Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

10 651 задача
11 клас
Відбіркові тести на IMOTST-2003-003

Функції з умовою f(m+n)f(m-n) = f(m²)

Нехай N\mathbb{N} позначає множину натуральних чисел. Знайдіть усі функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N} такі, що f(m+n)f(m−n)=f(m2)f(m+n)f(m-n) = f(m^2) для всіх m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2003-004

Симетрична нерівність для синусів кутів

Нехай a,b,ca, b, c — дійсні числа з проміжку (0,π2)(0, \frac{\pi}{2}). Доведіть, що sin⁡asin⁡(a−b)sin⁡(a−c)sin⁡(b+c)+sin⁡bsin⁡(b−c)sin⁡(b−a)sin⁡(c+a)+sin⁡csin⁡(c−a)sin⁡(c−b)sin⁡(a+b)≥0.\frac{\sin a \sin(a-b) \sin(a-c)}{\sin(b+c)} + \frac{\sin b \sin(b-c) \sin(b-a)}{\sin(c+a)} + \frac{\sin c \sin(c-a) \sin(c-b)}{\sin(a+b)} \ge 0.
10–11 класиТригонометричні нерівності
Італійська математична олімпіадаITAMO-2003-001

Трицифрові числа, що збігаються з кінцем свого квадрата

Знайдіть усі натуральні числа nn з трьох цифр (100≤n≤999)(100 \leq n \leq 999), які дорівнюють числу, утвореному останніми трьома цифрами числа n2n^{2}.
10–11 класиКитайська теорема про остачі2 розв’язки
Італійська математична олімпіадаITAMO-2003-002

Обхід кімнат квадратного музею

Музей має квадратний план і поділений на n2n^{2} однакових квадратних кімнат (при n>1n>1). Кожна пара суміжних кімнат (тобто зі спільною стіною) сполучена дверима (як показано на прикладі поруч для n=4n=4). Нічний охоронець хоче організувати свій обхід для огляду так, щоб дотриматися таких правил: охоронець стартує з певної кімнати, де залишається одну хвилину, після чого переходить до суміжної кімнати, де залишається ще одну хвилину; маршрут продовжується через суміжні кімнати, у кожній з яких охоронець залишається завжди рівно одну хвилину перед тим, як перейти далі. Дозволено проходити кілька разів через ту саму кімнату, але наприкінці маршруту (який не обов'язково закінчується в початковій кімнаті) охоронець повинен був побувати в кожній з n2n^{2} кімнат рівно kk хвилин. Визначте, для яких натуральних чисел nn і kk можна організувати маршрут із дотриманням цих правил.
10–11 класиШляхи на графах
Італійська математична олімпіадаITAMO-2003-003

Лицарі та брехуни за круглим столом

На острові є дві категорії людей: лицарі, які завжди кажуть правду, і брехуни, які завжди брешуть. Одного дня збирається велика рада, що складається з 2003 членів. Вони сідають навмання навколо круглого столу, і під час засідання кожен з них заявляє: «Обидва мої сусіди — брехуни». Наступного дня рада збирається знову, але один із членів хворий, тому присутні лише 2002 члени. Вони знову сідають навмання навколо круглого столу, і кожен з них каже: «Обидва мої сусіди належать до протилежної до моєї категорії». Хворий був брехуном чи лицарем?
10–11 класиПідрахунок двома способами
Італійська математична олімпіадаITAMO-2003-004

Сітка з фішками в центрах і вершинах

Дано клітинну дошку m×nm \times n (m,n≥1m, n \geq 1), у центр кожної клітинки поставлено по фішці й по одній у кожну вершину дошки (у прикладі, показаному поруч, з n=4n=4 і m=3m=3 розміщено 32 фішки). a. Знайти всі дошки, які мають рівно 500 фішок. b. Довести, що існує нескінченно багато натуральних чисел kk таких, що не існує дощок рівно з kk фішками.
10–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2003-005

Обхід круглого столу з кроком за номером картки

На обід запрошено nn осіб, які сядуть навколо круглого столу, місця за яким позначено від 1 до nn за допомогою відповідних карток із номерами місць, розставлених церемоніймейстером. Офіціант вирішив подавати страви за оригінальною процедурою: обирає одного гостя, обслуговує його, потім зміщується проти годинникової стрілки на кількість місць, що дорівнює номеру картки щойно обслуженого гостя, обслуговує гостя, біля якого він тепер опинився, і так далі, завжди зміщуючись проти годинникової стрілки відповідно до номера картки останнього обслуженого гостя. Визначте, для яких nn церемоніймейстер може розставити картки з номерами так, щоб офіціант міг, розпочавши з відповідного гостя і дотримуючись описаної процедури, обслужити всіх гостей.
10–11 класиОстача від ділення
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2003-008

Нерівності для чисел з інтервалу від 0 до 1

Дано два числа xx і yy, для яких 0<x<10 < x < 1, 0<y<10 < y < 1. Яке з наступних тверджень завжди істинне? (A) x+y<1x + y < 1 (B) xy<1\frac{x}{y} < 1 (C) x+y>1x + y > 1 (D) x2+y2>1x^{2} + y^{2} > 1 (E) x<1yx < \frac{1}{y}.
9–11 класиЧислові нерівності
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2003-009

