Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

3 731 задача
9 клас
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-075

Система трьох рівнянь для трійки дійсних чисел

Знайдіть усі трійки дійсних чисел (x,y,z)(x, y, z), що задовольняють систему рівнянь {(x+20)(y+12)(z−4)=1215,(x+20)(y−12)(z+4)=1215,(x−20)(y+12)(z+4)=1215.\begin{cases} (x+20)(y+12)(z-4) = 1215, \\ (x+20)(y-12)(z+4) = 1215, \\ (x-20)(y+12)(z+4) = 1215. \end{cases}
9 класРівняння вищих степенів та системи
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-076

Цифровий рядок і найбільша довжина похідного рядка

Розглянемо деякий цифровий рядок AA, наприклад: 03161011511417191111,03161011511417191111, який містить дві цифри 00, 1212 цифр 11, нуль цифр 22, одну цифру 33 і так далі. За цим рядком ми будуємо похідний рядок BB: спочатку записуємо, скільки було цифр 00, потім — скільки було цифр 11, затим — скільки було цифр 22, і так далі. При цьому якщо така кількість була не одноцифровим числом, то записуємо його як окремі цифри, наприклад, число 1212 — як цифри 11 і 22. Таким чином отримуємо похідний цифровий рядок BB для наведеного прикладу: 21201111101.21201111101. Якщо цифровий рядок містить менше ніж 10001000 цифр, то яку найбільшу кількість цифр може містити відповідний похідний рядок?
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-077

Трапеція, діагоналі та площі двох трикутників

У трапеції ABCDABCD провели діагоналі ACAC та BDBD. Два з утворених трикутників мали площу 6464 та 100100. Якою може бути площа трапеції? Укажіть усі можливі відповіді.
9 класВідношення площ трикутників
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-078

Система рівнянь з квадратними коренями з добутків

Розв'яжіть систему рівнянь {xz+xy−x=2,yz+xy−y=3,xz+zy−z=4.\begin{cases} \sqrt{xz} + \sqrt{xy} - x = 2, \\ \sqrt{yz} + \sqrt{xy} - y = 3, \\ \sqrt{xz} + \sqrt{zy} - z = 4. \end{cases}
9 класРівняння вищих степенів та системи
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-079

Кількість лицарів поміж чотирма мешканцями острова

На острові, де живуть чи то лицарі, що завжди кажуть правду, чи то брехуни, що завжди брешуть, зустрілися чотири мешканці: Андрій, Богдан, Віка та Дарина. Кожен сказав про їхню зустріч таке. Андрій: «Поміж нас є щонайменше один брехун». Богдан: «Поміж нас є максимум троє лицарів». Віка: «Поміж нас мінімум троє брехунів». Дарина: «Поміж нас немає лицарів». Скільки поміж цих чотирьох мешканців можуть бути лицарями? Укажіть усі можливі відповіді.
9 класРозбиття на випадки
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-080

Многокутник на 2012 точках кола без паралельних сторін

На колі відмічено 20122012 точок, що розбивають його на однакові дуги. Із цих точок вибрали деякі kk точок та побудували на них як на вершинах опуклий kk-кутник. При якому найбільшому kk у цього многокутника не може виявитися двох паралельних сторін?
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-081

Існування цілих a і b для рівнянь з x²

Чи існують такі цілі числа aa та bb, що рівняння x2+2ax+b=0x^2 + 2ax + b = 0 не має коренів, а рівняння [x2]+2ax+b=0[x^2] + 2ax + b = 0 має корені?
9 класЦіла та дробова частини числа
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-082

Прямокутник з точкою E і дотик прямої PH

На продовженні сторони ADAD за точку DD прямокутника ABCDABCD вибрано точку EE. Промінь ECEC вдруге перетинає коло ω\omega, описане навколо трикутника ABEABE, у точці FF. Промені DCDC та AFAF перетинаються в точці PP. На пряму ll, яка паралельна прямій AFAF та яка проходить через точку EE, опущено перпендикуляр CHCH. Доведіть, що пряма PHPH дотикається до кола ω\omega.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-083

Послідовність з квадратним коренем і сума обернених

Послідовність (xn)(x_n) визначено таким чином: x1=1x_1 = 1, xn=xn−1+xn−1x_n = x_{n-1} + \sqrt{x_{n-1}}, n⩾2n \geqslant 2. Доведіть, що 1x1+1x2+…+1x2022<3\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \ldots + \dfrac{1}{x_{2022}} < 3.
9 класСуми послідовностей
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-084

