Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

10 651 задача
11 клас
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-050

Рівнокутний шестикутник з колом, що перетинає сторони

Рівнокутний шестикутник має довжини сторін 1,1,a,1,1,a1, 1, a, 1, 1, a у такому порядку. Якщо існує коло, яке перетинає шестикутник у 12 різних точках, то M<a<NM < a < N для деяких дійсних чисел MM і NN. Знайдіть найменше можливе значення відношення NM\frac{N}{M}.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-041

Мінімальний модуль з кубічними коренями з одиниці

Нехай a,b,ca, b, c — цілі числа, для яких abc=60a b c = 60, а комплексне число ω≠1\omega \neq 1 задовольняє умову ω3=1\omega^{3} = 1. Знайдіть найменше можливе значення ∣a+bω+cω2∣\left| a + b \omega + c \omega^{2} \right|.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-010

Факторіально-рекурентна послідовність, що перевищує межу

Визначимо послідовність {an}\{a_{n}\} умовами a1=1a_{1}=1 і an=(an−1)!+1a_{n}=(a_{n-1})!+1 для кожного n>1n>1. Знайдіть найменше nn, для якого an>1010a_{n}>10^{10}.
10–11 класиЧислові нерівності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-061

Підрахунок входжень 012 у послідовних трійкових записах

Кожне з цілих чисел 1,2,…,7291,2, \ldots, 729 записане у трійковій системі числення без початкових нулів. Потім ці числа в указаному порядку дописують одне за одним, утворюючи неперервний рядок цифр: 12101112202122…12101112202122 \ldots. Скільки разів у цьому рядку трапляється підрядок 012?
10–11 класиСистеми числення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-005

Цілочисельні розв'язки лінійного рівняння

Знайдіть кількість упорядкованих трійок натуральних чисел (a,b,c)(a, b, c), для яких виконується рівність 6a+10b+15c=30006 a + 10 b + 15 c = 3000
10–11 класиЛінійні діофантові рівняння
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-051

Шлях жабки з двійковими стрибками

Жабка Ашвін подорожує площиною xyxy серією з 22017−12^{2017}-1 кроків, починаючи з початку координат. На nn-му кроці, якщо nn непарне, то Ашвін стрибає на одну одиницю праворуч. Якщо nn парне, то Ашвін стрибає на mm одиниць вгору, де mm — найбільше ціле число таке, що 2m2^{m} ділить nn. Якщо Ашвін починає з початку координат, чому дорівнює площа многокутника, обмеженого шляхом Ашвіна, прямою x=22016x=2^{2016} і віссю xx?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-046

Сума за впорядкованими трійками з фіксованим добутком

Одного разу Жабчик Кельвін так нудьгував на уроці математики, що записав на аркуші паперу всі впорядковані трійки (a,b,c)(a, b, c) натуральних чисел, які задовольняють умову abc=2310a b c = 2310. Знайдіть суму всіх чисел, які він записав. Іншими словами, обчисліть ∑abc=2310a,b,c∈N(a+b+c)\sum_{\substack{a b c = 2310 \\ a, b, c \in \mathbb{N}}} (a + b + c) де N\mathbb{N} позначає множину натуральних чисел.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-056

Радіуси описаних кіл у чотирикутнику з вписаним колом

Нехай ABCDABCD — чотирикутник з вписаним колом ω\omega, а PP — точка перетину його діагоналей ACAC і BDBD. Нехай R1,R2,R3,R4R_{1}, R_{2}, R_{3}, R_{4} — радіуси описаних кіл трикутників APBAPB, BPCBPC, CPDCPD, DPADPA відповідно. Якщо R1=31R_{1}=31, R2=24R_{2}=24 і R3=12R_{3}=12, знайдіть R4R_{4}.
10–11 класиВписане коло
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-005

Наближені гомоморфізми на гіперкубі

Нехай SS — множина {−1,1}n\{-1,1\}^n, тобто nn-ок, кожна координата яких дорівнює −1-1 або 11. Для s=(s1,s2,…,sn), t=(t1,t2,…,tn)∈{−1,1}ns = (s_1, s_2, \ldots, s_n),\ t = (t_1, t_2, \ldots, t_n) \in \{-1,1\}^n означимо s⊙t=(s1t1,s2t2,…,sntn)s \odot t = (s_1 t_1, s_2 t_2, \ldots, s_n t_n). Нехай cc — додатна стала, а f:S→{−1,1}f: S \rightarrow \{-1,1\} — функція така, що існує принаймні (1−c)⋅22n(1-c) \cdot 2^{2n} пар (s,t)(s, t) з s,t∈Ss, t \in S, для яких f(s⊙t)=f(s)f(t)f(s \odot t) = f(s) f(t). Доведіть, що існує функція f′f' така, що f′(s⊙t)=f′(s)f′(t)f'(s \odot t) = f'(s) f'(t) для всіх s,t∈Ss, t \in S і f(s)=f′(s)f(s) = f'(s) принаймні для (1−10c)⋅2n(1-10c) \cdot 2^n значень s∈Ss \in S.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-036

