Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

3 731 задача
9 клас
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-069

Площа п’ятикутника з двох квадратів зі стороною 1

П’ятикутник ABCQRABCQR (рис. 8.2) утворено із квадратів ABCDABCD та APQRAPQR зі стороною 11, де другий квадрат повернуто навколо вершини AA на 60∘60^\circ, тобто ∠PAB=60∘\angle PAB = 60^\circ. Знайдіть площу цього п’ятикутника.
9 класРозбиття і перекидання площ
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-070

Сума квадратів натуральних дільників числа 1800

Знайдіть суму квадратів натуральних дільників числа 18001800.
9 класСума дільників σ(n)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-071

Усі пари чисел, що задовольняють систему рівнянь

Знайдіть усі пари чисел (x,y)(x, y), які задовольняють систему рівнянь {x2+y=xy2,2x2y+y2=x+y+3xy.\begin{cases} x^2 + y = xy^2, \\ 2x^2y + y^2 = x + y + 3xy. \end{cases}
9 класРівняння вищих степенів та системи
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-072

Рівняння з біноміальними коефіцієнтами при xₙ = 100

Відомо, що числа x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n задовольняють такі умови: C22x1=C44, C32x1+C22x2=C54, …, Cn+12x1+Cn2x2+…+C22xn=Cn+34.C_2^2 x_1 = C_4^4,\ C_3^2 x_1 + C_2^2 x_2 = C_5^4,\ \ldots,\ C_{n+1}^2 x_1 + C_n^2 x_2 + \ldots + C_2^2 x_n = C_{n+3}^4. Яким може бути значення nn, якщо xn=100x_n = 100?
9 класВластивості біноміальних коефіціє…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-073

Розбиття множини 1…n на дві множини із середнім

Скільки існує натуральних чисел n⩽2022n \leqslant 2022, для яких множину M={1,2,…,n}M = \{1, 2, \ldots, n\} можна поділити на дві множини AA, BB: A∪B=MA \cup B = M, A∩B=∅A \cap B = \varnothing, якщо кожна з множин AA, BB містить однакову кількість елементів та як елемент середнє арифметичне всіх своїх елементів?
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-074

Система двох кубічних рівнянь з параметром a

Нехай задано число aa. Знайдіть усі пари чисел (x,y)(x, y), що задовольняють систему рівнянь {y2=x3+(a−1)x2+a2x,x2=y3+(a−1)y2+a2y.\begin{cases} y^2 = x^3 + (a - 1)x^2 + a^2x, \\ x^2 = y^3 + (a - 1)y^2 + a^2y. \end{cases}
9 класСиметричні системи рівнянь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-075

Хорда посередині між двома паралельними хордами

Дві паралельні хорди мають довжини 2424 та 3232, а відстань між ними дорівнює 1414. Якою буде довжина хорди, що розташована рівно посередині між ними? Знайдіть усі можливі відповіді.
9 класМетричні співвідношення в колі
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-076

Цілочисельний трикутник з периметром 65 і паралелограм ADMI

Трикутник ABCABC має сторони, довжини яких задано цілими числами, а периметр дорівнює 6565. Точка MM — середина сторони BCBC, вписане коло із центром у точці II дотикається до сторін ABAB та ACAC у точках EE та FF відповідно, точка DD — проєкція точки MM на пряму EFEF. Відомо, що чотирикутник ADMIADMI — паралелограм. Знайдіть значення добутку AB⋅BC⋅CAAB \cdot BC \cdot CA.
9 класЗастосування тригонометрії
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-077

Рівність кутів у прямокутному трикутнику з середньою лінією

У прямокутному трикутнику ABCABC на середній лінії MNMN, що паралельна гіпотенузі ABAB, вибрано точку OO, так що ∠AOC=90∘\angle AOC = 90^\circ. На відрізку AOAO вибрано так точку PP, що ∠ACP=∠BCO\angle ACP = \angle BCO. Доведіть, що ∠ABP=∠CBO\angle ABP = \angle CBO.
9 класЛанцюжок подібних трикутників
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-078

Усі пари простих чисел із заданою рівністю

Знайдіть усі пари простих чисел (p,q)(p, q), що задовольняють рівність p3+7q=q9+5p2+18p.p^3 + 7q = q^9 + 5p^2 + 18p.
9 класМетод оцінок, що веде до малого п…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-079

