Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

10 651 задача
11 клас
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-195

Нумерація учасників шахового турніру з ланцюжком перемог M

Натуральні числа MM і NN задовольняють умову N>M>1N > M > 1. У шаховому турнірі, у якому брали участь NN шахістів, кожна пара гравців зіграла між собою рівно один раз і жодна гра не закінчилася внічию. Виявилося, що для довільної послідовності P0,P1,…,PMP_0, P_1, \ldots, P_M з M+1M + 1 гравців такої, що PiP_i переміг Pi+1P_{i+1}, для кожного i=0,M−1‾i = \overline{0, M-1}, гравець P0P_0 також переміг гравця PMP_M. Доведіть, що гравців можна занумерувати числами від 1 до NN таким чином, що для довільних двох гравців з номерами aa і bb, при a⩾b+M−1a \geqslant b + M - 1, гравець aa переміг гравця bb.
10–11 класиОрієнтовані графи
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-196

Медіана, серединні перпендикуляри та описане коло

У гострокутному трикутнику ABCABC серединні перпендикуляри до сторін ABAB і ACAC перетинають медіану AMAM у точках WW і VV відповідно. Прямі CVCV і BWBW перетинаються в точці TT. Нехай UU — точка перетину прямої AMAM та описаного кола трикутника ABCABC. Доведіть, що AU=BT+CTAU = BT + CT.
10–11 класиОписане коло
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-197

Набори чисел з нерівністю через квадратні корені

Задано відмінні від 00 дійсні числа a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n. Знайдіть усі набори (r1,r2,…,rn)(r_1, r_2, \ldots, r_n) дійсних чисел таких, що має місце нерівність ∑i=1nri(xi−ai)⩽∑i=1nxi2−∑i=1nai2.\sum_{i=1}^{n} r_i (x_i - a_i) \leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2} - \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2}.
10–11 класиНерівність Коші-Буняковського
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-198

Щонайменше 500 однокольорових трикутників у 25-кутнику

Усі сторони та діагоналі випуклого 2525-кутника пофарбовано в один із двох кольорів. Доведіть, що існує хоча б 500500 трикутників, сторони яких однокольорові та вершини яких є вершинами даного многокутника.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-199

Циклічна система трьох дробових рівнянь

Знайдіть усі трійки дійсних чисел xx, yy, zz таких, що y=x3+12x3x2+4,z=y3+12y3y2+4,x=z3+12z3z2+4.y=\frac{x^3+12x}{3x^2+4},\qquad z=\frac{y^3+12y}{3y^2+4},\qquad x=\frac{z^3+12z}{3z^2+4}.
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-200

Відстані між одноколірними вершинами правильного 2n-кутника

У правильному 2n2n-кутнику nn вершин пофарбовано червоним кольором, а решту вершин пофарбовано синім. Розглянемо всі відстані між вершинами червоного кольору та відсортуємо їх у неспадному порядку. Аналогічні дії проведемо з вершинами синього кольору. Доведіть, що отримані таким чином послідовності збігаються.
10–11 класиГеометричні розфарбування
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-201

Сума p-х степенів для простих чисел з множини

Задано множину PP, яка складається з простих чисел. Доведіть, що існує натуральне число xx, яке можна подати у вигляді x=ap+bpx=a^p+b^p для довільного p∈Pp \in P і не можна подати в такому вигляді для довільного p∉Pp \notin P.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-202

Набір натуральних чисел з подільністю добутків на суми

Доведіть, що для довільного натурального n>1n > 1 існують натуральні числа a1a_1, a2a_2, …\ldots, ana_n такі, що aiaj⋮ai+aja_i a_j \vdots a_i + a_j.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-203

Дотик описаних кіл трикутників AXY і HBC

Точка HH — ортоцентр гострокутного трикутника ABCABC. На сторонах ABAB і ACAC вибрано точки XX і YY таким чином, що AX=2XBAX = 2XB і AY=2YCAY = 2YC. Також відомо, що 3BC2=AB2+AC23BC^2 = AB^2 + AC^2. Доведіть, що описане коло трикутника AXYAXY дотикається до описаного кола трикутника HBCHBC.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-204

