Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

3 731 задача
9 клас
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-029

Найбільше n, для якого взаємно прості числа є простими

Знайти найбільше ціле число n⩾3n \geqslant 3, яке задовольняє умову: «для будь-якого цілого числа k∈{2,3,⋯ ,n}k \in \{2,3, \cdots, n\}, якщо kk і nn взаємно прості, то kk — просте число».
9–11 класиРозподіл простих чисел
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-028

Колінеарні точки в правильному шестикутнику

Нехай ABCDEFABCDEF — правильний шестикутник, а M∈[A,C],N∈[C,E]M \in [A, C], N \in [C, E]. Припустимо, що AMAC\frac{AM}{AC} і CNCE\frac{CN}{CE} дорівнюють числу r>0r > 0, а точки B,M,NB, M, N лежать на одній прямій. Знайдіть значення rr.
9–11 класиМетод координат
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-049

Раціональні розв'язки суми п'ятих степенів

Чи існують невід'ємні раціональні числа x,yx, y і zz такі, що: x5+2y5+5z5=11x^{5}+2 y^{5}+5 z^{5}=11
9–11 класиМіркування за модулем
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-047

Розбиття з рівними сумою та добутком

Нехай n⩾5n \geqslant 5 — натуральне число. Доведіть, що множину {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\} можна розбити на дві підмножини AA і BB такі, що сума елементів AA дорівнює добутку елементів BB.
9–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-050

Квадрат між послідовними сумами трикутних чисел

Для кожного цілого n⩾1n \geqslant 1 покладемо Sn=x1+x2+⋯+xnS_{n} = x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}, де xk=k(k+1)2x_{k} = \frac{k(k+1)}{2} для кожного k⩾1k \geqslant 1. Доведіть, що для кожного n⩾10n \geqslant 10 існує ціле число ana_{n} таке, що Sn−1<an2<SnS_{n-1} < a_{n}^{2} < S_{n}.
9–11 класиСуми послідовностей
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-048

Подвоєна відстань від центра до бісектриси

Вершина BB кута ABC^\widehat{A B C} лежить поза колом ω\omega, а промені [BA)[B A) і [BC)[B C) його перетинають. Нехай KK — точка перетину кола ω\omega з променем [BA)[B A). Перпендикуляр до бісектриси кута ABC^\widehat{A B C}, проведений через KK, перетинає коло вдруге в точці PP, а пряму (BC)(B C) — у точці MM. Доведіть, що відрізок [PM][P M] удвічі довший за відстань між центром кола ω\omega і бісектрисою кута ABC^\widehat{A B C}.
9–11 класиСиметрія
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-002

Забарвлені точки з умовою про точку всередині трикутника

Дано nn точок площини, жодні три з яких ніколи не лежать на одній прямій. Кожну з них пофарбовано в червоний або в синій колір. Припускається, що всередині кожного трикутника з червоними вершинами міститься рівно одна синя точка, а всередині кожного трикутника з синіми вершинами — одна червона точка. Яке найбільше можливе значення nn?
8–10 класиОпуклі множини
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-030

Парність популярних підмножин у двочастковому графі

Розглянемо скінченну множину EE хлопців і дівчат. Підмножина GG хлопців з EE називається популярною, якщо кожна дівчина з EE знає принаймні одного з хлопців з GG. Аналогічно, підмножина FF дівчат називається популярною, якщо кожен хлопець з EE знає принаймні одну з дівчат з FF. Припускаємо, що якщо aa знає bb, то bb знає aa. Доведіть, що кількість популярних підмножин, утворених хлопцями, має ту саму парність, що й кількість популярних підмножин, утворених дівчатами.
9–11 класиПідрахунок двома способами
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-051

Перетворення трійки взаємно простих чисел

Починаючи з трійки цілих чисел (x,y,z)(x, y, z), операція полягає в додаванні до одного з цих трьох чисел кратного одного з двох інших (це кратне може бути додатним або від'ємним). Доведіть, що якщо a,b,ca, b, c — цілі числа, взаємно прості в сукупності, то від трійки (a,b,c)(a, b, c) можна перейти до трійки (1,0,0)(1,0,0) не більш ніж за п'ять операцій.
9–11 класиКитайська теорема про остачі
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-031

Розфарбування раціональних чисел за x + 1 та 1/x

Доведіть, що існує єдиний спосіб пофарбувати кожне додатне раціональне число в червоний або в синій колір так, щоб: - числа xx і x+1x+1 були різних кольорів; - числа xx і 1x\frac{1}{x} були одного кольору; - число 11 було пофарбоване в червоний колір.
9–11 класиМетод математичної індукції
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-017