Нерівність з коренями та оцінка для a

Дійсні числа a⩾b,ca \geqslant b, c задовольняють умову a−b+a−c⩾b+c.\sqrt{a-b}+\sqrt{a-c} \geqslant \sqrt{b+c}. Доведіть, що справджується нерівність a⩾34(b+c)a \geqslant \frac{3}{4}(b+c).
9 класНерівність Коші
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-080

Прямокутний трикутник, коло та рівність відрізків

У прямокутному трикутнику ABCABC із прямим кутом ACBACB на катеті BCBC вибрали точку MM. Навколо трикутника AMBAMB описали коло ω\omega, яке перетинає катет ACAC. У трикутнику AMBAMB провели бісектрису AKAK. На колі ω\omega вибрали таку точку PP, що ∠AMP=∠CAK\angle AMP = \angle CAK, при цьому точки PP та MM розташовані по різні боки від прямої ABAB. На гіпотенузі ABAB вибрали таку точку QQ, що PQ⊥ABPQ \perp AB. Доведіть, що MA+AQ=QBMA + AQ = QB.
9 класЦентральні і вписані кути
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-081

Найменша кількість синіх і жовтих равликів

Є деяка кількість синіх равликів у лівому нижньому квадратику та деяка кількість жовтих равликів у лівому верхньому квадратику великого квадрата розміром 2022×20222022 \times 2022 клітинки. Кожний синій равлик може за один хід переповзти на сусідню по стороні клітинку, що розташована вище чи праворуч від клітинки перебування цього синього равлика. Так само кожний жовтий равлик може переповзти в сусідню по стороні клітинку, що розташована праворуч чи нижче від клітинки розташування цього жовтого равлика. Після певної кількості ходів на кожній клітинці побував принаймні один равлик. Яка найменша кількість равликів могла бути на великому квадраті?
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-082

Найменша кількість кіл через пари восьми точок квадрата

Є вісім точок, розташованих у вершинах та серединах сторін квадрата. Проведемо декілька кіл таким чином, щоб кожна пара точок лежала принаймні на одному з кіл. Яку найменшу кількість кіл ми маємо провести?
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-083

Трикутник, дотичне коло і перетин трьох прямих

Нехай дано трикутник ABCABC, у якому AC>ABAC > AB. Коло ω\omega дотикається до сторін ABAB та ACAC у точках DD та EE відповідно, а також перетинає описане коло трикутника ABCABC у точках KK та LL. Точки XX та YY вибрано на сторонах ABAB та ACAC відповідно таким чином, що AXAB=CEBD+CE,AYAC=BDBD+CE.\frac{AX}{AB} = \frac{CE}{BD + CE}, \quad \frac{AY}{AC} = \frac{BD}{BD + CE}. Доведіть, що прямі XYXY, BCBC та KLKL перетинаються в одній точці.
9 класРадикальна вісь
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-084

Нерівність для чисел, модулі яких утворюють трикутник

Для таких дійсних чисел aa, bb, cc, що числа ∣a∣|a|, ∣b∣|b|, ∣c∣|c| є сторонами деякого трикутника, доведіть нерівність ab(a+b)2+bc(b+c)2+ca(c+a)2⩾0.ab(a+b)^2+bc(b+c)^2+ca(c+a)^2 \geqslant 0.
9 класЧислові нерівності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-085

Коло через B, C і рівність BP = CQ

Коло ω\omega проходить через вершини BB та CC трикутника ABCABC. Нехай PP і QQ — точки всередині трикутника ABCABC, що лежать на колі ω\omega. Прямі APAP та AQAQ перетинають сторону BCBC у точках DD та EE відповідно. Відомо, що BD2+CD2=2⋅DP⋅DAтаBE2+CE2=2⋅EQ⋅EA.BD^2 + CD^2 = 2 \cdot DP \cdot DA \quad \text{та} \quad BE^2 + CE^2 = 2 \cdot EQ \cdot EA. Доведіть, що BP=CQBP = CQ.
9 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-086

