Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

10 651 задача
11 клас
Відбіркові тести на IMOTST-2005-017

Симетричний образ точки кола відносно діаметра

Нехай дано коло KK і пряму gg, які не мають спільних точок. Нехай далі AB‾\overline{AB} — діаметр кола KK, перпендикулярний до прямої gg, причому BB лежить ближче до gg, ніж AA. Нехай далі задано довільну точку CC, відмінну від AA і BB, на колі KK. Пряма ACAC перетинає gg в точці DD; пряма DEDE дотикається до кола KK в точці EE, причому BB і EE лежать з одного боку від прямої ACAC. Нарешті BEBE перетинає пряму gg у точці FF, а AFAF перетинає коло KK, окрім AA, у точці GG. Доведіть, що точка, симетрична GG відносно осі ABAB, лежить на прямій CFCF.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2005-003

Найбільше значення симетричного раціонального виразу

Знайдіть найбільше можливе значення виразу xyz(1+x)(x+y)(y+z)(z+16)\frac{x y z}{(1+x)(x+y)(y+z)(z+16)} де x,y,zx, y, z — додатні дійсні числа.
10–11 класиНерівність Коші
Відбіркові тести на IMOTST-2005-018

Розфарбування точок перетину кіл

Нехай дано два натуральні числа nn і kk. На площині лежить nn кіл (n≥2n \geq 2), так, що кожне коло перетинає кожне інше двічі, а всі ці точки перетину попарно різні. Кожна точка перетину пофарбована в один із nn кольорів так, що кожен колір використано хоча б один раз і на кожному з кіл представлено однакову кількість kk кольорів. Визначте всі значення nn і kk, для яких таке розфарбування можливе.
10–11 класиКонструкція за індукцією
Відбіркові тести на IMOTST-2005-006

Нижня межа для суми чотирьох квадратів

Доведіть: якщо 4n⋅7=a2+b2+c2+d24^{n} \cdot 7 = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} при n,a,b,c,d∈N∖{0}n, a, b, c, d \in \mathbb{N} \setminus \{0\}, то жоден із квадратів не може бути меншим за число 4n−14^{n-1}.
10–11 класиМетод нескінченного спуску
Відбіркові тести на IMOTST-2005-005

Розбиття правильного многокутника на паралелограми

Нехай n≥1n \geq 1 — натуральне число. Правильний 4n4 n-кутник довільним чином розбито на скінченну кількість паралелограмів. a. Доведіть, що принаймні один з паралелограмів розбиття є прямокутником. b. Знайдіть суму площ усіх прямокутників розбиття.
10–11 класиРозрізання, покриття та замощення
Відбіркові тести на IMOTST-2005-007

Спільна дотична до двох дотичних кіл усередині третього

Нехай k1k_{1} і k2k_{2} — два кола, які зовнішньо дотикаються в точці PP. Третє коло kk дотикається до k1k_{1} у точці BB і до k2k_{2} у точці CC, так що k1k_{1} і k2k_{2} лежать усередині кола kk. Нехай AA — одна з точок перетину кола kk зі спільною дотичною до кіл k1k_{1} і k2k_{2}, проведеною через PP. Прямі ABA B і ACA C вдруге перетинають кола k1k_{1} і k2k_{2} відповідно в точках RR і SS. Доведіть, що пряма RSR S — спільна дотична до кіл k1k_{1} і k2k_{2}.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Відбіркові тести на IMOTST-2005-008

Квадрат простого числа як дільник суми степенів

Нехай p>3p > 3 — просте число. Доведіть, що p2p^{2} є дільником ∑k=1p−1k2p+1\sum_{k=1}^{p-1} k^{2p+1}
10–11 класиМала теорема Ферма
Відбіркові тести на IMOTST-2005-009

Функціональне рівняння на цілочисельних трійках

Нехай TT — множина всіх трійок (p,q,r)(p, q, r) з невід'ємних цілих чисел. Знайдіть усі функції f:T→Rf: T \rightarrow \mathbb{R}, для яких виконується f(p,q,r)={0 при pqr=01+16{f(p+1,q−1,r)+f(p−1,q+1,r)+f(p−1,q,r+1)+f(p+1,q,r−1)+f(p,q+1,r−1)+f(p,q−1,r+1)} інакше. f(p, q, r)= \begin{cases}0 & \text{ при } p q r=0 \\ 1+\frac{1}{6}\{f(p+1, q-1, r)+f(p-1, q+1, r) \\ +f(p-1, q, r+1)+f(p+1, q, r-1) \\ +f(p, q+1, r-1)+f(p, q-1, r+1)\} & \text{ інакше. }\end{cases}
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Відбіркові тести на IMOTST-2005-010

Розклад многочлена (x²-1²)...(x²-n²)+1 на множники

Нехай n≥2n \geq 2 — натуральне число. Доведіть, що многочлен (x2−12)(x2−22)(x2−32)⋯(x2−n2)+1\left(x^{2}-1^{2}\right)\left(x^{2}-2^{2}\right)\left(x^{2}-3^{2}\right) \cdots\left(x^{2}-n^{2}\right)+1 не можна записати як добуток двох несталих многочленів із цілими коефіцієнтами.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові тести на IMOTST-2005-011