Внутрішній квартал у поділеному прямокутнику

Місто Готем-Сіті — це великий прямокутник, поділений на менші прямокутні квартали вулицями, паралельними краям міста. Припускається, що є принаймні одна вулиця і що жодна вулиця не перетинає місто наскрізь. Доведіть, що існує квартал, який не дотикається до краю міста.
8–10 класиШляхи на графах
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-003

Многочлени з однаковими самокомпозиціями

Нехай PP і QQ — два многочлени з дійсними коефіцієнтами, степеня n⩾0n \geqslant 0. Припустимо, що коефіцієнт при xnx^{n} кожного з цих двох многочленів дорівнює 11 і що для кожного дійсного xx маємо P(P(x))=Q(Q(x))P(P(x)) = Q(Q(x)). Доведіть, що P=QP = Q.
8–10 класиВластивості коефіцієнтів многочле…2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-004

Пряма через інцентри проходить через середину дуги

Коло ω\omega проходить через вершини BB і CC трикутника ABCA B C і перетинає сторони [AB][A B] і [AC][A C] у точках DD і EE відповідно. Відрізки [CD][C D] і [BE][B E] перетинаються в точці OO. Нехай MM і NN — центри вписаних кіл трикутників ADEA D E і ODEO D E відповідно. Доведіть, що середина дуги DED E (меншої з двох дуг) кола ω\omega лежить на прямій (MNM N).
8–10 класиТочка перетину бісектрис
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-032

Послідовні цілі числа зі зростанням найбільшого простого дільника

Для кожного цілого k⩾2k \geqslant 2 позначимо через P(k)\mathrm{P}(k) найбільший простий дільник числа kk. Доведіть, що існує нескінченно багато цілих чисел nn таких, що P(n)<P(n+1)<P(n+2)\mathrm{P}(n)<\mathrm{P}(n+1)<\mathrm{P}(n+2)
9–11 класиТеорема Евкліда про нескінченніст…
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-038

Рівність відрізків AB і CD у трьох колах

Нехай ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} — два кола, що перетинаються у двох точках XX і YY. Коло ω\omega дотикається зсередини до кіл ω1\omega_{1} і ω2\omega_{2} у точках PP і QQ відповідно. Відрізок [X,Y][X, Y] перетинає ω\omega у точках MM і NN. Промені [P,M)[P, M) і [P,N)[P, N) перетинають ω1\omega_{1} у точках AA і DD; промені [Q,M)[Q, M) і [Q,N)[Q, N) перетинають ω2\omega_{2} у точках BB і CC. Доведіть, що AB=CDA B=C D.
9–11 класиГомотерія і подібність
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-052

Перетин описаних кіл і бісектриса кута

Нехай ABCABC — трикутник. Нехай D∈[AC]D \in [AC] і E∈[AB]E \in [AB] такі, що BE=CDBE = CD. Нехай PP — точка перетину прямих (BD)(BD) і (CE)(CE). Описані кола трикутників BEPBEP і CDPCDP перетинаються вдруге в точці QQ. Нехай KK і LL — середини відрізків [BE][BE] і [CD][CD] відповідно. Нехай RR — перетин перпендикуляра до прямої (QK)(QK), проведеного через KK, і перпендикуляра до прямої (QL)(QL), проведеного через LL. Доведіть, що 1) RR лежить на описаному колі трикутника ABCABC; 2) QQ лежить на бісектрисі кута BAC^\widehat{BAC}.
9–11 класиПоворотна гомотетія
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-033

Натуральні k з розв'язком квадратичного діофантового рівняння

Знайдіть усі натуральні числа k>0k>0 такі, що рівняння відносно xx і yy: x(x+k)=y(y+1)x(x+k)=y(y+1) має розв'язок у додатних цілих числах.
9–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-005

Центр вписаного кола і середні лінії описаного чотирикутника

Коло з центром OO вписане в чотирикутник ABCDA B C D, сторони якого не паралельні. Доведіть, що точка OO збігається з точкою перетину середніх ліній чотирикутника тоді й лише тоді, коли OA⋅OC=OB⋅ODO A \cdot O C=O B \cdot O D. (Середня лінія чотирикутника — це пряма, що сполучає середини протилежних сторін.)
8–10 класиВписане коло2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-006

Родина підмножин з непорожнім потрійним перетином

Нехай EE — множина з nn елементів, а F\mathscr{F} — множина підмножин EE, для якої ∣F∣=2n−1|\mathscr{F}| = 2^{n-1} і для будь-яких AA, BB і CC з F\mathscr{F} перетин A∩B∩CA \cap B \cap C непорожній. Доведіть, що перетин усіх елементів F\mathscr{F} непорожній.
8–10 класиСиметрія та розбиття на пари
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-007

