники ланцюгових дробів в інтервалі

Нехай nn, a1a_1, a2a_2, …\dots, ana_n — натуральні числа. Визначимо q0=1q_0 = 1, q1=a1q_1 = a_1 і qk+1=ak+1qk+qk−1q_{k+1} = a_{k+1}q_k + q_{k-1} для 1≤k≤n−11 \le k \le n-1. Доведіть, що для заданого c>1c > 1 існує таке K>0K > 0, що для всіх M>KM > K існують натуральне число nn і a1,a2,…,an∈{1,2}a_1, a_2, \dots, a_n \in \{1, 2\} такі, що M≤qn<c⋅MM \le q_n < c \cdot M.
Лінійні рекурентні послідовності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2009-016

Підрахунок добутків цілих чисел з обмеженням зверху

Для кожного натурального числа nn нехай f(n)f(n) — кількість добутків цілих чисел, більших за 11, результат яких не перевищує nn, тобто f(n)f(n) — це кількість kk-ок (a1,a2,…,ak)(a_1, a_2, \dots, a_k), де kk — натуральне число, ai≥2a_i \ge 2 — ціле число для всіх ii і a1⋅a2⋅…ak≤na_1 \cdot a_2 \cdot \dots a_k \le n (за домовленістю включаємо порожню 00-ку (⋅)(\cdot), добуток якої дорівнює 11). Так, наприклад, f(1)=1f(1) = 1 (враховується лише 00-ка (⋅)(\cdot)), а f(6)=9f(6) = 9 (враховуються 00-ка (⋅)(\cdot), 11-ки (2),(3),(4),(5)(2), (3), (4), (5) і (6)(6) та 22-ки (2,2),(2,3)(2, 2), (2, 3) і (3,2)(3, 2)). Нехай α>1\alpha > 1 таке, що ∑m=1∞1mα=2\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^{\alpha}} = 2. a. Доведіть, що існує стала K>0K > 0 така, що f(n)≤K⋅nαf(n) \le K \cdot n^{\alpha} для всіх натуральних чисел nn. b. Доведіть, що існує стала c>0c > 0 така, що f(n)≥c⋅nαf(n) \ge c \cdot n^{\alpha} для всіх натуральних чисел nn.
Рекурентний підрахунок
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-130

Найбільший квадрат в одиничному кубі

Квадрат міститься в кубі, якщо всі його точки лежать на гранях або всередині куба. Знайдіть найбільше ll таке, що існує квадрат зі стороною ll, який міститься в кубі з ребром 11.
Екстремальні геометричні конструк…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-007

Рекурентна функція та оцінка через золотий перетин

Професор Піральдо бере участь у футбольних матчах з великою кількістю голів і оцінює матч на свій особливий лад. Матч з рахунком mm голів проти nn голів, m≥nm \ge n, називається напруженим, коли m≤f(n)m \le f(n), де f(n)f(n) визначається як f(0)=0f(0) = 0 і, для n≥1n \ge 1, f(n)=2n−f(r)+rf(n) = 2n - f(r) + r, де rr — найбільше ціле число таке, що r<nr < n і f(r)≤nf(r) \le n. Нехай ϕ=1+52\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}. Доведіть, що матч з рахунком mm голів проти nn, m≥nm \ge n, є напруженим, якщо m≤ϕnm \le \phi n, і не є напруженим, якщо m≥ϕn+1m \ge \phi n + 1.
Числа Фібоначі
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2004-002

Розбиття трикутника на менші з рівними степенями вершин

Знайдіть усі значення nn такі, що можна поділити трикутник на nn менших трикутників так, щоб жодні три вершини не лежали на одній прямій і щоб кожна вершина належала однаковій кількості відрізків.
Планарні графи
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1999-006