Задача про лицарів, брехунів і звичайних людей

У країні Oz\mathrm{Oz}, крім звичайних людей (які можуть брехати або казати правду), живуть лицарі (які завжди кажуть правду) і брехуни (які завжди брешуть). Дивний закон вимагає, щоб у кожному подружжі обоє були або звичайними, або один — лицар, а інший — брехун. Прийшовши до двоквартирного будиночка подружжя Аллегрі та Б'янкі, ви запитуєте, чи пан Б'янкі, який відсутній, є лицарем, отримавши ствердну відповідь як від пані Б'янкі, так і від обох з подружжя Аллегрі. Тип скількох із подружжя ви можете визначити? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4.
9–11 класиРозбиття на випадки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2003-010

Перетин кіл через початок координат із центрами у квадрантах

Три кола проходять через початок координат. Центр першого кола лежить у першому квадранті, центр другого лежить у другому квадранті, центр третього лежить у третьому квадранті. Якщо PP — точка, внутрішня для трьох кіл, то (A) PP лежить у другому квадранті (B) PP лежить у першому або третьому квадранті (C) PP лежить у четвертому квадранті (D) не може існувати така точка PP (E) нічого не можна сказати.
9–11 класиМетод координат
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2003-017

Добутки чисел як квадрати й куби

Дано три натуральні числа a,b,ca, b, c. Покладемо x=abx = a b, y=acy = a c, z=bcz = b c. Яке з наведених тверджень є правильним? (A) Якщо x,y,zx, y, z — квадрати, то a,b,ca, b, c — квадрати (B) якщо x,y,zx, y, z парні, то a,b,ca, b, c парні (C) якщо x,y,zx, y, z — куби, то a,b,ca, b, c — куби (D) якщо x,y,zx, y, z кратні 10, то a,b,ca, b, c кратні 10 (E) жодне з попередніх тверджень не є правильним.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2003-026

Несусідні пари на клавіатурі 4 на 4

Квадратна цифрова клавіатура зі стороною 44 має 1616 клавіш, пронумерованих від 11 до 1616. Агент 007007 має натиснути одночасно дві клавіші, щоб проникнути на ворожу базу, і якщо він помилиться, спрацює сигналізація. Проте він знає лише, що ці дві клавіші не є суміжними (тобто не мають спільної сторони чи вершини). Яка ймовірність, що йому вдасться проникнути? (A) 164\frac{1}{64} (B) 178\frac{1}{78} (C) 1128\frac{1}{128} (D) 1156\frac{1}{156} (E) 1160\frac{1}{160}.
10–11 класиРозбиття на випадки
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2003-011

Підрахунок можливих автомобільних номерів

В Італії автомобільні номерні знаки складаються з 2 літер, після яких ідуть 3 цифри, а потім ще 2 літери. У країні Айлаті все навпаки, і номерні знаки складаються з 2 цифр, після яких ідуть 3 літери, а потім ще 2 цифри. Якщо припустити, що в обох країнах використовують 10 цифр і 22 літери (I, O, U, Q не використовуються), визначити різницю між кількістю всіх можливих номерних знаків у двох країнах. (A) 0 (B) 12⋅103⋅22312 \cdot 10^{3} \cdot 22^{3} (C) (222−102)2−(223−103)\left(22^{2}-10^{2}\right)^{2}-\left(22^{3}-10^{3}\right) (D) 12⋅3⋅22⋅3⋅1012 \cdot 3 \cdot 22 \cdot 3 \cdot 10 (E) 410⋅310⋅(412−312)4^{10} \cdot 3^{10} \cdot\left(4^{12}-3^{12}\right).
9–11 класиПравила суму та добутку
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2003-021

Рівносторонній трикутник із заданими відстанями до сторін

Внутрішня точка рівностороннього трикутника розташована на відстанях 55, 77, 88 від трьох сторін. Чому дорівнює сторона трикутника? (A) Даних недостатньо (B) така конфігурація не може існувати (C) сторона дорівнює 2020 (D) сторона дорівнює 14314 \sqrt{3} (E) сторона дорівнює 4033\frac{40}{3} \sqrt{3}.
10–11 класиПлоща трикутника
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2003-012

Площа шестипроменевої зірки з описаним колом

Шестипроменеву зірку побудовано шляхом добудови на сторонах правильного шестикутника шести рівнобедрених трикутників з кутом при вершині 3030 градусів. Відомо, що коло, яке проходить через вістря зірки, має радіус 11. Обчисліть площу самої зірки. (A) 3\sqrt{3} (B) 3(3−1)2\frac{3(\sqrt{3}-1)}{2} (C) 3(3+1)2\frac{3(\sqrt{3}+1)}{2} (D) 3(3−2)2\frac{3(\sqrt{3}-2)}{2} (E) жодна з попередніх.
9–11 класиРозбиття і перекидання площ
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2003-023

