Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

10 651 задача
11 клас
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-040

Многочлени з неперетинними множинами значень за модулем

Для простого числа pp та многочлена ff з цілими коефіцієнтами визначимо Im(p,f)\text{Im}(p, f) як множину цілих чисел a∈{0,1,…,p−1}a \in \{0, 1, \dots, p-1\} таких, що існує ціле число xx, для якого f(x)−af(x) - a ділиться на pp. Доведіть, що існують несталі многочлени ff і gg такі, що для нескінченно багатьох простих чисел перетин Im(p,f)\text{Im}(p, f) і Im(p,g)\text{Im}(p, g) порожній.
10–11 класиТеорема Ферма-Ейлера про суму дво…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-014

Відстань між центром описаного кола та інцентром

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, у якому ∣AB∣>∣AC∣|AB| > |AC|. Внутрішня бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає BCBC у точці DD. Нехай OO — центр описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC. Нехай пряма AOAO перетинає відрізок BCBC у точці EE. Нехай JJ — інцентр трикутника △AED\triangle AED. Доведіть, що якщо ∠ADO=45∘\angle ADO = 45^\circ, то ∣OJ∣=∣JD∣|OJ| = |JD|.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-003

Монотонна функція з кубічним рівнянням

Знайдіть усі монотонні (не обов’язково строго монотонні) функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, для яких f(x+y)3=f(x3)+f(y3) для всіх x,y∈R.f(x+y)^3 = f(x^3) + f(y^3) \text{ для всіх } x, y \in \mathbb{R}.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-004

Рекурентні множини та оцінки їх потужностей

Для множин SS і TT, що складаються з додатних дійсних чисел, визначимо S+T={s+t∣s∈S,t∈T}S + T = \{s + t \mid s \in S, t \in T\} і 1S={1s∣s∈S}\frac{1}{S} = \{\frac{1}{s} \mid s \in S\}. Визначимо множини A1,A2,A3,…A_1, A_2, A_3, \dots рекурентно як A1={1}A_1 = \{1\} і An=⋃i=1n−1((Ai+An−i)∪(11Ai+1An−i))A_n = \bigcup_{i=1}^{n-1} \left( (A_i + A_{n-i}) \cup \left( \frac{1}{\frac{1}{A_i} + \frac{1}{A_{n-i}}} \right) \right) для всіх цілих n≥2n \ge 2. Доведіть, що для всіх цілих n≥1n \ge 1 виконується 2n−1≤∣An∣≤8n.2^{n-1} \le |A_n| \le 8^n.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-041

Хороші числа зі зображовними дільниками

Для цілих чисел aa і n>0n > 0 кажемо, що aa є n-зображовним, якщо його можна записати як суму різних додатних дільників числа nn. Натуральне число nn називається хорошим, якщо з того, що aa є n-зображовним, випливає, що a−1a-1 є n-зображовним, для всіх a≥1a \ge 1. Визначте, для яких nn обидва числа n!n! і nnn^n є хорошими.
10–11 класиСума дільників σ(n)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-015

Паралелограм із побудови в рівнобедреному трикутнику

Нехай △ABC\triangle ABC — рівнобедрений трикутник, у якому ∣AB∣=∣AC∣|AB| = |AC|. Нехай DD — довільна точка на відрізку BCBC. Нехай XX і YY — точки на сторонах ABAB і ACAC відповідно, такі, що пряма XYXY не паралельна стороні BCBC і проходить через середину відрізка ADAD. Доведіть, що якщо центр описаного кола трикутника △ABC\triangle ABC лежить на ⊙(AXY)\odot(AXY), то чотирикутник AYDXAYDX є паралелограмом.
10–11 класиОписане коло
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-029

Погоня за крадієм за найбільшими простими дільниками

У країні Фленсбург є одна нескінченно довга вулиця з будинками, пронумерованими 2,3,…2, 3, \ldots Поліція Фленсбурга намагається спіймати крадія, який щодня переміщується з будинку, де він зараз переховується, до одного із сусідніх будинків. Щоб подражнити місцевих правоохоронців, крадій щодня повідомляє найбільший простий дільник номера будинку, до якого він переміститься. Щонеділі поліція може обшукати один будинок, і вона ловить крадія, якщо обшукує будинок, у якому він саме перебуває. Визначте, чи зможе крадій утікати від поліції нескінченно довго, чи поліція має стратегію, щоб спіймати крадія за скінченний час.
10–11 класиПрості числа (базові властивості)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-005