Трикутник найменшої площі із заданими кутами

Дано трикутник ABCABC. Поясніть, як за допомогою лінійки та циркуля побудувати трикутник A′B′C′A'B'C' найменшої площі такий, що C′∈ACC' \in AC, A′∈ABA' \in AB, B′∈BCB' \in BC і ∠B′A′C′=∠BAC\angle B'A'C' = \angle BAC, ∠A′C′B′=∠ACB\angle A'C'B' = \angle ACB.
Комбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1997-005

Відображення площини, що зберігає одиничну відстань

ff — відображення площини таке, що будь-які дві точки на відстані 11 завжди переходять у дві точки на відстані 11. Доведіть, що для будь-якого dd відображення ff переводить будь-які дві точки на відстані dd у дві точки на відстані dd.
Геометричні конфігурації точок
Математичний гурток БеркліBMC-0000-163

Шляхи за стрілками з виходом за межі таблиці

У кожній клітинці таблиці n×nn \times n є стрілка, що вказує в одному з восьми основних напрямів (тобто в одному з таких: →,←,↑,↓,↗,↘,↖,↙\rightarrow, \leftarrow, \uparrow, \downarrow, \nearrow, \searrow, \nwarrow, \swarrow), так, що стрілки в будь-яких двох сусідніх клітинках утворюють кут не більше 45 градусів, а стрілки в будь-яких двох клітинках, сусідніх по діагоналі (тобто таких, що мають спільну вершину), утворюють кут не більше 90 градусів. Ми стартуємо з деякої клітинки й рухаємося за стрілками (наприклад, якщо стрілка в нашій клітинці — це ↑\uparrow, то ми переходимо на одну клітинку вгору, якщо це ↘\searrow, то ми переходимо по діагоналі вниз і вправо тощо). Доведіть, що ми зрештою вийдемо за межі таблиці (тобто потрапимо в клітинку на межі таблиці, стрілка в якій вказуватиме «назовні з таблиці»).
Метод нескінченного спуску
Математичний гурток БеркліBMC-0000-178

Покриття точок одиничними кругами

Дано десять точок на площині. Доведіть, що завжди можна покрити їх усі одиничними кругами, які попарно не перетинаються.
Розрізання, покриття та замощення
Математичний гурток БеркліBMC-0000-200

Замощення площини квадратами різних розмірів

Знайдіть найменше натуральне число nn з такою властивістю: площину можна замостити квадратами, довжини сторін яких належать множині {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}, так, щоб жодні два квадрати з однаковою довжиною сторони не дотикалися вздовж відрізка сторони. Зауваження. Квадрати з однаковою довжиною сторони можуть дотикатися у вершині. Не всі довжини сторін від 11 до nn обов’язково мають використовуватися в замощенні.
Розрізання, покриття та замощення
Математичний гурток БеркліBMC-0000-233

Коло, дотичне до сторони і продовжень сторін

Коло дотикається до продовжень сторін CACA і CBCB трикутника ABCABC, а також дотикається до сторони ABAB у точці PP. Доведіть, що радіус кола, дотичного до відрізків APAP, CPCP і кола, описаного навколо трикутника ABCABC, дорівнює радіусу кола, вписаного в трикутник ABCABC.
Гомотерія і подібність
Математичний гурток БеркліBMC-0000-461

Різниці вежі двійок і подільність

Функцію вежі з двійок T(n)T(n) задано рівностями T(1)=2T(1)=2 і T(n+1)=2T(n)T(n+1)=2^{T(n)} для n≥1n \geq 1. Доведіть, що T(n)−T(n−1)T(n)-T(n-1) ділиться на n!n! для n≥2n \geq 2.
Лема про підняття показника (LTE-…
Математичний гурток БеркліBMC-0000-265