Гарні цілі числа і послідовні натуральні числа

Ціле число xx назвемо гарним, якщо число x2x^2 має непарну остачу від ділення на натуральне число nn, де n>1n > 1. Доведіть, що не існує більше ніж 1+[3n]1+\left[\sqrt{3n}\right] послідовних натуральних чисел, кожне з яких є гарним.
9 класЦіла та дробова частини числа
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-085

Сума трьох дробів з додатними x, y, z

Доведіть для довільних додатних xx, yy, zz нерівність x(2x−y)y(2z+x)+y(2y−z)z(2x+y)+z(2z−x)x(2y+z)⩾1.\frac{x(2x-y)}{y(2z+x)}+\frac{y(2y-z)}{z(2x+y)}+\frac{z(2z-x)}{x(2y+z)}\geqslant 1.
9 класНерівність Коші-Буняковського
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-086

Пряма HQ і описане коло трикутника FHK

Нехай точка HH — ортоцентр гострокутного різностороннього трикутника ABCABC, F≠AF \ne A — точка на описаному колі трикутника ABCABC, для якої ∠AFH=90∘\angle AFH = 90^\circ. Точка KK симетрична точці HH відносно точки BB, точка PP така, що ∠PHB=∠PBC=90∘\angle PHB = \angle PBC = 90^\circ, і точка QQ — основа перпендикуляра, опущеного з точки BB на пряму CPCP. Доведіть, що пряма HQHQ дотикається до описаного кола трикутника FHKFHK.
9 класДотична кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-087

Замощення прямокутника непарною кількістю L9-тетраміно

Назвемо фігуркою L9L9-тетраміно таку сукупність із 99 квадратиків 1×11 \times 1, що утворюється, якщо з прямокутника 2×82 \times 8 вирізати прямокутник 1×71 \times 7. Чи можна непарною кількістю L9L9-тетраміно замостити деякий прямокутник?
9 класРозрізання, покриття та замощення
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-088

Рівносторонній многокутник у колі та двоколірні відрізки

Усередині кола γ\gamma розташовано опуклий nn-кутник A1A2…AnA_1A_2\ldots A_n, який має всі сторони рівні. Для кожного i=1,n‾i=\overline{1,n} на колі γ\gamma вибирають точки BiB_i та CiC_i так, щоб на відрізку BiCiB_iC_i точки BiB_i, AiA_i, Ai+1A_{i+1}, CiC_i були розташовані в указаному порядку, при цьому Bn+1=B1B_{n+1}=B_1. Далі всі 2n2n відрізків BiAiB_iA_i та CiAi+1C_iA_{i+1} треба пофарбувати в жовтий або синій колір. Чи завжди можна так їх пофарбувати, щоб сума довжин синіх відрізків дорівнювала сумі довжин жовтих?
9 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-089

Послідовність з нульовою сумою і максимуми модулів

Нехай a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n — послідовність дійсних чисел з нульовою сумою. Визначимо послідовність bi=a1+a2+…+aib_i = a_1 + a_2 + \ldots + a_i, i=1,n‾i = \overline{1, n}. Доведіть, що коли bi(aj+1−ai+1)⩾0b_i (a_{j+1} - a_{i+1}) \geqslant 0, 1⩽i⩽j⩽n−11 \leqslant i \leqslant j \leqslant n - 1, то справджується нерівність max⁡1⩽l⩽n∣al∣⩾max⁡1⩽m⩽n∣bm∣.\max_{1 \leqslant l \leqslant n} |a_l| \geqslant \max_{1 \leqslant m \leqslant n} |b_m|.
9 класПослідовності (інші властивості)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-090

Нерівність для чотирьох чисел із сумою квадратів 4

Доведіть, що для чисел aa, bb, cc, dd, які задовольняють умову a2+b2+c2+d2=4a^2+b^2+c^2+d^2=4, справджується нерівність (2+a)(2+b)⩾cd.(2+a)(2+b)\geqslant cd.
9 класНерівність Коші
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-091