Добутки чисел на розкиданих клітинках і діагоналі дошки

Назвемо nn клітинок дошки розміром n×nn \times n розкиданими, якщо жодні дві клітинки не знаходяться в жодному рядку та в жодному стовпчику. У кожну клітинку дошки записано натуральне число таким чином, що в кожному рядку та кожному стовпчику немає однакових чисел і для довільних двох наборів з nn розкиданих клітинок сума чисел, що записані в клітинках першого набору, дорівнює сумі чисел, що записані в клітинках другого набору. Відомо, що на одній з головних діагоналей записані числа йдуть у порядку зростання зліва направо й добуток цих чисел найменший із всіх можливих добутків чисел, які записані в довільних nn розкиданих клітинках. Доведіть, що найбільший добуток чисел, які записані в nn розкиданих клітинках, досягається на іншій діагоналі.
10–11 класиІнші класичні нерівності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-205

Розбиття групи людей на взаємно знайомих і незнайомих

У групі людей серед будь-яких чотирьох є або хтось, хто знає трьох інших, або хтось, хто не знає жодного з них. Доведіть, що цю групу можна розбити на дві, в одній з яких усі знають один одного, а в другій — не знають.
10–11 класиКласичні теореми теорії графів
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-206

Зсуви многочлена з дійсними коренями та їх добуток

Нехай n>1n > 1 і многочлен P(x)=xn+an−1xn−1+…+a0P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_0 має nn дійсних коренів (ураховуючи їхню кратність). Визначимо многочлен Q(x)Q(x) таким чином: Q(x)=∏j=12015P(x+j)Q(x) = \prod_{j=1}^{2015} P(x+j). Відомо, що P(2015)=2015P(2015) = 2015. Доведіть, що QQ має хоча б 19701970 різних дійсних коренів r1,r2,…,r1970r_1, r_2, \ldots, r_{1970}, для яких виконується нерівність ∣rj∣<2015|r_j| < 2015 для довільного j∈{1,2,…,1970}j \in \{1, 2, \ldots, 1970\}.
10–11 класиТеорема Вієта
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-207

Тотожність для степеневих сум трьох чисел

Для дійсних чисел aa, bb, cc і натурального nn позначимо Sn=an+bn+cnS_n = a^n + b^n + c^n. Відомо, що S1=2S_1 = 2, S2=6S_2 = 6 і S3=14S_3 = 14. Доведіть, що для довільного натурального nn виконується рівність ∣Sn+12−SnSn+2∣=8\left|S_{n+1}^2 - S_nS_{n+2}\right| = 8.
10–11 класиПеретворення симетричних виразів
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-208

Кількість розташувань кульок у n чашах з різними сусідами

У ряд стоять nn порожніх чаш, пронумерованих числами від 11 до nn зліва направо. У кожну чашу з парним номером дозволено покласти кульку з номером 11, 22 або 33, а в кожну чашу з непарним — тільки кульку з номером 11 або кульку з номером 33. Скільки існує різних розташувань кульок по чашах таких, що жодні дві сусідні чаші не містять кульок з однаковими номерами?
10–11 класиРекурентний підрахунок
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-209

Рівність кута DET і кута ABC у трикутнику

Задано гострокутний нерівнобедрений трикутник ABCABC і точку PP усередині нього таку, що ∠APB=∠APC=α>180∘−∠BAC\angle APB=\angle APC=\alpha>180^\circ-\angle BAC. Описане коло трикутника APBAPB удруге перетинає пряму ACAC у точці EE, а описане коло трикутника APCAPC удруге перетинає пряму ABAB у точці FF. Нехай точку QQ вибрали всередині трикутника AEFAEF таким чином, що ∠AQE=∠AQF=α\angle AQE=\angle AQF=\alpha. Точку, симетричну QQ відносно прямої EFEF, позначимо літерою DD. Бісектриса кута EDFEDF перетинає APAP у точці TT. Доведіть, що ∠DET=∠ABC\angle DET=\angle ABC.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-210

Вписаний чотирикутник, середина дуги і паралельні прямі

Чотирикутник ABCDABCD вписано в коло. Нехай FF — середина дуги ABAB, яка не містить точок CC і DD. Прямі DFDF і ACAC перетинаються в точці PP, а прямі CFCF і BDBD — у точці QQ. Доведіть, що прямі PQPQ і ABAB паралельні.
10–11 класиОсновна властивість бісектриси
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-211