Максимізація відношення площ у квадраті з рухомим відрізком

У квадраті ABCDABCD зі стороною 22 відрізок MNMN завдовжки 11 розміщено так, що кінець MM лежить на стороні ABAB, а кінець NN — на стороні BCBC. Цей відрізок ділить квадрат на трикутник TT і п'ятикутник PP. Чому дорівнює найбільше можливе значення відношення площі трикутника TT до площі п'ятикутника PP? (A) 14\frac{1}{4} (B) 25\frac{2}{5} (C) 17\frac{1}{7} (D) 215\frac{2}{15} (E) 115\frac{1}{15}.
10–11 класиЕкстремальні геометричні конструк…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2003-024

Відстані між точками в обмеженій області

Нехай R\mathcal{R} — скінченна область площини, обмежена віссю xx і графіком кривої з рівнянням 2x2+5y=102 x^{2}+5 y=10. Дано три точки з області R\mathcal{R}. Яке з наступних тверджень завжди правильне? (A) принаймні дві з трьох точок мають відстань ≥52\geq \frac{\sqrt{5}}{2} (B) принаймні дві з трьох точок мають відстань ≤3\leq 3 (C) сума відстаней між точками ≤925\leq \frac{9}{2} \sqrt{5} (D) сума квадратів відстаней між точками ≤38\leq 38 (E) добуток відстаней між точками ≤165\leq 16 \sqrt{5}.
10–11 класиПринцип Діріхле (довжини, площі,…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2003-022

Прямокутний паралелепіпед із середнім пропорційним ребром

У прямокутному паралелепіпеді PP довжина діагоналі дорівнює 133\sqrt{133}, а площа повної поверхні дорівнює 228228. Якщо одне з ребер є середнім пропорційним між двома іншими, то об'єм паралелепіпеда PP дорівнює (A) 6464 (B) 125125 (C) 192192 (D) 216216 (E) 343343.
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2003-013

Геометричне місце барицентра трикутника на дотичному колі

З точки SS, розташованої зовні кола γ\gamma радіуса 1, проведено пряму, дотичну до кола γ\gamma, і точку дотику позначено через TT. При зміні точки PP на колі γ\gamma барицентр трикутника PSTP S T описує криву γ′\gamma^{\prime}. Чому дорівнює відношення довжини кривої γ′\gamma^{\prime} до довжини кола γ\gamma? (A) 1π\frac{1}{\pi} (B) 12\frac{1}{2} (C) 13\frac{1}{3} (D) 43π\frac{4}{3} \pi (E) залежить від положення SS.
9–11 класиГомотерія і подібність
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2003-014

Подвійна сума цифр більша за 9

Для кожного цілого nn нехай S(n)S(n) — сума цифр числа nn (у десятковому записі). Яке найменше ціле NN, для якого S(S(N))≥10S(S(N)) \geq 10?
9–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2003-015

Повторна сума цифр, не менша від 10

Візьмемо натуральне число nn, знайдемо суму його цифр, а потім знову додамо цифри цієї суми, отримавши ціле число SS. Яке найменше nn дає змогу отримати S≥10?S \geq 10 ?
9–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2003-016

Підрахунок четвірок чисел з умовами на суми

Визначте кількість четвірок цілих чисел (не обов’язково різних) від 11 до 1212 (включно), які задовольняють усі наведені нижче умови: - сума перших двох чисел парна - сума перших трьох чисел кратна 33 - сума чотирьох чисел кратна 44. (Дві четвірки, які відрізняються навіть лише порядком доданків, вважаються різними).
9–11 класиПравила суму та добутку
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2003-019

Діагоналі правильного додекаедра

Додекаедр — це правильний многогранник з 12 п'ятикутними гранями. Діагональ многогранника — це відрізок, кінцями якого є дві вершини многогранника, що не належать одній і тій самій грані. Скільки діагоналей має додекаедр?
10–11 класиПідрахунок двома способами
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2003-018

Кількість сходинок на рухомому ескалаторі

Малий Марко підіймається і спускається ескалатором торговельного центру з поверху на поверх, по одній сходинці за раз. Якщо він рухається за напрямком руху ескалатора зі сталою швидкістю відносно нього (тобто проміжок часу між одним кроком і наступним сталий), то наступає на 15 сходинок, якщо ж рухається у протилежному напрямку (з тим самим проміжком часу між одним кроком і наступним), то наступає на 35 сходинок. Скільки сходинок пройшов би Марко, переходячи з одного поверху на інший, якби ескалатор був нерухомим?
10–11 класиЛінійні рівняння та системи
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2003-001

Степені двійки та повні квадрати

(i) Знайдіть усі пари (m,n)(m, n) натуральних чисел, що задовольняють рівняння n2−2m=1n^{2}-2^{m}=1. (ii) Знайдіть усі пари (m,n)(m, n) натуральних чисел, що задовольняють рівняння 2m−n2=12^{m}-n^{2}=1.
9–11 класиМетод факторизації (розкладання н…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.