Фленсбурзька властивість для системи многочленів

Назвемо систему рівнянь у дійсних числах зі змінними x1,…,xm∈Rx_1, \dots, x_m \in \mathbb{R} фленсбурзькою, якщо існує таке i∈{1,…,m}i \in \{1, \dots, m\}, що кожний розв'язок системи рівнянь, у якому всі змінні попарно різні, задовольняє xi>xjx_i > x_j для всіх j≠ij \ne i. Визначте, для яких натуральних чисел n≥1n \ge 1 наведена нижче система з двох рівнянь an+b=a і cn+1+b2=aba^n + b = a \text{ і } c^{n+1} + b^2 = ab з трьома дійсними змінними a,b,ca, b, c є фленсбурзькою.
10–11 класиЧислові нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-030

Ґратковий многокутник з рівними площею і периметром

Знайдіть найменше натуральне число nn, для якого можна накреслити nn-кутник уздовж ліній квадратної решітки так, щоб його периметр дорівнював nn, а площа дорівнювала nn. При цьому межа nn-кутника не може проходити через жодну точку більше ніж один раз.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-042

Обернені за модулем простого числа і знакозмінна сума

Нехай pp — непарне просте число. Нехай a1,a2,…,ap−1a_1, a_2, \dots, a_{p-1} — цілі числа такі, що i⋅ai≡1(modp)i \cdot a_i \equiv 1 \pmod{p} для всіх i=1,2,…,p−1i = 1, 2, \dots, p-1. Доведіть, що 2p−2≡p(a1−a2+⋯+ap−2−ap−1)(modp2).2^p - 2 \equiv p(a_1 - a_2 + \dots + a_{p-2} - a_{p-1}) \pmod{p^2}.
10–11 класиФакторизація біноміальних коефіці…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-016

Ортоцентр і проєкція інцентра на сторону

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, у якому ∣AB∣<∣AC∣|AB| < |AC|, а II — інцентр. Нехай DD — проєкція II на сторону BCBC. Нехай HH — ортоцентр △ABC\triangle ABC. Доведіть, що якщо ∠IDH=∠CBA−∠ACB\angle IDH = \angle CBA - \angle ACB, то ∣AH∣=2⋅∣ID∣|AH| = 2 \cdot |ID|.
10–11 класиТочка перетину висот
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-043

Добуток кількості дільників та функції Ейлера

Нехай δ(n)\delta(n) позначає кількість додатних дільників числа nn, а ϕ(n)\phi(n) — кількість невід'ємних цілих чисел, менших за nn і взаємно простих з nn. Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що δ(n)⋅ϕ(n)=n\delta(n) \cdot \phi(n) = n.
10–11 класиФункція Ейлера φ(n)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-006

Мінімізація суми за циклічної умови на добуток

Нехай nn — натуральне число, x1,…,xnx_1, \dots, x_n і y1,…,yny_1, \dots, y_n — додатні дійсні числа, що задовольняють умови xn=nx_n = n і yiyi+1≥1y_i y_{i+1} \ge 1 при 1≤i<n1 \le i < n та yny1≥1y_n y_1 \ge 1. Крім того, нехай x0=0x_0 = 0. Визначте найменше можливе значення виразу ∑i=1n(xi−xi−1)2+yi.\sum_{i=1}^{n} \sqrt{(x_i - x_{i-1})^2 + y_i}.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-031

Розрізання трикутника на рівні трикутники

Визначте, чи існує трикутник, який можна розрізати на 101 рівний трикутник.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-017

Колінеарність основ висот трикутників із вершинами в точках дотику

У трикутнику △ABC\triangle ABC нехай вписане коло дотикається до сторін BCBC, CACA, ABAB у точках DD, EE, FF відповідно, а зовнівписане коло, протилежне до AA, дотикається до сторін BCBC, CACA, ABAB у точках PP, QQ, RR відповідно. Нехай EXEX і FYFY — висоти в трикутнику △DEF\triangle DEF, а QZQZ і RWRW — висоти в трикутнику △PQR\triangle PQR. Доведіть, що точки XX, YY, ZZ, WW лежать на одній прямій.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-032

Точки на колі зі зміною кольорів

На колі позначено декілька точок. Кожна позначена точка пофарбована в червоний, зелений або синій колір. За один хід можна стерти дві позначені точки різних кольорів, між якими немає позначених точок, і позначити нову точку між місцями стертих точок третім кольором. У кінцевому стані всі позначені точки мають однаковий колір, який називається кольором кінцевого стану. Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує початковий стан з nn позначених точок з одним відсутнім кольором, з якого можна досягти кінцевого стану будь-якого з трьох кольорів, застосувавши відповідну послідовність ходів.
10–11 класиПарність і непарність2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-044

Рівність суми цифр степеня

Пару натуральних чисел (a,b)(a, b) назвемо морквяною, якщо S(ab+1)=abS(a^{b+1}) = a^b, де S(m)S(m) — сума цифр числа mm. Знайдіть усі морквяні пари (a,b)(a, b).
10–11 класиМетод оцінок, що веде до малого п…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-018

