Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

3 731 задача
9 клас
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-067

Сума степенів дорівнює степеню десяти

Знайдіть усі пари натуральних чисел (m,n)\left(m, n\right), для яких: 1+2n+3n+4n=10m1+2^{n}+3^{n}+4^{n}=10^{m}
8–10 класиМіркування за модулем
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-075

Подільність у показниковому діофантовому рівнянні

Нехай x>1x > 1 і yy — цілі числа, що задовольняють 2x2−1=y152 x^{2} - 1 = y^{15}. Доведіть, що xx ділиться на 55.
9–11 класиМетод факторизації (розкладання н…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-113

Коло через точку бісектриси і середину сторони

Нехай ABCABC — трикутник, DD — середина дуги BCBC описаного кола трикутника ABCABC, яка не містить AA, ZZ — єдина точка на зовнішній бісектрисі кута BAC^\widehat{BAC} така, що ZA=ZCZA = ZC. Доведіть, що коло ADZADZ проходить через середину сторони [AB][AB].
9–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-001

Характеризація чисел з конгруенцією для степенів

Охарактеризуйте цілі числа n≥2n \geq 2 такі, що для будь-якого цілого числа aa виконується an+1≡a(modn)a^{n+1} \equiv a \pmod{n}.
8–10 класиКитайська теорема про остачі
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-090

Дільники чисел kp+1 між k і p

Нехай p⩾3p \geqslant 3 — просте число. Для k∈Nk \in \mathbb{N}, яке задовольняє 1⩽k⩽p−11 \leqslant k \leqslant p-1, через aka_k позначено кількість дільників числа kp+1kp+1, які містяться строго між kk і pp. Чому дорівнює a1+a2+…+ap−1a_1+a_2+\ldots+a_{p-1}?
8–10 класиАрифметика остач (базові властиво…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-091

Колінеарність у трикутнику з центром описаного кола

Нехай ABCABC — трикутник. Позначимо через DD і EE середини сторін ABAB і ACAC відповідно. Нехай OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. Позначимо через KK точку перетину прямих (OE)(OE) і (BC)(BC). Позначимо через LL другу точку перетину прямої (OD)(OD) з описаним колом трикутника OKBOKB. Позначимо через FF ортогональну проєкцію точки AA на пряму (KL)(KL). Доведіть, що точки DD, EE і FF лежать на одній прямій.
8–10 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-007

Дійсні многочлени зі сталою різницею

Знайти всі многочлени з дійсними коефіцієнтами PP такі, що многочлен (X+1)P(X−1)−(X−1)P(X)(X+1) P(X-1)-(X-1) P(X) є сталим.
8–10 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-092

Зовні дотичні кола та серединний перпендикуляр

Два кола з центрами відповідно BB і CC та з різними радіусами дотикаються зовні в точці AA. Нехай tt — спільна дотична до обох кіл, яка не містить точки AA. Перпендикуляр до прямої tt, проведений через точку AA, перетинає серединний перпендикуляр до відрізка [BC][BC] в точці FF. Доведіть, що BC=2AFBC = 2AF.
8–10 класиКола, що дотикаються
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-093

Паралелограм, утворений центрами трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, не рівнобедрений з вершиною AA. Нехай MM — середина відрізка [BC][BC], HH — ортоцентр трикутника ABCABC, O1O_{1} — середина відрізка [AH][AH], а O2O_{2} — центр описаного кола трикутника CBHCBH. Доведіть, що чотирикутник O1AMO2O_{1}AMO_{2} — паралелограм.
8–10 класиТочка перетину висот
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-011

Сума модулів попарних сум

Нехай x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n} — довільні дійсні числа. Доведіть, що ∑i=1n∑j=1n∣xi+xj∣⩾n∑i=1n∣xi∣.\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left|x_{i}+x_{j}\right| \geqslant n \sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right| .
8–10 класиЧислові нерівності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-008

Прості різниці у послідовності через НСД

Нехай k≥3k \geq 3 — ціле число. Визначимо послідовність (an)n≥k\left(a_{n}\right)_{n \geq k} формулами ak=2ka_{k}=2k і an={an−1+1 якщо НСД(an−1,n)=12n інакше. a_{n}= \begin{cases}a_{n-1}+1 & \text{ якщо } \text{НСД}\left(a_{n-1}, n\right)=1 \\ 2n & \text{ інакше. }\end{cases} Доведіть, що послідовність (an+1−an)n≥k\left(a_{n+1}-a_{n}\right)_{n \geq k} має нескінченно багато членів, які є простими числами.
8–10 класиАлгоритм Евкліда
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-094

