Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

10 651 задача
11 клас
Київський турнір математичних боївKMB-21-22-124

Середина дуги BC і рівність відрізків NK та NL

У трикутнику ABCABC позначимо через ω\omega описане коло, а через OO — його центр. Нехай точка MM — середина дуги BCBC кола ω\omega, що не містить вершину AA. Прямі, які проходять через точку OO паралельно прямим MBMB та MCMC, перетинають сторони ABAB та ACAC у точках KK та LL відповідно. Пряма, що проходить через вершину AA перпендикулярно до сторони BCBC, перетинає коло ω\omega у точці NN. Доведіть, що NK=NLNK = NL.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-097

Сума радіусів дотичних кіл у куті 120°

На площині задано точки AA, BB, CC, для яких справджується умова ∠ACB=120∘\angle ACB = 120^\circ. Розглянемо таку послідовність кіл w0w_0, w1w_1, w2w_2, …\ldots з радіусами r0>r1>r2>…r_0 > r_1 > r_2 > \ldots відповідно, у якій кожне коло дотикається до кожного з відрізків CACA та CBCB. Знайдіть суму радіусів r0+r1+r2+…r_0 + r_1 + r_2 + \ldots, якщо при цьому ∀i\forall i коло wiw_i дотикається до кола wi+1w_{i+1}, а r0=3r_0 = 3.
10–11 класиКола, що дотикаються
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-098

Найбільша стала M у нерівності з a³, b³, c³

Знайдіть найбільше можливе число MM, якщо для довільних додатних чисел aa, bb, cc справджується нерівність a3+b3+c3−3abc⩾M(ab2+bc2+ca2−3abc).a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \geqslant M(ab^2 + bc^2 + ca^2 - 3abc).
10–11 класиНерівність Коші
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-099

Три рівнокількісні частини множини 1 … n із середнім

Скільки існує натуральних чисел n⩽2022n \leqslant 2022, для яких множину M={1,2,…,n}M = \{1, 2, \ldots, n\} можна поділити на три множини AA, BB, CC: A∪B∪C=MA \cup B \cup C = M, A∩B=∅A \cap B = \varnothing, A∩C=∅A \cap C = \varnothing, C∩B=∅C \cap B = \varnothing, якщо кожна з множин AA, BB, CC містить однакову кількість елементів та як елемент середнє арифметичне всіх своїх елементів?
10–11 класиПарність та непарність
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-100

Найбільша кількість цікавих чисел серед шести послідовних

Назвемо натуральне число цікавим, якщо сума його цифр — просте число. Яка найбільша кількість цікавих чисел може бути серед шести послідовних натуральних чисел?
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-101

Ціла частина степеня суми кубічних коренів

Знайдіть значення виразу [(5−23+5+23)2020]\left[\left(\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}+\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}\right)^{2020}\right].
10–11 класиПеретворення ірраціональних вираз…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-102

Відношення сторін трикутника при перпендикулярності IM до AB

Нехай точки II та MM — відповідно центр вписаного кола та точка перетину медіан різностороннього трикутника ABCABC. Чому дорівнює відношення AC+BCAB\dfrac{AC + BC}{AB}, якщо AB⊥IMAB \perp IM?
10–11 класиТочка перетину медіан
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-103

Три поділи футболістів на команди та супротивники

2222 футболісти зіграли три тренувальні гри, поділяючись щоразу на дві команди по 1111 гравців. Доведіть, що якісь два футболісти всі три гри були супротивниками.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-104

Графіки квадратного тричлена і похідної та кількість коренів

Графіки квадратного тричлена та його похідної розбивають координатну площину на чотири частини. Скільки коренів має цей квадратний тричлен?
10–11 класиКвадратні рівняння та системи
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-105

Збіжність і границя послідовності з параметром k

Число k∈(12,1)k \in \left(\dfrac{1}{2}, 1\right), а число a1>0a_1 > 0. Послідовність чисел (an)(a_n) задано таким чином: an+1=kan+1−kana_{n+1} = ka_n + \dfrac{1-k}{a_n}. Доведіть, що вона збіжна, та знайдіть її границю.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-106