Сім симетрій триколірної дошки 4×4 за три підміни

Кожну клітинку квадратної дошки розміром 4×44 \times 4 пофарбовано в один із трьох кольорів. Підміною кольорів назвемо перестановку кольорів двох клітинок дошки. Чи завжди можна отримати всі сім симетрії дошки, використавши підміну кольорів не більше 33 разів?
10–11 класиПарність і непарність
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-212

Раціональність суми степенів дробової частини кореня з a

Знайдіть усі натуральні значення aa такі, що число Sn={a}+{a}2+…+{a}nS_n=\{\sqrt{a}\}+\{\sqrt{a}\}^2+\ldots+\{\sqrt{a}\}^n раціональне при деякому натуральному nn.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-213

Функціональне рівняння з x² та x±y

Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, які задовольняють рівність f(x2)+4y2f(y)=(f(x−y)+y2)(f(x+y)+f(y))f(x^2)+4y^2f(y)=\left(f(x-y)+y^2\right)\left(f(x+y)+f(y)\right) при довільних дійсних xx і yy.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-214

Гра з вибором тарілок і викладанням цукерок

Тетянка й Сашко грають у таку гру: на столі лежать n⩾2n \geqslant 2 порожніх тарілок. Тетянка починає кожен раунд, вибираючи деякі тарілки та ставлячи їх ліворуч від себе, а решту — праворуч. Сашко вибирає тарілки по один бік від Тетянки та кладе на кожну з них по одній цукерці. Далі він забирає всі цукерки з тарілок, що знаходяться по другий бік від Тетянки. Після цього Тетянка може вибрати довільну тарілку, забрати з неї цукерки та завершити гру. У протилежному разі починається новий раунд. Доведіть, що Сашко може грати таким чином, що Тетянка не зможе отримати більше ніж n−1n-1 цукерку.
10–11 класиІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-215

Вписаний чотирикутник HONM і точка B' на описаному колі

Нехай OO і HH — центр описаного кола й ортоцентр трикутника ABCABC відповідно. Позначимо середини BHBH і CHCH через MM і NN відповідно. Виберемо точку B′B' таким чином, що BB′BB' — діаметр описаного кола трикутника ABCABC. Доведіть, що коли чотирикутник HONMHONM вписаний, то B′N=12ACB'N=\frac{1}{2}AC.
10–11 класиСиметрія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-216

Відрізки на прямих через D паралельно сторонам

Чотирикутник ABCDABCD вписано в коло ω\omega. Пряма, що проходить через точку DD паралельно BCBC, перетинає пряму ACAC у точці PP, пряму ABAB — у точці QQ та вдруге перетинає ω\omega у точці RR. Пряма, що проходить через точку DD паралельно ABAB, перетинає пряму CACA в точці SS, пряму BCBC — у точці TT і вдруге перетинає ω\omega у точці UU. Доведіть, що коли PQ=QRPQ = QR, то ST=TUST = TU.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-217

Максимальна кількість рукостискань при однакових числах у незнайомців

На вечірці були присутніми 3636 людей, деякі з них були знайомі й потисли один одному руки. Після вечірки кожен її учасник порахував кількість рукостискань і виявилося, що жодні дві людини, які потисли руку однаковій кількості людей, не знайомі між собою. Знайдіть максимальну можливу кількість рукостискань. Примітка. Коли пара людей тисне один одному руки, то вважаємо це одним рукостисканням.
10–11 класиСтепені вершин
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-218

Розбиття чисел до 2015 і кількість елементів A

Нехай S={1,2,…,2015}=A∪BS=\{1,2,\ldots,2015\}=A\cup B, A∩B=∅A\cap B=\varnothing, A≠∅A\neq\varnothing, B≠∅B\neq\varnothing. Відомо, що: - 13∈A13\in A; - коли a∈Aa\in A і b∈Bb\in B, a+b∈Sa+b\in S, то a+b∈Ba+b\in B; - коли a∈Aa\in A і b∈Bb\in B, ab∈Sab\in S, то ab∈Aab\in A. Знайдіть кількість елементів множини AA.
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-15-16-219

Квадратні корені чисел від 1 до 2015 і прогресія

Доведіть, що множина {1,2,…,2015}\{\sqrt{1}, \sqrt{2}, \ldots, \sqrt{2015}\} не містить неконстантної арифметичної прогресії довжиною 4545.
10–11 класиРаціональні та ірраціональні числа

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.