Рівність кутів із серединою сторони трикутника

Точка DD — середина сторони BCBC трикутника ABCABC, а точка PP лежить усередині трикутника ABDABD, так що справджується рівність ∠PAD=90∘−∠PBD=∠CAD\angle PAD = 90^\circ - \angle PBD = \angle CAD. Доведіть, що ∠PQB=∠BAC\angle PQB = \angle BAC, де Q=PC∩ADQ = PC \cap AD.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-092

Розфарбування ребер піраміди у грі Аліси і Боба

Маємо kk різних кольорів і піраміду, в основі якої лежить 20162016-кутник. Аліса та Боб вибирають по черзі ще незафарбоване ребро піраміди та фарбують його в один із заданих кольорів так, щоб жодні два суміжних ребра (ті, що мають спільну вершину) не були пофарбовані в однаковий колір. Розпочинає фарбування Аліса. При якому найменшому kk Боб зможе належним чином зафарбувати всі ребра піраміди?
9 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-093

Максимальна кількість очок при заповненні таблиці n×n

Нехай n⩾3n \geqslant 3 — непарне число. Ми проводимо заповнення таблиці n×nn \times n, що поділена на n2n^2 комірок 1×11 \times 1, числами 1,2,…,n21, 2, \ldots, n^2. Числа ставимо по одному в довільному порядку в будь-яку порожню на даний момент комірку. При цьому на кожному ході, коли ми ставимо певне число в комірку, розташовану на перетині ii-го рядка та jj-го стовпця, рахуємо суми чисел, що стоять на даний момент у відповідному рядку та відповідному стовпці. Якщо якась із них кратна nn, то ми отримуємо 11 очко за кожну таку лінію, де сума кратна nn. За один хід можна отримати 00, 11 чи 22 очки. Яку максимальну кількість очок можна отримати, заповнивши всю таблицю?
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-094

Натуральні n зі степенями для сторін трикутника

Знайдіть усі натуральні nn, які мають таку властивість: для будь-якої трійки додатних дійсних чисел (a,b,c)(a, b, c) існує така трійка цілих невід'ємних чисел (k,l,m)(k, l, m), що числа ankan^k, bnlbn^l, cnmcn^m є сторонами деякого невиродженого трикутника.
9 класНерівність трикутника
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-095

Порівняння двох чисел з факторіалами

Яке число більше: (100!)!(100!)! чи (99!)100!⋅(100!)99!(99!)^{100!} \cdot (100!)^{99!}?
9 класЧислові нерівності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-096

Спільний елемент квадратичних множин з однаковою кількістю елементів

Непорожню скінченну множину AA натуральних чисел називають квадратичною, якщо сума всіх елементів множини AA дорівнює квадрату кількості її елементів. Доведіть, що якщо дві квадратичні множини мають однакову кількість елементів, то вони містять принаймні один спільний елемент.
9 класЧислові нерівності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-097

Дотичні в точці C і бісектриса кута BPC

Точка DD розташована всередині різностороннього трикутника ABCABC так, що ∠ADB=90∘+12∠ACB\angle ADB = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle ACB. Дотичні в точці CC до описаних кіл трикутників ABCABC та ADCADC перетинають прямі ABAB та ADAD відповідно в точках PP і QQ. Доведіть, що промінь PQPQ — бісектриса кута BPCBPC.
9 класРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-098

Неспадна послідовність з 25 числами, сума і рівність

Нехай x0,x1,x2,…,x2017x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{2017} — неспадна послідовність натуральних чисел. Припустимо, що x0=1x_0 = 1, а підпослідовність x1,x2,…,x2017x_1, x_2, \ldots, x_{2017} містить рівно 2525 різних натуральних чисел. Доведіть, що ∑i=22017xi(xi−xi−2)⩾623\sum\limits_{i=2}^{2017} x_i (x_i - x_{i-2}) \geqslant 623. Знайдіть загальну кількість таких послідовностей, для яких досягається рівність у наведеній оцінці.
9 класСуми послідовностей
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-23-24-099

Коло через вершини B і C рівнобедреного трикутника

У рівнобедреному трикутнику ABCABC з бічними сторонами AB=BCAB = BC проведено коло, що проходить через вершини BB і CC, перетинає сторону ABAB та висоту BHBH у точках DD та MM відповідно. Доведіть, що трикутник AMDAMD — рівнобедрений.
9 класЦентральні і вписані кути

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.