Середини хорд кола, дотичні і рівність добутків

Нехай точки PP та QQ — середини двох непаралельних хорд кола ω\omega. Дотичні до цього кола, що проведені в кінцях першої хорди, перетинаються в точці AA, а ті, що проведені в кінцях другої хорди, — у точці BB. Точка RR симетрична ортоцентру трикутника APBAPB відносно прямої ABAB. Основи перпендикулярів, опущених із точки RR на прямі APAP, BPBP, AQAQ, BQBQ, позначимо через R1,R2,R3,R4R_1, R_2, R_3, R_4 відповідно. Доведіть, що справджується рівність AR1PR1⋅PR2BR2=AR3QR3⋅QR4BR4.\frac{AR_1}{PR_1} \cdot \frac{PR_2}{BR_2} = \frac{AR_3}{QR_3} \cdot \frac{QR_4}{BR_4}.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-107

Нерівність з сумами дробів і коренів при добутку 1

Для будь-яких таких додатних чисел aa, bb, cc, dd, ee, що abcde=1abcde = 1, доведіть нерівність ab+bc+cd+de+ea⩾a+b+c+d+e.\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{e} + \frac{e}{a} \geqslant \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + \sqrt{d} + \sqrt{e}.
10–11 класиНерівність Коші
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-108

Функціональне рівняння з x² і f(x + 1)

Знайдіть усі такі функції f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, для яких при всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} справджується рівність f(f(y)+x2+1)+2x=y+(f(x+1))2.f(f(y) + x^2 + 1) + 2x = y + (f(x + 1))^2.
10–11 класиФункціональне рівняння Коші та сп…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-109

Трикутник ABC та точки T і S на дотичних

Точка OO — центр описаного кола ω\omega гострокутного трикутника ABCABC. Проведено коло із центром у точці OO, що дотикається до сторони BCBC трикутника. Дотичні, проведені до цього кола з точки AA, перетинаються зі стороною BCBC у точках XX, YY, причому точки XX, BB лежать по один бік від прямої AOAO. Пряма, проведена через точку XX паралельно стороні ACAC, перетинається в точці TT з дотичною, проведеною до кола ω\omega з точки BB. Аналогічно пряма, проведена через точку YY паралельно стороні ABAB, перетинається в точці SS із дотичною до кола ω\omega з точки CC. Доведіть, що пряма TSTS — дотична до кола ω\omega.
10–11 класиДотична кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-110

Найменша кількість мишей, що добігли до нірок

Маємо n⩾4n \geqslant 4 мишачих нірок, жодні дві з яких не лежать на одній прямій та всі попарні відстані між нірками — різні. Миші грають у таку гру. Вони по черзі вибігають зі своєї нірки та біжать строго по прямій до нірки, яка знаходиться на максимальній відстані від власної нори. Заборонено бігти по такому напрямку, що перетинає в деякій точці, відмінній від нори, шлях іншої миші, котра вже пробігла перед цим. Порядок, у якому бігти, миші вибирають на свій розсуд. Гра завершується, коли жодна з мишей не може перебігти з виконанням наведених умов. Скільки щонайменше мишей можуть пробігти свій шлях за таких умов?
10–11 класиГеометричні приклади і контрприкл…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-111

Вираз 1 + k n³ як куб натурального числа

Нехай mm — довільне натуральне число. Доведіть, що існує нескінченно багато таких натуральних чисел kk, для яких число 1+km31+km^3 є кубом натурального числа, а для довільного натурального n<mn < m не є кубом натурального числа вираз 1+kn31+kn^3.
10–11 класиМетод затискання між сусідніми зн…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-112

Прямі через вершини трикутника та центри кіл

Коло ω\omega із центром у точці PP перетинає сторони BCBC, CACA, ABAB трикутника ABCABC у точках A1A_1 та A2A_2, B1B_1 та B2B_2, C1C_1 та C2C_2 відповідно. Нехай точка A′A' — центр описаного кола трикутника A1A2PA_1A_2P, точка B′B' — центр описаного кола трикутника B1B2PB_1B_2P, а точка C′C' — центр описаного кола трикутника C1C2PC_1C_2P. Доведіть, що прямі AA′AA', BB′BB', CC′CC' перетинаються в одній точці.
10–11 класиТеорема Чеви
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-113