Спільна точка дотичної, висоти та перпендикуляра

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник, ω\omega — його описане коло, а OO — центр кола ω\omega. Перпендикуляр, проведений з AA до прямої (BC)(BC), перетинає (BC)(BC) в точці DD, а коло ω\omega — в точці EE. Нехай FF — точка на відрізку [AE][AE] така, що 2⋅FD=AE2 \cdot FD = AE. Нехай ℓ\ell — перпендикуляр до прямої (OF)(OF), що проходить через FF. Доведіть, що пряма ℓ\ell, пряма (BC)(BC) і дотична до кола ω\omega в точці EE перетинаються в одній точці.
8–10 класиСтепінь точки відносно кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-069

Перестановка з подільністю часткових сум

Знайдіть усі натуральні числа n⩾1n \geqslant 1 такі, що існує перестановка (a1,a2,…,an)(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}) чисел (1,2,…,n)(1,2, \ldots, n), яка задовольняє таку умову: k∣a1+a2+…+akk \mid a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k} для всіх k∈{1,2,…,n}k \in\{1,2, \ldots, n\}.
8–10 класиДільники та кратні (базові власти…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-096

Дотична до вписаного кола в рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник. Нехай XX — точка прямої (BC)(BC), відмінна від BB і CC. Нехай YY і ZZ — точки на прямих (AB)(AB) і (AC)(AC) такі, що обидві прямі (BZ)(BZ) і (CY)(CY) паралельні прямій (AX)(AX). Пряма (XY)(XY) перетинає пряму (AC)(AC) у точці MM, а пряма (XZ)(XZ) перетинає пряму (AB)(AB) у точці NN. Доведіть, що пряма (MN)(MN) дотикається до вписаного кола трикутника ABCABC.
8–10 класиЗовнівписане коло
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-015

Взаємно просте n, що уникає точних степенів

Нехай tt — натуральне число, відмінне від нуля. Доведіть, що існує ціле число n>1n>1, взаємно просте з tt, таке, що для будь-якого цілого k≥1k \geq 1 число nk+tn^{k}+t не є степенем (тобто не має вигляду mrm^{r} де m≥1m \geq 1 та r≥2r \geq 2).
8–10 класиОсновна теорема арифметики
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-097

Дотичні та паралелі в описаному колі трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, Γ\Gamma — його описане коло, а ω\omega — коло з тим самим центром, що й Γ\Gamma, дотичне до прямої (BC)(BC). Дотичні до кола ω\omega, що проходять через AA, перетинають (BC)(BC) в точці XX з боку BB та в точці YY з боку CC. Дотична до кола Γ\Gamma в точці BB і пряма, паралельна до прямої (AC)(AC), що проходить через XX, перетинаються в точці SS, а дотична до кола Γ\Gamma в точці CC і пряма, паралельна до прямої (AB)(AB), що проходить через YY, перетинаються в точці TT. Доведіть, що пряма (ST)(ST) дотикається до кола Γ\Gamma.
8–10 класиДотична кола
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-0000-017

Функціональне рівняння на додатних дійсних числах

Нехай R+∗\mathbb{R}_{+}^{*} — множина додатних дійсних чисел. Знайдіть усі функції f:R+∗⟶R+∗f: \mathbb{R}_{+}^{*} \longrightarrow \mathbb{R}_{+}^{*} такі, що для всіх x,y>0x, y>0 виконується f(f(x)yf(x)+1)=xxf(y)+1f\left(\frac{f(x)}{y f(x)+1}\right)=\frac{x}{x f(y)+1}
8–10 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Інші змаганняMISC-0000-086

Найменше додатне ціле число ланцюжком операцій

Починаючи з числа 265863265863 і використавши по одному разу кожну з операцій ++, −-, ×\times, ::, а також по одному разу числа 5151, 221221, 68176817, 1325913259, можна отримати різні числа, наприклад 5491154911: 265863→:2211203→×5161353→−1325948094→+681754911265863 \xrightarrow{:221} 1203 \xrightarrow{\times 51} 61353 \xrightarrow{-13259} 48094 \xrightarrow{+6817} 54911 Знайдіть ланцюжок, який дає найменше додатне ціле число.
8–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Інші змаганняMISC-0000-128

Однакові суми вздовж сторін трикутника і квадрата

Аманда намалювала таку фігуру: Зауважимо, що сума вздовж будь-якої сторони трикутника вище завжди однакова, бо, як можна перевірити, 1+3+6=6+2+2=1+7+21+3+6=6+2+2=1+7+2 a) Впишіть числа, яких бракує, у кружечки на фігурі нижче так, щоб суми вздовж будь-якої сторони квадрата завжди були однаковими. b) Знайдіть спосіб розставити числа в кружечках так, щоб суми вздовж будь-якої лінії завжди були однаковими. Чи існує більше ніж один розв'язок? c) На фігурі нижче, яку намальовано лише частково (через брак місця!), сума вздовж кожного відрізка також завжди однакова. Проте Аманда стерла всі числа, крім двох чисел, показаних на фігурі (3 і 4). Відомо, що на малюнку є 40 кружечків. Чи можна дізнатися, які числа були в кружечках, зафарбованих у світло-сірий і темно-сірий кольори?
8–9 класиЛінійні рівняння та системи
Інші змаганняMISC-0000-129

