Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

3 731 задача
9 клас
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-081

Інцентр трикутника і перетини кіл зі сторонами

Точка II — інцентр трикутника ABCABC. Описане коло трикутників AICAIC удруге перетинає пряму BCBC у точці X≠CX \neq C, а описане коло трикутника BICBIC удруге перетинає пряму ACAC у точці Y≠CY \neq C. Доведіть, що AY=BXAY = BX.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-082

Найбільша кількість підмножин різного розміру без включень

Для деякого натурального n⩾4n \geqslant 4 розглянемо mm підмножин A1,A2,…,AmA_1, A_2, \ldots, A_m множини {1,2,…,n}\{1, 2, \ldots, n\}, що задовольняють такі умови: множина AjA_j, j=1,m‾j = \overline{1, m}, містить рівно jj елементів і для жодних i<ji < j не справджується включення Ai⊂AjA_i \subset A_j. Якого максимально можливого значення за таких умов може набувати mm?
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-083

Цифри в p коробках і подільність на p

Нехай p⩾2p \geqslant 2 — просте число, Петрик та Оксанка роблять по черзі ходи в такій грі. На столі стоять pp порожніх коробок одна за одною. Кожним ходом один із гравців кладе цифру в одну з коробок. Петрик ходить першим, і гра завершується, коли всі коробки стануть заповненими. Нехай ми отримали pp-цифрове число MM, у записі якого на початку можуть бути цифри 00. Мета Петрика — зробити число MM кратним числу pp, мета Оксанки — завадити цьому. Доведіть, що в Петрика є виграшна стратегія.
9 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-084

Послідовність з діленням на 3 або подвоєнням

Послідовність натуральних чисел (an)(a_n) задовольняє такі умови: an+1={13an,якщо an⋮3,2an+1,якщо інакше.a_{n+1}=\begin{cases}\dfrac{1}{3}a_n, & \text{якщо } a_n \vdots 3,\\ 2a_n+1, & \text{якщо інакше.}\end{cases} Покажіть, що послідовність (an)(a_n) або нескінченно зростає, або стає з певного моменту послідовністю 1,3,1,3,1,…1, 3, 1, 3, 1, \ldots.
9 класПослідовності (інші властивості)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-085

Опуклий n-кутник із правильних трикутників і чотирикутників

Дано довільну кількість правильних трикутників і чотирикутників зі стороною 11. Для яких натуральних nn із цих фігур можна побудувати опуклий nn-кутник, якщо обов'язково мають бути використані і трикутник, і чотирикутник? Примітка. Фігури мають повністю покривати nn-кутник і не накладатися одна на одну.
9 класРозрізання, покриття та замощення
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-086

Відстані від внутрішньої точки рівностороннього трикутника і нерівність

Нехай PP — внутрішня точка рівностороннього трикутника з висотою 11, відстані від точки PP до сторін трикутника позначимо через xx, yy, zz. Доведіть, що справджується нерівність x2+y2+z2⩾x3+y3+z3+6xyzx^2+y^2+z^2 \geqslant x^3+y^3+z^3+6xyz.
9 класНерівність Коші-Буняковського
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-087

Симетрії основи висоти та центри описаних кіл

У прямокутному трикутнику ABCABC з гіпотенузою ABAB проведено висоту CDCD. Точки EE та FF — образи точки DD при симетрії відносно прямих ACAC і BCBC відповідно. Точки O1O_1 і O2O_2 — центри описаних кіл трикутників EBCEBC і AFCAFC відповідно. Доведіть, що 2O1O2=AB2O_1O_2 = AB.
9 класОписане коло
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-088

Відношення сторін чотирикутника і відрізків діагоналі

Діагоналі опуклого чотирикутника ABCDABCD перетинаються в точці EE, при цьому ABCD=BCAD=BEDE\dfrac{AB}{CD} = \dfrac{BC}{AD} = \sqrt{\dfrac{BE}{DE}}. Доведіть, що ABCDABCD — паралелограм або вписаний чотирикутник.
9 класМетричні співвідношення в колі
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-089

Гра фарбування 2018 точок і одноколірний трикутник

Маємо 20182018 точок, розташованих так, як показано на рис. 8.1. Петрик та Івасик по черзі фарбують (розпочинає Петрик) раніше не зафарбовані точки в жовтий і синій кольори, Петрик — у жовтий, Івасик — у синій. Після 20182018 ходів, коли всі точки було зафарбовано, якщо існує рівносторонній трикутник з усіма вершинами одного кольору, то перемагає Петрик, інакше — перемагає Івасик. Хто може перемогти за умови правильної гри?
9 класСиметрія та розбиття на пари
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-090