Многочлени p, q, h та функція g

Нехай числа mm та nn — натуральні, а многочлени pp, qq та hh (де pp — спадний многочлен) такі, що ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R} справджується рівність p(q(nx+m)+h(x))=n(q(p(x))+h(x))+m.p(q(nx+m)+h(x))=n(q(p(x))+h(x))+m. Доведіть, що не існує функції g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, для якої ∀x∈R\forall x \in \mathbb{R} справджується рівність g(q(p(x))+h(x))=(q(x))2+1.g(q(p(x))+h(x))=(q(x))^2+1.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-114

Центр описаного кола трикутника ATI на BC

Точка II — центр вписаного кола трикутника ABCABC. Пряма, яка перпендикулярна до прямої AIAI та проходить через точку II, перетинає сторони ACAC та ABAB у точках B′B' та C′C' відповідно. Точки B1B_1 та C1C_1 розташовані відповідно на променях BCBC та CBCB так, що AB=BB1AB = BB_1 та AC=CC1AC = CC_1. Нехай TT — друга точка перетину описаних кіл трикутників AB1C′AB_1C' та AC1B′AC_1B'. Доведіть, що центр описаного кола трикутника ATIATI лежить на прямій BCBC.
10–11 класиІнверсія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-115

Щільні підмножини множини з сусідніми різницями 1 або 2

Нехай множина натуральних чисел X={x1<x2<…<xn}X = \{x_1 < x_2 < \ldots < x_n\} задовольняє умову 1⩽xi−xi−1⩽21 \leqslant x_i - x_{i-1} \leqslant 2, i=2,n‾i = \overline{2, n}. Дійсне число aa назвемо гарним, якщо існує j=1,n‾j = \overline{1, n}, для якого ∣xj−a∣⩽12\left| x_j - a \right| \leqslant \frac{1}{2}. Множину YY назвемо щільною, якщо середнє арифметичне її чисел є гарним числом. Покажіть, що принаймні 2n−32^{n-3} підмножин множини XX є щільними.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-116

Остача суми 2006-х степенів за модулем p

Нехай pp — просте число. Знайдіть остачу від ділення на pp числа 12006+22006+…+(p−1)2006.1^{2006} + 2^{2006} + \ldots + (p-1)^{2006}.
10–11 класиМала теорема Ферма
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-117

Многочлен степеня n з коефіцієнтами ±1 і дійсними коренями

Многочлен anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 має рівно nn дійсних коренів з урахуванням кратності й усі коефіцієнти ∣ai∣=1, i=0,n‾|a_i| = 1,\ i = \overline{0, n}. Для якого найбільшого nn це можливо?
10–11 класиТеорема Вієта
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-118

Функціональне рівняння з дробовими аргументами

Знайдіть усі такі функції f:(0,+∞)→(0,+∞)f:(0, +\infty) \to (0, +\infty), що ∀x,y∈(0,+∞)\forall x, y \in (0, +\infty) справджується рівність f(yf(x+1))+f(x+1xf(y))=f(y).f\left(\frac{y}{f(x+1)}\right) + f\left(\frac{x+1}{xf(y)}\right) = f(y).
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-119

Подібність трикутників з точок дотику і перпендикулярів

Нехай точками перетину сторони BCBC трикутника ABCABC з вписаним у нього колом та бісектрисою кута AA є точки A1A_1 та A2A_2 відповідно. Аналогічно визначаємо точки B1,B2,C1,C2B_1, B_2, C_1, C_2. Припустимо, що перпендикуляр, проведений із точки A1A_1 до прямої B2C2B_2C_2, перетинає бісектрису кута AA в точці A′A'. Точки B′,C′B', C' визначаємо аналогічно. Доведіть, що трикутники A1B1C1A_1B_1C_1 та A′B′C′A'B'C' є подібними.
10–11 класиКоло Ейлера (коло 9 точок)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-120

100 міст, 2013 рейсів і максимальна кількість компаній

Деякі пари зі 100100 міст у країні сполучено двосторонніми авіарейсами. Усього існує 20132013 авіарейсів, які обслуговують nn компаній (кожний авіарейс обслуговується лише однією авіакомпанією, а кожна авіакомпанія обслуговує хоча б один рейс). Існує принаймні два таких міста, що від одного до іншого не можна дістатися за один чи два перельоти. Відомо, що для будь-яких двох міст існує авіакомпанія, для якої можна дістатися від одного міста до іншого, використовуючи лише рейси цієї компанії. Для якого максимального nn це можливо?
10–11 класиДерева

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.