З'єднання шматків ланцюга в кільце за мінімальний час

У майстерні Зе є шість шматків ланцюгів з такою кількістю ланок: 10,10,8,8,510, 10, 8, 8, 5 і 22. Йому потрібно з'єднати ці шматки, щоб утворити круговий ланцюг. Він витрачає 1 хвилину, щоб розрізати ланку, і 2 хвилини, щоб з'єднати її, тобто загалом 3 хвилини на ланку. Якщо він розріже по одній ланці на кінці кожного окремого шматка, з'єднуючи шматки по одному за раз, йому знадобиться 6⋅3=186 \cdot 3 = 18 хвилин. Однак, оскільки він поспішає, він хоче виконати цю роботу швидше. a) Скажіть, як він може утворити круговий ланцюг, витративши лише 15 хвилин. b) Чи можливо йому виконати цю роботу менш ніж за 15 хвилин?
8–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Інші змаганняMISC-0000-130

Кут при паралельних відрізках

На рисунку нижче відрізки ABAB і CDCD паралельні. Якщо ∠CIJ=10β\angle CIJ = 10\beta, ∠AGJ=10α\angle AGJ = 10\alpha, ∠CEJ=6α\angle CEJ = 6\alpha і ∠JFG=6β\angle JFG = 6\beta, визначте величину кута ∠IJK\angle IJK.
8–9 класиПаралельні прямі і січна
Інші змаганняMISC-0000-198

Розсадка за столом з підказками про штати

Амелія, Бруно, Констансія і Деніз — четверо друзів, які мешкають у різних штатах і сидять за квадратним столом, кожен займає один бік столу. - Праворуч від Амелії сидить той, хто мешкає в Амазонасі; - Навпроти Констансії сидить особа, яка мешкає в Сан-Паулу; - Бруно і Деніз сидять один біля одного; - Одна жінка сидить ліворуч від особи, яка мешкає в Сеарі. - Один із чотирьох мешкає в Баїї. Хто?
6–11 класиРозбиття на випадки
Інші змаганняMISC-0000-131

Нерівність трикутника для довжин сторін

a) У трикутнику зі сторонами aa, bb і cc сума двох сторін завжди більша за третю сторону. Наприклад, у поданому нижче трикутнику зі сторонами aa, bb і cc, виконується нерівність a<b+ca < b + c. Крім того, виконуються ще дві нерівності. Які саме? b) На рисунку нижче можна побачити прямокутник, менша сторона якого дорівнює 3, а більша сторона дорівнює 8. Припустімо, що a≠ba \neq b. Доведіть, що a+b>10a + b > 10. Підказка: скопіюйте такий самий прямокутник зверху на намальований! c) На кожній стороні квадрата вибрано точку. Далі ці точки сполучено так, що утворився чотирикутник, як показано на рисунку нижче: Доведіть, що периметр цього чотирикутника (сума довжин сторін) не менший за подвоєну довжину діагоналі квадрата. Підказка: намалюйте кілька квадратів, рівних даному квадрату!
8–9 класиНерівність трикутника
Інші змаганняMISC-0000-094

Час зустрічі човна та буя

Моторний човен о 10:00 скидає буй у річку з прямими паралельними берегами і починає рухатися проти течії до 10:15. Після цього він розвертається і так само рухається вздовж річки. О котрій годині човен знову зустріне буй?
8–9 класиЛінійні заміни (зведення до нуля,…
Інші змаганняMISC-0000-132

Множення на 9, що обертає цифри

Число 10891089 має цікаву властивість. Коли ми множимо це число на 99, як показано нижче, | 1 | 0 | 8 | 9 | |:--- |:--- |:--- |:--- | | | | ×\times | 9 | | 9 | 8 | 0 | 1 | отримуємо число 98019801, яке є числом 10891089 з його цифрами, записаними справа наліво! a) Знайдіть п'ятицифрове число ABCDEA B C D E таке, що його добуток на 99 дорівнює числу, яке має цифри числа ABCDEA B C D E, записані справа наліво, тобто | AA | BB | CC | DD | EE | |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: | | | | | ×\times | 9 | | EE | DD | CC | BB | AA | b) Знайдіть усі семицифрові числа, множення яких на 99, як раніше, обертає порядок їхніх цифр.
8–9 класиРозклад по розрядах, десяткові др…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.