Середина сторони, бісектриси кутів і прямий кут

Нехай точка DD є серединою сторони BCBC гострокутного трикутника ABCABC, точка PP належить відрізку ADAD. Бісектриси кутів ABPABP і ACPACP перетинаються в точці QQ. Виявилося, що BQ⊥QCBQ \perp QC. Доведіть, що точка QQ належить відрізку APAP.
9 класОсновна властивість бісектриси
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-091

Нерівність з добутком і сумою чисел та рівність

Для натурального nn і дійсних чисел a1,a2,…,an∈[0;1]a_1, a_2, \ldots, a_n \in [0; 1] доведіть нерівність 1−a1a2…ann⩽11+a1+a2+…+an.\frac{1-a_1a_2\ldots a_n}{n} \leqslant \frac{1}{1+a_1+a_2+\ldots+a_n}. Для яких a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n може досягатися рівність?
9 класЧислові нерівності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-092

Десять партій і суперкоаліції з шести партій

Після виборів 1010 партій отримали своїх депутатів у раді. Кожна партія має різну кількість депутатів. Суперкоаліція — це таке об'єднання декількох партій, сумарна кількість голосів якої має більше ніж 2/32/3 від усіх голосів. Чи може так скластися, що будь-які шість партій можуть утворити суперкоаліцію? Яка найменша кількість депутатів при цьому може бути в раді?
9 класЧислові нерівності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-093

Трикутник, точка Q на AB і бісектриса AX

У трикутнику ABCABC, у якому AB>ACAB > AC, на стороні ABAB вибрано точку QQ таким чином, що BQ=ACBQ = AC. Позначимо через Γ\Gamma коло, що проходить через точку QQ і дотикається до прямої ACAC у точці AA. Нехай XX — друга точка перетину кола Γ\Gamma з описаним колом трикутника ABCABC, точка TT — деяка точка, для якої точка AA лежить на відрізку CTCT. Доведіть, що пряма AXAX — бісектриса кута TABTAB.
9 класДотична кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-094

Рівнобедрений трикутник, симетрія і дотична до кола

Нехай трикутник ABCABC — рівнобедрений з основою BCBC. Нехай DD — це точка, що належить меншій дузі ACAC кола, описаного навколо трикутника ABCABC. Точка EE — образ точки BB відносно прямої ADAD. Пряма BEBE перетинає коло, описане навколо трикутника ABCABC, у точці FF. Дотична, проведена до описаного кола трикутника ABCABC у точці FF, перетинає пряму ACAC у точці KK. Прямі ABAB і DFDF перетинаються в точці LL. Доведіть, що точки KK, LL, EE лежать на одній прямій.
9 класПроєктивна геометрія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-095

Одинадцять літер від A до C без повторів поруч

У племені ABCABC усі слова складаються з літер AA, BB, CC, при цьому в жодному слові не можуть іти дві однакові літери поруч. Скільки всього існує різних слів, що складаються з 1111 букв, перша з яких AA, а остання — CC?
9 класРекурентний підрахунок
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-096

Чи існує скінченна множина простих дільників сум квадратів

Визначте, чи існує скінченна множина простих чисел SS така, що для кожного натурального nn число 22+32+…+n22^2 + 3^2 + \ldots + n^2 ділиться на деяке просте число p∈Sp \in S.
9 класКитайська теорема про остачі
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-097

Кількість розфарбувань сітки 2 на 2018 та степінь трійки

Кожний квадратик 1×11 \times 1 сітки розміром 2×20182 \times 2018 пофарбовано в білий або чорний колір таким чином, що в кожному квадраті 2×22 \times 2 принаймні один з його чотирьох квадратиків є білим. Нехай PP — кількість таких різних розфарбувань цієї сітки. Знайдіть найбільше натуральне kk, для якого 3k∣P3^k \mid P.
9 класРекурентний підрахунок
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-098

Найбільша кількість многочленів із умовами на суми

Знайдіть найбільше натуральне nn, для якого існує nn многочленів, при цьому сума будь-яких двох із них не має коренів, а сума будь-яких трьох — має корінь.
9 класКорені многочлена, розклад на мно…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-099