Одноколірний трикутник у сполученнях островів і міст

Розгляньмо озеро з двома островами в ньому та сімома містами на березі. Острови й міста далі для стислості називатимемо місцями. Корабельне сполучення існує точно між такими парами місць: (i) між двома островами, (ii) між кожним містом і кожним островом, (iii) між двома містами точно тоді, коли вони не є сусідніми. Кожне з цих сполучень обслуговує точно одна з двох конкуруючих судноплавних компаній. Доведіть, що завжди знайдуться три місця такі, що між кожними двома з цих місць існують корабельні сполучення тієї самої компанії.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Відбіркові тести на IMOTST-2005-012

Сума кутів у побудові з правильним многокутником

Нехай A1A2…AnA_{1} A_{2} \ldots A_{n} — правильний nn-кутник. Точки B1,…,Bn−1B_{1}, \ldots, B_{n-1} визначено так: - Для i=1i=1 або i=n−1i=n-1 точка BiB_{i} — середина сторони AiAi+1A_{i} A_{i+1}; - Для i≠1,i≠n−1i \neq 1, i \neq n-1 нехай SS — точка перетину відрізків A1Ai+1A_{1} A_{i+1} і AnAiA_{n} A_{i}. Точка BiB_{i} — це тоді точка перетину бісектриси кута ∡AiSAi+1\Varangle A_{i} S A_{i+1} зі стороною AiAi+1A_{i} A_{i+1}. Доведіть, що виконується ∡A1B1An+∡A1B2An+…+∡A1Bn−1An=180∘\Varangle A_{1} B_{1} A_{n}+\Varangle A_{1} B_{2} A_{n}+\ldots+\Varangle A_{1} B_{n-1} A_{n}=180^{\circ}
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Відбіркові тести на IMOTST-2005-013

Вписаний чотирикутник із проєкцій на сторони

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з ортоцентром HH, а MM і NN — дві точки на прямій BCBC, такі, що MN→=BC→\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}. Нехай PP і QQ — проєкції точок MM і NN відповідно на прямі ACAC і ABAB. Доведіть, що APHQAPHQ — вписаний чотирикутник.
10–11 класиПаралельний перенос
Відбіркові тести на IMOTST-2005-014

Функції з дільником f(m)²+f(n) числа (m²+n)²

Знайдіть усі функції f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, такі, що f(m)2+f(n)f(m)^2+f(n) є дільником (m2+n)2(m^2+n)^2 для всіх m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2005-015

Різні множини елементів рядків і стовпців

Нехай AA — m×mm \times m-матриця. Нехай XiX_{i} — множина елементів ii-го рядка, а YjY_{j} — множина елементів jj-го стовпця, 1≤i,j≤m1 \leq i, j \leq m. Матриця AA називається крутою, якщо множини X1,…,Xm,Y1,…,YmX_{1}, \ldots, X_{m}, Y_{1}, \ldots, Y_{m} усі різні. Знайдіть найменше значення nn, для якого існує крута 2005×20052005 \times 2005-матриця з елементами з множини {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2005-001

Рівні відрізки у прямокутному трикутнику

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник із прямим кутом у AA, причому AB>ACAB > AC; нехай AHAH — висота, проведена до гіпотенузи. На прямій BCBC візьмемо точку DD таку, що HH — середина відрізка BDBD; нехай далі EE — основа перпендикуляра, проведеного з CC до прямої ADAD. Доведіть, що EH=AHEH = AH.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2005-002

Різниця часових поясів за тривалістю перельотів

Едоардо поїхав у відпустку до міста Альтанбулат. Його літак дорогою туди вилетів з Мілана о 13:00 і прибув до Альтанбулату о 9:00 наступного дня (за місцевим часом). Зворотний рейс натомість вилетів з Альтанбулату о 9:00 і приземлився у Мілані о 15:00 того самого дня (знову ж таки, весь вказаний час — за місцевим часом). Припустімо, що обидві подорожі мали однакову реальну тривалість. Яка різниця часових поясів між Італією та Альтанбулатом? (A) Менше трьох годин (B) більше трьох годин, але менше шести (C) більше шести годин, але менше дев'яти (D) більше дев'яти годин (E) неможливо визначити.
9–11 класиЛінійні рівняння та системи
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2005-003

