Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

11 821 задача
Складністьконкурсний, 6–11
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2000-002

Майже досконалі числа та сума остач

Нехай σ(n)\sigma(n) — сума всіх додатних дільників числа nn, де nn — натуральне число (наприклад, σ(6)=12\sigma(6) = 12 і σ(11)=12\sigma(11) = 12). Будемо казати, що nn — майже досконале, якщо σ(n)=2n−1\sigma(n) = 2n - 1 (наприклад, 4 — майже досконале, оскільки σ(4)=7\sigma(4) = 7). Нехай nmod  kn \mod k — остача від ділення nn на kk і s(n)=∑1≤k≤nnmod  ks(n) = \sum_{1 \le k \le n} n \mod k (наприклад, s(6)=0+0+0+2+1+0=3s(6) = 0 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0 = 3 і s(11)=0+1+2+3+1+5+4+3+2+1+0=22s(11) = 0 + 1 + 2 + 3 + 1 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 22). Доведіть, що nn — майже досконале тоді й лише тоді, коли s(n)=s(n−1)s(n) = s(n-1).
Сума дільників σ(n)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2000-003

Сума із функцією двійкового показника

Нехай f:Z+∗→Z+∗f: \mathbb{Z}_{+}^{*} \rightarrow \mathbb{Z}_{+}^{*} — функція, визначена так: для заданого nn запишемо n=2a⋅(2b+1)n = 2^a \cdot (2b+1), де aa і bb — невід'ємні цілі числа, і покладемо f(n)=a2+a+1f(n) = a^2 + a + 1. Знайдіть найменше натуральне число nn таке, що f(1)+f(2)+⋯+f(n)≥123456f(1) + f(2) + \cdots + f(n) \ge 123456.
Системи числення
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2000-006

Куб, розрізаний усіма серединними площинами

Нехай CC — дерев'яний куб. Для кожної пари (X,Y)(X, Y) вершин куба CC розріжемо куб CC площиною, перпендикулярною до XY‾\overline{XY}, що проходить через його середину. На скільки частин поділено куб?
Розрізання, покриття та замощення
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-1999-002

Подільність суми степенів 1993–1996 на 10

Доведіть, що 19931993+19941994+19951995+199619961993^{1993} + 1994^{1994} + 1995^{1995} + 1996^{1996} ділиться на 1010.
Степені за модулем. Періодичність…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-1999-001

Надлишкове число серед послідовних цілих чисел

Доведіть, що серед будь-яких 12 послідовних натуральних чисел знайдеться принаймні одне число, яке менше за суму своїх власних дільників. (Власними дільниками натурального числа nn називаються всі натуральні числа, відмінні від 1 і nn, які ділять nn. Наприклад, власні дільники числа 14 — це 2 і 7.)
Дільники та кратні (базові власти…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-1999-003

Порівняння відсотків одужання у двох лікарнях

Нехай AA і BB — дві різні лікарні, які лікують однакову кількість пацієнтів протягом року. Кожен пацієнт страждає на одне з двох захворювань: XX або YY. Лікарня AA виліковує більший відсоток своїх пацієнтів, ніж лікарня BB. Чи можливо, що лікарня BB виліковує більший відсоток як XX-пацієнтів, ніж AA, так і YY-пацієнтів, ніж AA?
Числові нерівності
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-1999-005

Гамільтонів шлях у графі куба 3×3×3

Білдерт працює в кабінетику в офісі, що складається з 27 кабінетиків, розташованих у кубі 3×3×33 \times 3 \times 3. Будь-які два кабінетики зі спільною стіною мають з'єднувальні двері в цій стіні; наприклад, кутові кабінетики мають рівно 3 двері, тоді як центральний кабінетик — 6 дверей: по одних дверях у кожній стіні, а також на підлозі та на стелі. Якщо Білдерт починає з центрального кабінетика, чи зможе він відвідати кожен з решти 26 кабінетиків рівно один раз (тобто жодного кабінетика не відвідуючи вдруге)?
Шляхи на графах
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-1999-004

Коло через дві точки на вертикальній прямій

Нехай CC — коло на площині xyx y з центром на осі yy, що проходить через точки A=(0,a)A=(0, a) і B=(0,b)B=(0, b), де 0<a<b0<a<b. Нехай PP — довільна інша точка цього кола, QQ — точка перетину прямої, що проходить через PP та AA, з віссю xx, а O=(0,0)O=(0,0). Доведіть, що ∠BQP=∠BOP\angle B Q P=\angle B O P.
Допоміжне коло (перекидання кутів)
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-1999-006