Знерухомлення трикутника цвяхами на сторонах

Гострокутний трикутник ABCA B C виготовлено із суцільного металу, і він лежить на дерев'яному столі. Точки PP на стороні ABA B і QQ на стороні ACA C такі, що перпендикуляр до сторони ABA B через PP перетинає перпендикуляр до сторони ACA C через QQ всередині трикутника. У стіл забито цвяхи в точках PP і QQ. (Цвяхи не проходять крізь трикутник, а стоять біля його країв, обмежуючи трикутник.) Доведіть, що існує єдине положення точки RR на стороні BCB C таке, що якщо в стіл забити цвях у точці RR, то трикутник більше не зможе рухатися (у площині столу).
Площа трикутника
Математичний гурток БеркліBMC-0000-398

Пари цілих чисел із сумою n і великим елементом

Нехай S1,S2,S3,…S_{1}, S_{2}, S_{3}, \ldots — множини цілих чисел такі, що жодне ціле число не міститься більш ніж в одній із множин SnS_{n}; кожна множина SnS_{n} має рівно два елементи; а сума елементів множини SnS_{n} дорівнює nn. Доведіть, що існує нескінченно багато значень nn з такою властивістю: один з елементів множини SnS_{n} більший за 13n/713 n / 7.
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Математичний гурток БеркліBMC-0000-296

Чотирикутник, площа якого дорівнює добутку півсум протилежних сторін

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Припустімо, що площа чотирикутника ABCDABCD дорівнює AB+CD2⋅AD+BC2\frac{AB+CD}{2} \cdot \frac{AD+BC}{2} Доведіть, що чотирикутник ABCDABCD — прямокутник.
Симетрія
Математичний гурток БеркліBMC-0000-303

Пари з різницею — степенем числа Ейлера

Нехай AA — множина з 20232023 елементів. Знайдіть найбільшу можливу кількість пар елементів x,y∈Ax, y \in A таких, що x−yx-y є степенем ee.
Системи числення
Математичний гурток БеркліBMC-0000-314

Сто в'язнів та сто скриньок з числами

Припустімо, є 100 в'язнів, кожному з яких дано число від 1 до 100. Також є кімната зі 100 скриньками, пронумерованими від 1 до 100, і 100 папірцями з числами від 1 до 100 на них. Кожен папірець випадковим чином покладено в одну зі 100 скриньок. По одному кожному в'язневі дозволяється зайти до кімнати й відкрити щонайбільше 50 скриньок, щоб побачити числа всередині. Якщо кожен в'язень відкриє скриньку, в якій лежить папірець з його власним числом, їх усіх звільнять. Під час цього процесу їм заборонено будь-яке спілкування, але заздалегідь вони можуть домовитися про стратегію. Покажіть, що існує стратегія, яка дає їм принаймні 30%30\% шанс на перемогу.
Перестановки
Математичний гурток БеркліBMC-0000-316

Вписані чотирикутники в п'ятикутнику у півколі

Нехай AXYZBA X Y Z B — опуклий п'ятикутник, вписаний у півколо з діаметром AB‾\overline{A B}, а KK — основа висоти з YY на AB‾\overline{A B}. Нехай OO — середина AB‾\overline{A B}, а LL — перетин XZ‾\overline{X Z} з YO‾\overline{Y O}. Виберемо точку MM на прямій KLK L таку, що MA=MBM A = M B, і, нарешті, нехай II — точка, симетрична OO відносно XZ‾\overline{X Z}. Доведіть, що якщо чотирикутник XKOZX K O Z є вписаним, то чотирикутник YOMIY O M I також є вписаним.
Радикальна вісь
Математичний гурток БеркліBMC-0000-329

Рівні степеневі вежі з натуральних чисел

З'ясуйте, чи існують натуральні числа a,b,m,na, b, m, n такі, що a≠ba \neq b, m≥2m \geq 2, n≥2n \geq 2, і aa⋯a⏟m=bb⋯b⏟n.\underbrace{a^{a^{\cdots a}}}_{m} = \underbrace{b^{b^{\cdots b}}}_{n}.
Раціональні та ірраціональні числа

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.