Дванадцятикутник з 26 попарно перетинними кольорами

Дано опуклий 1212-кутник, сторони та діагоналі якого пофарбовано в декілька кольорів. Два кольори називають такими, що перетинаються, якщо існують два відрізки, які пофарбовані в ці кольори та які перетинаються в деякій внутрішній точці цих відрізків. Відомо, що будь-які два кольори перетинаються. Доведіть, що це можливо для 2626 кольорів. Примітка. Відрізки повністю фарбують в один колір, але точки перетину можуть бути будь-якого кольору, що не впливає на умову задачі.
9 класГеометричні розфарбування
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-087

Гра на орієнтування ребер повного графа

Аліса та Боб грають у гру на повному графі на 20142014 вершинах. Вони роблять ходи почергово, починає Аліса. Кожним ходом вона вибирає одне ненаправлене ребро та виставляє на ньому певний напрямок, після чого ребро стає направленим. Боб своїм ходом вибирає довільне число 1⩽m⩽10001 \leqslant m \leqslant 1000, а далі виставляє напрямок на mm довільних, досі не орієнтованих ребрах графа. Гра завершується, коли всі ребра графа стають орієнтованими. Аліса перемагає, якщо існує направлений цикл, інакше — виграє Боб. Хто має виграшну стратегію в цій грі, якщо кожен із гравців прагне перемогти?
9 класОрієнтовані графи
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-088

Нерівність з знаменниками ab + 2c² + 2c

Для додатних чисел aa, bb, cc, що задовольняють умову a+b+c=1a + b + c = 1, доведіть нерівність 1ab+2c2+2c+1bc+2a2+2a+1ca+2b2+2b⩾1ab+bc+ca.\frac{1}{ab + 2c^2 + 2c} + \frac{1}{bc + 2a^2 + 2a} + \frac{1}{ca + 2b^2 + 2b} \geqslant \frac{1}{ab + bc + ca}.
9 класЧислові нерівності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-089

Перетин п'яти висот опуклого п'ятикутника

В опуклому п’ятикутнику проведено висоти з кожної вершини на протилежні сторони. Доведіть, що якщо чотири із цих висот перетинаються в одній точці, то й п’ята висота також проходить через точку перетину чотирьох висот.
9 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-090

Дотичні до кола, точка K і рівність кутів

Точка PP розташована поза колом CC, прямі PAPA та PBPB — дотичні до цього кола, точку KK вибрано довільним чином на відрізку ABAB. Описане коло трикутника PBKPBK перетинає коло CC вдруге в точці TT. Нехай точка P′P' — симетричний образ точки PP відносно точки AA. Доведіть, що ∠PBT=∠P′KA\angle PBT = \angle P'KA.
9 класКоло і подібність
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-091

Повний набір гир після прибирання найважчої

Дано набір гир, маси яких виражено натуральними числами m1,m2,…,mnm_1, m_2, \ldots, m_n. Назвемо набір повним, якщо для будь-якого натурального числа M⩽m1+m2+…+mnM \leqslant m_1 + m_2 + \ldots + m_n існує такий набір гир, сумарна маса яких дорівнює MM. Доведіть, що коли із цього набору прибрати найважчу гирю, то набір, що залишився, так само буде повним.
9 класМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-092

Супернепарне число як сума двох супернепарних

Розглянемо nn-цифрове натуральне число a1a2…an‾\overline{a_1a_2\ldots a_n}. Цифри a1,a3,…a_1, a_3, \ldots вважаємо розташованими на непарних позиціях, усі інші цифри a2,a4,…a_2, a_4, \ldots — на парних. Назвемо число супернепарним, якщо кожна цифра на непарній позиції більша за сусідні цифри (ті, що існують) або дорівнює їм. Аналогічно назвемо число суперпарним, якщо кожна цифра на парній позиції більша за сусідні цифри (ті, що існують) або дорівнює їм. Наприклад, число 31223122 — супернепарне, число 7777 — суперпарне та супернепарне, число 123123 — не є ні суперпарним, ні супернепарним. Доведіть, що кожне супернепарне число, більше за 99, можна отримати як суму двох супернепарних.
9 класРозклад по розрядах, десяткові др…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-21-22-093

Найменше перше число при порівнянні сум 27 і 26

Нехай a1<a2<…<a53a_1 < a_2 < \ldots < a_{53} — такі натуральні числа, що сума довільних 2727 з них більша за суму інших 2626. Знайдіть найменше можливе значення числа a1a_1.
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.