Висоти трикутника і колінеарність точок A, T, O

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник. Висоти BEBE і CFCF перетинаються в ортоцентрі HH, а точкою OO позначено центр описаного кола. Точку PP вибрано так, що ∠APH=∠OPE=90∘\angle APH = \angle OPE = 90^{\circ}, а точку QQ вибрано так, що ∠AQH=∠OQF=90∘\angle AQH = \angle OQF = 90^{\circ}. Прямі EPEP і FQFQ перетинаються в точці TT. Доведіть, що точки A,T,OA, T, O лежать на одній прямій.
10–11 класиРадикальна вісь
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-065

Випадкове блукання з відбивною межею

Емілі починає з порожнього відра. Щосекунди вона або кладе камінець у відро, або виймає камінець з відра, причому кожна з дій відбувається з ймовірністю 12\frac{1}{2}. Якщо вона збирається вийняти камінець з відра, а відро в цей момент порожнє, то вона просто нічого не робить протягом цієї секунди (так само з ймовірністю 12\frac{1}{2}). Яка ймовірність того, що після 2017 секунд у її відрі буде рівно 1337 камінців?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-037

Цикли в графах без коротких циклів

Нехай rr — натуральне число. Доведіть, що якщо граф GG не має циклів довжини не більше ніж 2r2r, то він має не більше ніж ∣V∣2016|V|^{2016} циклів довжини рівно 2016r2016r, де ∣V∣|V| позначає кількість вершин графа GG.
10–11 класиШляхи на графах
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-011

Випадкові обміни капелюхами та перестановки

Лунаса, Мерлін і Ліріка мають по одному капелюху, усі капелюхи різні. Щодня двоє з цих трьох людей, вибрані випадковим чином, обмінюються капелюхами. Яка ймовірність того, що через 2017 днів у кожної людини знову буде свій капелюх?
10–11 класиПарність і непарність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-042

Цілі числа з рівністю вкладених коренів

Натуральне число nn називається магічним, якщо ⌊⌈n⌉⌋=⌈⌊n⌋⌉,\lfloor\sqrt{\lceil\sqrt{n}\rceil}\rfloor=\lceil\sqrt{\lfloor\sqrt{n}\rfloor}\rceil, де ⌊⋅⌋\lfloor\cdot\rfloor і ⌈⋅⌉\lceil\cdot\rceil позначають нижню та верхню цілі частини відповідно. Знайдіть кількість магічних чисел від 1 до 10000 включно.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-047

Значення інтерполяційного многочлена високого степеня

Многочлен PP степеня 20152015 задовольняє рівняння P(n)=1n2P(n)=\frac{1}{n^{2}} для n=1,2,…,2016n=1,2, \ldots, 2016. Знайдіть ⌊2017P(2017)⌋\lfloor 2017 P(2017)\rfloor.
10–11 класиІнтерполяційні многочлени
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-057

Площа п'ятикутника з побудовою на описаному колі

В опуклому чотирикутнику ABCDA B C D маємо AB=15A B=15, BC=16B C=16, CD=12C D=12, DA=25D A=25 і BD=20B D=20. Нехай MM і γ\gamma позначають центр описаного кола та описане коло трикутника △ABD\triangle A B D. Пряма CBC B перетинає γ\gamma удруге в точці FF, пряма AFA F перетинає MCM C у точці GG, а пряма GDG D перетинає γ\gamma удруге в точці EE. Знайдіть площу п'ятикутника ABCDEA B C D E.
10–11 класиПроєктивна геометрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-062