Пересування келихів за круглим столом

Король Артур і його 100 лицарів бенкетують за круглим столом. Перед кожним стоїть келих із білим або червоним вином. Рівно опівночі кожен пересуває свій келих перед своїм лівим сусідом, якщо в келиху біле вино, або перед своїм правим сусідом, якщо в келиху червоне вино. Відомо, що є принаймні один келих із червоним і принаймні один келих із білим вином. а. Доведіть, що після півночі знайдеться принаймні одна особа, перед якою не буде келиха з вином. б. Якщо леді Ґвіневера, королева, відкличе короля з-за столу до півночі, чи буде й далі правильним висновок частини (а)?
Парність і непарність
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-1999-007

Максимізація суми квадратичних доданків

Нехай a,b,c,d,e,fa, b, c, d, e, f — натуральні числа, кожне з яких не менше від 22, а їхня сума дорівнює SS. Доведіть, що a(a−1)+b(b−1)+c(c−1)+d(d−1)+e(e−1)+f(f−1)≤(S−10)(S−11)+10.a(a-1)+b(b-1)+c(c-1)+d(d-1)+e(e-1)+f(f-1) \leq (S-10)(S-11)+10. Коли досягається рівність?
Нерівності та системи другого сте…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-1999-009

Стоси карток і перетасування за іменами

Скінченну кількість карток розкладено в два стоси, причому в лівому стосі карток більше, ніж у правому. На кожній картці написано одне або кілька різних імен, хоча різні картки можуть мати спільні імена. Для кожного імені визначимо «перетасування»: усі картки, на яких написане це ім'я, перекладаються в протилежний стос. Доведіть, що завжди можна, вибравши кілька різних імен і виконавши по черзі перетасування, що відповідає кожному з них, отримати більше карток у правому стосі, ніж у лівому.
Підрахунок двома способами
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-1999-010

Ірраціональність у рекурентній послідовності

Додатні дійсні числа a1,a2,…,an,…a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots задовольняють співвідношення an+12=an+1a_{n+1}^{2}=a_{n}+1 для всіх n=1,2,…n=1,2, \ldots Доведіть, що принаймні одне з чисел aia_{i} обов'язково ірраціональне.
Раціональні та ірраціональні числа
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-1999-011

Очікувані виграші в грі з перестановками

У грі OO-EE раунд починається з того, що гравець AA платить cc центів гравцеві BB. Потім AA таємно розташовує числа 1,3,5,7,9,11,131, 3, 5, 7, 9, 11, 13 у деякому порядку як послідовність a1,a2,…,a7a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{7}, а BB таємно розташовує числа 2,4,6,8,10,12,142, 4, 6, 8, 10, 12, 14 як послідовність b1,b2,…,b7b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{7}. Нарешті гравці показують свої послідовності, і BB платить AA один цент за кожне ii з X={1,2,3,4,5,6,7}X=\{1,2,3,4,5,6,7\} таке, що ai<bia_{i}<b_{i}. На цьому раунд закінчується. Яке число cc робить гру справедливою? (Гра є справедливою, якщо загальні виплати від AA до BB дорівнюють загальним виплатам від BB до AA після того, як усі можливі різні раунди зіграно рівно по одному разу.)
Перестановки2 розв’язки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1999-001

Площа в зірці правильного п'ятикутника

Нехай ABCDEABCDE — правильний п'ятикутник такий, що зірка ACEBDACEBD має площу 11. Нехай PP — точка перетину діагоналей ACAC і BEBE, а QQ — точка перетину діагоналей BDBD і CECE. Знайдіть площу чотирикутника APQDAPQD.
Розбиття і перекидання площ
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1999-002

Ненульова цифра серед десяткових знаків кореня з двох

Доведіть, що серед цифр з 1 000 000-ї до 3 000 000-ї після коми в десятковому записі числа 2\sqrt{2} є принаймні одна ненульова цифра.
Наближення дійсних чисел і оцінки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1999-004

Діаметрально протилежні міста з обмеженою різницею цін

Планета Зорк сферична, і на ній багато міст. Для кожного міста існує відповідне діаметрально протилежне місто (тобто симетричне відносно центра планети). Міста Зорка сполучені дорогами, які з'єднують пари міст. Якщо існує дорога, що сполучає міста PP і QQ, то існує також дорога, що сполучає міста P′P' і Q′Q', де P′P' — місто, діаметрально протилежне до PP, а Q′Q' — місто, діаметрально протилежне до QQ. Крім того, дороги не перетинаються, і для будь-яких двох міст PP і QQ можна дістатися з PP до QQ за допомогою деякої послідовності доріг. Ціни на криптоніт в ургах (планетній валюті) у двох містах, сполучених дорогою, відрізняються не більш ніж на 100 ургів. Доведіть, що існують два діаметрально протилежні міста, в яких ціни на криптоніт відрізняються не більш ніж на 100 ургів.
Зв’язність
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1999-005