Центроїд, центри описаних кіл і перетин перпендикулярів

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник з центроїдом GG. Нехай DD, EE і FF — центри описаних кіл △BCG\triangle BCG, △CAG\triangle CAG і △ABG\triangle ABG відповідно. Точка XX визначена як перетин перпендикулярів, опущених з EE на пряму ABAB і з FF на пряму ACAC. Доведіть, що пряма DXDX ділить відрізок EFEF навпіл.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола3 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-033

Кількість слів і подільність на степені трійки

Нехай kk — невід'ємне ціле число, а AA — непорожня скінченна множина. Визначимо слово довжини kk в алфавіті AA як послідовність елементів AA довжини kk. (Зауважимо, що за означенням порожня послідовність є словом довжини 00.) Нехай BB — множина всіх слів у дев'ятиелементному алфавіті {b,@,l,t,i,c,w,a,y}\{b, @, l, t, i, c, w, a, y\}, довжини яких не перевищують 20232023. Крім того, нехай MM — множина всіх слів у чотириелементному алфавіті {m,a,t,h}\{m, a, t, h\}, довжини яких не перевищують 20252025 і які містять елемент tt рівно двічі. (Наприклад, tata∈Mtata \in M, бо воно має довжину 44 і містить літеру tt двічі, але mahatma∉Mmahatma \notin M, бо воно містить літеру tt лише один раз.) Доведіть, що різниця ∣B∣−∣M∣|B| - |M| ділиться на 320233^{2023}.
10–11 класиРекурентний підрахунок3 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-007

Оптимальна стала в нерівності для середніх

Знайдіть найменше додатне дійсне число α\alpha таке, що x+y2≥αxy+(1−α)x2+y22\frac{x+y}{2} \geq \alpha\sqrt{xy} + (1-\alpha)\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}} для всіх додатних дійсних чисел xx і yy.
10–11 класиЧислові нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-045

Різниця добутків за модулем простого числа

Нехай p>7p > 7 — просте число, а A⊆{0,1,…,p−1}A \subseteq \{0, 1, \dots, p-1\} — множина, що містить принаймні p−12\frac{p-1}{2} елементів. Доведіть, що для кожного цілого rr існують елементи a,b,c,d∈Aa, b, c, d \in A такі, що ab−cd≡r(modp).ab - cd \equiv r \pmod{p}.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-019

Три прямі через одну точку в трикутнику із серединними перпендикулярами

У гострокутному трикутнику △ABC\triangle ABC з ∣AB∣≠∣AC∣|AB| \neq |AC| серединні перпендикуляри до сторін ACAC і ABAB перетинають відрізок BCBC у точках DD і EE відповідно. Дотичні до ⊙(ABC)\odot(ABC) у точках BB і CC перетинають ⊙(ABD)\odot(ABD) і ⊙(ACE)\odot(ACE) у точках YY і ZZ відповідно. Припустимо, що прямі YDYD і ZEZE перетинаються в точці XX. Нехай UU і VV — точки перетину ⊙(DEX)\odot(DEX) з прямими ADAD і AEAE відповідно. Доведіть, що прямі UV,BCUV, BC і XAXA перетинаються в одній точці.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-008

Функціональне рівняння на множині без нуля й одиниці

Нехай D:=R∖{0,1}D := \mathbb{R} \setminus \{0,1\}. Знайдіть усі функції f:D→Df:D \rightarrow D, які для будь-яких x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}, для яких x,xy∈Dx, xy \in D, задовольняють рівняння f(f(xy))=1−1yf(f(f(x)))f(f(xy)) = 1 - \frac{1}{y f(f(f(x)))}
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-020

Коло через середину бісектриси

У гострокутному трикутнику △ABC\triangle ABC з ∣AB∣≠∣AC∣|AB| \neq |AC| бісектриса кута ∠BAC\angle BAC перетинає сторону BCBC та ⊙(ABC)\odot(ABC) у точках DD і MAM_A відповідно. Нехай точки XX і YY — основи перпендикулярів з MAM_A на сторони ABAB і ACAC відповідно. Дотична до ⊙(BXMA)\odot(BXM_A) у точці XX і дотична до ⊙(CYMA)\odot(CYM_A) у точці YY перетинаються в точці TT. Припустимо, що прямі ATAT і BCBC перетинаються в точці SS. Доведіть, що ⊙(TSMA)\odot(TSM_A) проходить через середину відрізка ADAD.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-046

Сума цифр степеневої вежі з двійок і показника 2023

Доведіть, що сума десяткових цифр числа 22220232^{2^{2^{2023}}} більша за 20232023.
10–11 класиМіркування за модулем

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.