Підрахунок послідовностей ДНК з обмеженнями на сусідство

Ртея — далека планета, на якій живуть істоти, чия ДНК складається з двох (розрізнюваних) ланцюгів основ із фіксованою орієнтацією. Кожна основа — це одна з літер HH, MM, NN, TT, а кожен ланцюг складається з послідовності з п'яти основ, так що утворюється п'ять пар. Через хімічні властивості основ кожна пара має складатися з різних основ. Також основи HH і MM не можуть стояти поруч на тому самому ланцюгу; те саме стосується NN і TT. Скільки можливих послідовностей ДНК існує на Ртеї?
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-052

Розбиття п'ятивимірного простору гіперплощинами

Розглянемо п'ятивимірний декартів простір R5={(x1,x2,x3,x4,x5)∣xi∈R}\mathbb{R}^{5}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right) \mid x_{i} \in \mathbb{R}\right\} і гіперплощини, задані такими рівняннями: - xi=xjx_{i}=x_{j} для всіх 1≤i<j≤51 \leq i<j \leq 5; - x1+x2+x3+x4+x5=−1x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=-1; - x1+x2+x3+x4+x5=0x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=0; - x1+x2+x3+x4+x5=1x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=1. На скільки областей ці гіперплощини ділять R5\mathbb{R}^{5}?
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-006

Довжини відрізків у чотирикутнику середин

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, у якого AC=7AC = 7 і BD=17BD = 17. Нехай M,P,N,QM, P, N, Q — середини сторін ABAB, BCBC, CDCD, DADA відповідно. Обчисліть MN2+PQ2MN^{2} + PQ^{2}.
10–11 класиПаралельні прямі і теорема Фалеса
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-012

Знакозмінна сума послідовних квадратів

Обчисліть 1002+992−982−972+962+952−942−932+…+42+32−22−12100^{2}+99^{2}-98^{2}-97^{2}+96^{2}+95^{2}-94^{2}-93^{2}+\ldots+4^{2}+3^{2}-2^{2}-1^{2}
10–11 класиРозкладання на множники і розкрит…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-038

Ряди трикутника Паскаля за модулем простого числа

Нехай pp — просте число. Повною системою лишків за модулем pp називають множину, що містить щонайменше один елемент, конгруентний до k(modp)k \pmod{p}, для кожного kk. а. Доведіть, що існує таке nn, що nn-й рядок трикутника Паскаля утворює повну систему лишків за модулем pp. б. Доведіть, що існує таке n≤p2n \leq p^{2}, що nn-й рядок трикутника Паскаля утворює повну систему лишків за модулем pp.
10–11 класиФакторизація біноміальних коефіці…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-063

Середнє значення квадратів сум цифр у сімковій системі

На дошці незнайомець виписує значення s7(n)2s_{7}(n)^{2} для n=0,1,…,720−1n=0,1, \ldots, 7^{20}-1, де s7(n)s_{7}(n) позначає суму цифр числа nn у системі числення з основою 77. Обчисліть середнє значення всіх чисел на дошці.
10–11 класиСистеми числення2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-043

Ітераційне зрізання вершин куба

У Рейму є дерев'яний куб. На кожному кроці вона утворює новий многогранник із попереднього, зрізуючи з кожної вершини многогранника піраміду площиною через точки на кожному прилеглому ребрі, які ділять його на три рівні частини і розташовані ближче до цієї вершини. Наприклад, многогранник після першого кроку має шість восьмикутних граней і вісім рівносторонніх трикутних граней. Скільки граней має многогранник після п'ятого кроку?
10–11 класиПланарні графи
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-058

Радіус описаного кола: дотичні кола та відношення

Нехай ω\omega і Γ\Gamma — кола, причому ω\omega внутрішньо дотикається до кола Γ\Gamma у точці PP. Нехай ABAB — хорда кола Γ\Gamma, яка дотикається до кола ω\omega у точці QQ. Нехай R≠PR \neq P — друга точка перетину прямої PQPQ з колом Γ\Gamma. Якщо радіус кола Γ\Gamma дорівнює 1717, радіус кола ω\omega дорівнює 77 і AQBQ=3\frac{AQ}{BQ} = 3, знайдіть радіус описаного кола трикутника AQRAQR.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-048

Найбільша стала у нерівності з сумою квадратичних виразів

Знайдіть найбільше дійсне число cc таке, що для довільних 20172017 дійсних чисел x1,x2,…,x2017x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2017} виконується нерівність ∑i=12016xi(xi+xi+1)≥c⋅x20172\sum_{i=1}^{2016} x_{i}\left(x_{i}+x_{i+1}\right) \geq c \cdot x_{2017}^{2}
10–11 класиНерівності та системи другого сте…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.