Екстремальні значення вкладеного мін-максу

Нехай n>0n>0 — натуральне число, а x1,⋯ ,xnx_{1}, \cdots, x_{n} — додатні дійсні числа. Доведіть, що: max⁡x1>0,⋯ ,xn>0min⁡(x1,1x1+x2,⋯ ,1xn−1+xn,1xn)=min⁡x1>0,⋯ ,xn>0max⁡(x1,1x1+x2,⋯ ,1xn−1+xn,1xn)=2cos⁡(πn+2).\begin{gathered} \max _{x_{1}>0, \cdots, x_{n}>0} \min \left(x_{1}, \frac{1}{x_{1}}+x_{2}, \cdots, \frac{1}{x_{n-1}}+x_{n}, \frac{1}{x_{n}}\right)= \\ \min _{x_{1}>0, \cdots, x_{n}>0} \max \left(x_{1}, \frac{1}{x_{1}}+x_{2}, \cdots, \frac{1}{x_{n-1}}+x_{n}, \frac{1}{x_{n}}\right)=2 \cos \left(\frac{\pi}{n+2}\right) . \end{gathered}
8–10 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-034

Прямі через вершини до других перетинів дотичних кіл

Позначимо через II центр вписаного кола γ\gamma трикутника ABCABC і через OO центр його описаного кола. Нехай ωA\omega_{A} — коло, яке проходить через BB і CC і дотикається до кола γ\gamma. Кола ωB\omega_{B} і ωC\omega_{C} визначаються аналогічно. Позначимо через A′A' другу спільну точку кіл ωB\omega_{B} і ωC\omega_{C}. Точки B′B' і C′C' визначаються аналогічно. Доведіть, що прямі (AA′),(BB′)\left(AA'\right), \left(BB'\right) і (CC′)\left(CC'\right) перетинаються в одній точці KK, яка лежить на одній прямій з OO і II.
9–11 класиРадикальна вісь
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-001

Точки на одному колі у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник. Нехай KK — точка перетину діагоналей. Нехай MM і NN — середини відрізків [A,C][A, C] і [B,D][B, D] відповідно. Описані кола трикутників ADMADM і BCMBCM перетинаються в точці LL. Доведіть, що точки K,L,M,NK, L, M, N лежать на одному колі.
9–11 класиПоворотна гомотетія
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-035

Обмеження на НСК для попарно різних цілих чисел

Нехай n⩾5n \geqslant 5 — ціле число. Нехай a1,…,ana_{1}, \ldots, a_{n} — попарно різні цілі числа з {1,…,2n}\{1, \ldots, 2n\}. Доведіть, що існують індекси i,j∈{1,…,n}i, j \in \{1, \ldots, n\} з i≠ji \neq j такі, що НСК(ai,aj)⩽6(E(n2)+1)\text{НСК}\left(a_{i}, a_{j}\right) \leqslant 6\left(E\left(\frac{n}{2}\right)+1\right) де E(x)E(x) позначає цілу частину числа xx.
9–11 класиНСД та НСК
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2013-004

Ймовірність угадати принаймні одну відповідь

Маттео має скласти тест із вибором відповіді з 11 запитань. Кожне запитання має лише одну правильну відповідь. Перше запитання має 2 можливі відповіді (A і B), друге запитання має 3 можливі відповіді ({A},{B},{C}\{A\}, \{B\}, \{C\}), і так далі, аж до одинадцятого запитання, яке має 12 можливих відповідей. Яка ймовірність того, що, відповідаючи на тест навмання, Маттео дасть принаймні одну правильну відповідь? (A) 112!\frac{1}{12!} (B) 1144\frac{1}{144} (C) 12\frac{1}{2} (D) 1112\frac{11}{12} (E) 121144\frac{121}{144}
9–11 класиПравила суму та добутку
Проєкт Італійської математичної олімпіадиITAMP-2013-005

Лицарі та брехуни про вболівання за команди

На острові Лицарів (які завжди кажуть правду) і Брехунів (які завжди брешуть) проводять опитування серед 2013 мешканців, у якому є три запитання: «Вболіваєш за команду A?», «Вболіваєш за команду B?» і «Вболіваєш за команду C?». Відомо, що кожен острів'янин відповідає на всі три запитання і вболіває за одну і лише одну з трьох команд. Якщо відповідей «Так» загалом 3000, скільки серед острів'ян Лицарів? (A) 987 (B) 1023 (C) 1026 (D) 2013 (E) За наведеними даними визначити неможливо.
9–11 класиЛінійні рівняння та системи

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.