Нерівності трикутника при фіксованій сумі

a, b, c — три додатні дійсні числа такі, що a+b+c=1a+b+c=1. Яка з наведених нижче умов рівносильна тому, що a,b,ca, b, c є довжинами сторін невиродженого трикутника? (A) 0<∣b−a∣<12, 0<∣c−b∣<12, 0<∣c−a∣<120<|b-a|<\frac{1}{2},\ 0<|c-b|<\frac{1}{2},\ 0<|c-a|<\frac{1}{2} (B) a<12, b<12, c<12a<\frac{1}{2},\ b<\frac{1}{2},\ c<\frac{1}{2} (C) a+b<12, b+c<12, c+a<12a+b<\frac{1}{2},\ \quad b+c<\frac{1}{2},\ \quad c+a<\frac{1}{2} (D) a≤13, b≤13, c≤13a \leq \frac{1}{3},\ b \leq \frac{1}{3},\ c \leq \frac{1}{3} (E) жодна з попередніх.
9–11 класиНерівність трикутника
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2005-004

Правдомовці серед п'ятьох друзів

П'ятеро друзів висловлюють відповідно такі твердження. «Хоч кого з нас вибрати, інші 4 брешуть». «Хоч кого з нас вибрати, інші 4 кажуть правду». «Хоч кого з нас вибрати, є інший, який каже правду». «Є один з нас такий, що всі інші кажуть правду». «Є один з нас такий, що всі інші брешуть». Яке з наступних тверджень можна вивести з попередніх? (A) Рівно 1 каже правду. (B) Рівно 2 кажуть правду. (C) Рівно 3 кажуть правду. (D) Рівно 4 кажуть правду. (E) Неможливо визначити кількість тих, хто каже правду.
9–11 класиРозбиття на випадки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2005-005

Квадратні многочлени з цілими коренями і заданим значенням

Скільки існує многочленів p(x)p(x) другого степеня, з цілими коефіцієнтами і з 2 цілими коренями, таких, що p(8)=1p(8)=1? (Зауваження: нагадаємо, що цілі числа можуть бути додатними, від'ємними або нулем) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) скінченна кількість, більша за 3 (E) нескінченно багато.
9–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2005-006

Площа об'єднання околів двох відрізків

ABAB і CDCD — два відрізки, обидва завдовжки 44, зі спільною серединою MM і такі, що BM^D=60∘B \widehat{M} D = 60^\circ. Позначимо через XX множину всіх і лише тих точок, які знаходяться на відстані не більше 11 від принаймні одного з двох відрізків. Чому дорівнює площа множини XX? (A) 8−4338 - \frac{4}{3} \sqrt{3} (B) 16−83316 - \frac{8}{3} \sqrt{3} (C) 16−433+π16 - \frac{4}{3} \sqrt{3} + \pi (D) 16−833+2π16 - \frac{8}{3} \sqrt{3} + 2\pi (E) 8+2π8 + 2\pi.
9–11 класиПлоща кола і його частин
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2005-007

Чергування хлопців і дівчат за круглим столом

Під час свята троє дівчат і троє хлопців сідають навмання за круглий стіл. Яка ймовірність того, що жодні двоє людей однієї статі не сидітимуть поруч? (A) 16\frac{1}{6} (B) 110\frac{1}{10} (C) 320\frac{3}{20} (D) 112\frac{1}{12} (E) 1136\frac{11}{36}.
9–11 класиПерестановки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2005-008

Найбільша кількість розв’язків рівняння з вкладеними модулями

При зміні дійсного параметра aa, яка найбільша можлива кількість розв’язків рівняння ∣∣x−1∣−4∣+x=a||x-1|-4|+x=a? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) може мати нескінченно багато.
9–11 класиРозбиття на випадки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2005-009

Куб, розрізаний двома площинами

Дано куб з ребром одиничної довжини (див. рисунок). Розглянемо площину, якій належать ребра ABAB і CDCD, і ту, якій належать ребра AEAE і FDFD. Ці дві площини розрізають куб на чотири частини. Який найбільший з об'ємів цих частин? (A) 14\frac{1}{4} (B) 13\frac{1}{3} (C) 24\frac{\sqrt{2}}{4} (D) 38\frac{3}{8} (E) 12\frac{1}{2}.
9–11 класиРозрізання, склеювання та рівноск…2 розв’язки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2005-010

Фальшивий кубик із повторними кидками

Альберто і Барбара грають з кубиком. Через деякий час вони помічають, що кубик фальшивий, і що число 11 випадає частіше за інші 55 чисел (які натомість залишаються рівноймовірними). Тому вони вирішують, що коли випадає 11, цей кидок анулюється і кидають знову. Якщо продовжувати кидати кубик, доки не буде отримано 22 дійсні кидки, яка ймовірність того, що сума 22 дійсних чисел, які випали, дорівнює 88? (A) 325\frac{3}{25} (B) 16\frac{1}{6} (C) 15\frac{1}{5} (D) 625\frac{6}{25} (E) 14\frac{1}{4}.
9–11 класиПравила суму та добутку
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2005-011

НСД четвертого степеня суми і різниці

Нехай aa, bb — взаємно прості натуральні числа. Яке найбільше значення може набувати найбільший спільний дільник чисел (a+b)4(a+b)^4 і a−ba-b? (A) 3 (B) 4 (C) 16 (D) 32 (E) може бути як завгодно великим.
9–11 класиНСД та НСК

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.