Мінімальна кількість неділь кругового турніру

У Тумболії є nn футбольних команд. Треба організувати чемпіонат, у якому кожна команда грає з кожною іншою рівно один раз. Кожен матч відбувається в неділю, і жодна команда не може грати більше одного разу за день. Знайдіть найменше ціле mm, для якого можливо організувати чемпіонат тривалістю mm неділь.
Оптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1998-001

Множина попарно взаємно простих чисел містить просте

15 натуральних чисел, більших за 11 і менших за 19981998, попарно взаємно прості (жодна пара не має спільного дільника, більшого за 11). Доведіть, що принаймні одне з них має бути простим.
Прості числа (базові властивості)
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1998-002

Трикутник з рівністю кутів і відношенням на стороні

ABCABC — трикутник. DD — середина сторони ABAB, EE — точка на стороні BCBC така, що BE=2ECBE = 2EC і ∠ADC=∠BAE\angle ADC = \angle BAE. Знайдіть ∠BAC\angle BAC.
Паралельні прямі і теорема Фалеса
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1998-004

Квадратне рівняння з переставленими цілими коефіцієнтами

Двоє гравців грають у таку гру. Перший гравець вибирає два ненульові цілі числа AA і BB. Другий гравець утворює квадратне рівняння з AA, BB і 19981998 як коефіцієнтами (у довільному порядку). Перший гравець виграє тоді й лише тоді, коли рівняння має два різні раціональні корені. Доведіть, що перший гравець завжди може виграти.
Теорема Вієта
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1997-001

Оцінки діаметра множин з різними попарними сумами

AA — множина з nn невід'ємних цілих чисел. Кажемо, що вона має властивість PP, якщо множина {x+y∣x,y∈A}\{x + y \mid x, y \in A\} має n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} елементів. Різницю між найбільшим і найменшим елементами множини AA називаємо діаметром множини AA. Нехай f(n)f(n) — найменший можливий діаметр множини AA з властивістю PP. Доведіть, що n24≤f(n)<n3\frac{n^2}{4} \le f(n) < n^3. (Якщо залишиться час, спробуйте покращити ці оцінки. Наприклад, спробуйте довести, що f(p)<2p2f(p) < 2p^2 для всіх простих pp.)
Конструкція за індукцією
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1996-001

Симетричне діофантове рівняння з трьома змінними

Доведіть, що рівняння x2+y2+z2=3xyzx^2 + y^2 + z^2 = 3xyz має нескінченно багато розв'язків у натуральних числах.
Стрибки Вієта
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1996-003

Подання числа одиницями за допомогою додавання і множення

Нехай f(n)f(n) — найменша кількість цифр 11, потрібна для подання натурального числа nn з використанням лише цифр 11, знаків ++, знаків ×\times і дужок. Наприклад, число 8080 можна подати за допомогою 1313 цифр 11 так: (1+1+1+1+1)×(1+1+1+1)×(1+1+1+1)(1+1+1+1+1) \times (1+1+1+1) \times (1+1+1+1). Доведіть, що 3log⁡3n≤f(n)≤5log⁡3n3\log_3 n \le f(n) \le 5\log_3 n для n>1n > 1.
Метод математичної індукції
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1995-001

Чотирикутник, у якого збігаються дві з трьох особливих точок

ABCDABCD — чотирикутник з центром описаного кола OO і центром вписаного кола II. Діагоналі перетинаються в точці SS. Доведіть, що якщо дві з точок OO, II, SS збігаються, то чотирикутник обов'язково є квадратом.
Описане коло
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1995-006

Незалежна множина в системі трійок

Нехай XX — множина з nn елементів. F\mathcal{F} — сім'я підмножин множини XX, кожна з яких має три елементи, причому будь-які дві з цих підмножин мають не більше одного спільного елемента. Доведіть, що існує підмножина множини XX з принаймні ⌊2n⌋\lfloor\sqrt{2n}\rfloor елементами, яка не містить жодної множини із сім'ї F\mathcal{F}.
Принцип Діріхле (скінченні множин…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.