Сума коренів з попарних сум та стала k

Нехай дійсне число k>2k > 2. а) Доведіть, що для довільних додатних xx, yy, zz справджується нерівність x+y+y+z+z+x>2(x+y)(y+z)(z+x)xy+yz+zx.\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}>2\sqrt{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xy+yz+zx}}. б) Доведіть, що існують додатні xx, yy, zz, для яких справджується нерівність x+y+y+z+z+x<k(x+y)(y+z)(z+x)xy+yz+zx.\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}<k\sqrt{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xy+yz+zx}}.
9 класЧислові нерівності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-100

Многокутник з рівними кутами і зростаючими сторонами

Розглянемо многокутник A0A1…An−1A_0A_1\ldots A_{n-1}, який задовольняє такі умови: A0A1⩽A1A2⩽…⩽An−2An−1⩽An−1A0A_0A_1 \leqslant A_1A_2 \leqslant \ldots \leqslant A_{n-2}A_{n-1} \leqslant A_{n-1}A_0 і ∠A0A1A2=∠A1A2A3=…=∠An−3An−2An−1=∠An−2An−1A0\angle A_0A_1A_2 = \angle A_1A_2A_3 = \ldots = \angle A_{n-3}A_{n-2}A_{n-1} = \angle A_{n-2}A_{n-1}A_0. Доведіть, що цей многокутник — правильний.
9 класСиметрія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-101

Подібні трикутники на сторонах опуклого чотирикутника

Опуклий чотирикутник ABCDABCD має гострі кути при вершинах AA і BB, при цьому AB>CDAB > CD. Точки PP і QQ вибрано на сторонах BCBC і ADAD відповідно таким чином, що △APD∼△BQC\triangle APD \sim \triangle BQC (з указаним порядком відповідних вершин). Доведіть, що AB∥CDAB \parallel CD.
9 класЛанцюжок подібних трикутників
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-102

Функції на натуральних числах з факторіалами і подільністю

Знайдіть усі функції f:N→Nf:\mathbb{N}\to\mathbb{N} такі, що ∀m,n∈N\forall m, n\in\mathbb{N} справджується рівність n!+f(m)!∣f(n)!+f(m!)n!+f(m)! \mid f(n)!+f(m!).
9 класБазові підстановки (однакові аргу…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-103

Найбільша сума дробів при сумі чисельників 20

Нехай числа aa, bb, cc, dd — натуральні, для яких a+c=20a+c=20 і ab+cd<1\frac{a}{b}+\frac{c}{d}<1. Якого максимально можливого значення може набувати вираз ab+cd\frac{a}{b}+\frac{c}{d}?
9 класЧислові нерівності
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-20-21-104

Гарні та чудові маркування м'ячів з мотузками

Для кожного натурального kk визначимо набір кольорів числами: Rn={−k, −(k−1), …, −2, −1, 1, 2, …, (k−1), k},для n=2k,R_n=\{-k,\ -(k-1),\ \ldots,\ -2,\ -1,\ 1,\ 2,\ \ldots,\ (k-1),\ k\},\quad \text{для } n=2k, таRn={−k, −(k−1), …, −2, −1, 0, 1, 2, …, (k−1), k},для n=2k+1.\text{та}\quad R_n=\{-k,\ -(k-1),\ \ldots,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ \ldots,\ (k-1),\ k\},\quad \text{для } n=2k+1. Схема складається з набору м'ячів, а також чорних і червоних мотузок, що з'єднують деякі м'ячі в пари. При цьому один м'яч може бути в декількох парах з різними м'ячами. Маркування — це фарбування кожного м'яча в один з кольорів із множини RnR_n. Назвемо таке маркування гарним, якщо будь-які два м'ячі, що з'єднані мотузкою, мають різний колір. Назвемо маркування чудовим, якщо колір будь-яких двох м'ячів, що з'єднані чорною мотузкою, різний, а сума кольорів будь-яких двох м'ячів, що з'єднані червоною мотузкою, не дорівнює 00. Нехай n⩾3n \geqslant 3 — фіксоване. Припустимо, що довільна схема, яка має гарне маркування за допомогою RnR_n кольорів, обов'язково має також і чудове маркування за допомогою RmR_m кольорів. Знайдіть найменше можливе значення mm для nn.
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Київський турнір математичних боївKMB-19-20-077

Кількість розподілів 600 м’ячів у 3 однакові непорожні корзини

Скільки існує варіантів розподілити 600600 однакових м’ячів у 33 однакові корзини, щоб жодна корзина не була порожньою? Примітка. Якщо по корзинах розподіл м’ячів такий — (100,100,400)(100, 100, 400) та (400,100,100)(400, 100, 100), то ці розподіли вважаємо однаковими.
9 класРозбиття на випадки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.