Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

3 731 задача
9 клас
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-103

Рівняння з 2^a, 4^b та квадратами в цілих числах

Розв'яжіть у цілих числах рівняння 2a+a2=4b+b22^a + a^2 = 4^b + b^2.
9 класМетод оцінок, що веде до малого п…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-104

Міста в центрі та на колі з односторонніми дорогами

У країні існує одне місто, розташоване в центрі кола, та ще nn міст, розташованих по колу. Кожне з міст на колі сполучене з двома сусідніми та з містом, що розташоване в центрі. На кожній з 2n2n доріг здійснюється односторонній рух так, що з кожного міста є виїзд і в кожне місто є в’їзд. Доведіть, що з кожного міста можна дістатися до кожного іншого, не порушуючи напрямок руху на дорогах.
9 класОрієнтовані графи
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-105

Трикутник 30° і 15° з точками M і N

У трикутнику ABCABC відомо, що ∠ABC=30∘\angle ABC = 30^\circ, ∠ACB=15∘\angle ACB = 15^\circ, точка MM — середина сторони BCBC. На стороні BCBC вибрано точку NN, для якої AB=CNAB = CN. Доведіть, що пряма ANAN — бісектриса кута MACMAC.
9 класОсновна властивість бісектриси
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-106

Нерівність для додатних чисел з умовою xyz = 1

Для додатних чисел xx, yy, zz, що задовольняють умову xyz=1xyz = 1, доведіть нерівність (x4+z2y2)(y4+x2z2)(z4+y2x2)⩾(x2y+1)(y2z+1)(z2x+1).\left(x^4+\frac{z^2}{y^2}\right)\left(y^4+\frac{x^2}{z^2}\right)\left(z^4+\frac{y^2}{x^2}\right) \geqslant \left(\frac{x^2}{y}+1\right)\left(\frac{y^2}{z}+1\right)\left(\frac{z^2}{x}+1\right).
9 класНерівність Коші-Буняковського
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-107

Рівнобедрений трикутник, інцентр і точки на описаному колі

Дано рівнобедрений трикутник ABCABC з вершиною в точці AA, інцентром у точці II та описаним колом Γ\Gamma. Прямі BIBI та CICI вдруге перетинають коло Γ\Gamma у точках MM та NN відповідно. Точка DD лежить на дузі BCBC кола Γ\Gamma, що не містить точки AA. Точки EE, FF є точками перетину прямої ADAD із прямими BIBI та CICI відповідно, P=DM∩CIP=DM \cap CI та Q=DN∩BIQ=DN \cap BI. а) Доведіть, що точки DD, II, PP, QQ лежать на деякому колі Ω\Omega. б) Доведіть, що прямі CECE та BFBF перетинаються в точці, що лежить на колі Ω\Omega.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-108

Перетворення пар чисел та обмін компонент

Дано впорядковану пару натуральних чисел (x,y)(x, y), у якій рівно одна компонента — парне число. Із цією парою чисел можна робити такі перетворення: (x,y)→(12x,y+12x)(x, y) \to \left(\frac{1}{2}x, y+\frac{1}{2}x\right), якщо компонента xx — парна, або (x,y)→(x+12y,12y)(x, y) \to \left(x+\frac{1}{2}y, \frac{1}{2}y\right), якщо компонента yy — парна. Доведіть, що для кожного непарного n>1n > 1 існує парне натуральне b<nb < n таке, що за скінченну кількість кроків (n,b)→(b,n)(n, b) \to (b, n).
9 класСтепені за модулем. Періодичність…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-109

Сторони трикутника, нерівність і найбільший кут рівності

Відомо, що aa, bb, cc — сторони трикутника. Доведіть, що справджується нерівність a+b+ca+b−c⋅c+a−bb+c−a⩾9(3a−5b+3c)3a+5b−3c.\frac{a+b+c}{a+b-c} \cdot \frac{c+a-b}{b+c-a} \geqslant \frac{9(3a-5b+3c)}{3a+5b-3c}. Для трикутника з яким найбільшим кутом може мати місце рівність?
9 класНерівність Коші
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-110

Точки дотику вписаного кола та перетини з описаним

Позначимо через c (O,R)c\,(O, R) описане коло гострокутного трикутника ABCABC (AB<AC<BCAB < AC < BC), точки DD, EE, GG — точки дотику вписаного кола до сторін BCBC, ACAC та ABAB відповідно. Кола c1c_1, c2c_2 та c3c_3, описані навколо трикутників AEGAEG, BDGBDG та CDECDE відповідно, перетинають удруге коло cc у точках A′A', B′B' та C′C' відповідно. Доведіть, що чотирикутник DEA′B′DEA'B' — вписаний.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-111

Добутки відстаней від точки на колі до сторін многокутників

Коло вписано в многокутник, точки дотику утворюють многокутник, вписаний у це коло. Доведіть, що добуток відстаней від довільної точки MM на колі до сторін одного многокутника дорівнює добутку відстаней від цієї точки до сторін другого многокутника. Примітка. Зрозуміло, що відстань від точки до сторони — це відстань від точки до відповідної прямої, на якій лежить ця сторона.
9 класКоло і подібність
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-112

Найдовший замкнений шлях короля по дошці 8×8

Шлях, який може пройти шаховий король на шахівниці 8×88 \times 8, щоб побувати на кожному полі рівно один раз і повернутися на початкове поле, утворює ламану без самоперетинів. Знайдіть довжину найдовшого можливого такого шляху.
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-113

Гра з різницями чисел 2016 та 47 на дошці

На дошці записано числа 20162016 та 4747. Андрій з Беллою грають у таку гру. Вони по черзі (розпочинає Андрій) можуть вибрати два довільних числа, записаних на дошці, наприклад a>ba > b, і записати їхню різницю a−ba - b, якщо її ще не було записано. Програє той, хто не може зробити хід. Хто переможе в цій грі, якщо кожний прагне виграти?
9 класАлгоритм Евкліда
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-114

Найбільша кількість частин площини від n променів

На яку найбільшу кількість частин можуть розрізати площину nn променів?
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-115

Квадратне рівняння та корені різних знаків

Для чисел aa, bb, cc справджуються умови: a≠0a \neq 0, ∣a+c∣<∣a−c∣|a+c| < |a-c|. Доведіть, що квадратне рівняння ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 має два дійсних корені різних знаків.
9 класТеорема Вієта
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-116

Найбільше k для нерівності з сумами добутків

Знайдіть найбільше число k⩾0k \geqslant 0 таке, що для довільного набору невід’ємних чисел x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n, n⩾2n \geqslant 2 справджується нерівність (x1+x2+…+xn)2(x1x2+x2x3+…+xn−1xn+xnx1)⩾⩾k(x12x22+x22x32+…+xn−12xn2+xn2x12).\begin{gathered}(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2(x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_{n-1}x_n+x_nx_1) \geqslant \\ \geqslant k\left(x_1^2x_2^2+x_2^2x_3^2+\ldots+x_{n-1}^2x_n^2+x_n^2x_1^2\right).\end{gathered}
9 класНерівність Коші
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-117

Дотичні до описаного кола трикутника і рівні площі

Нехай дано трикутник ABCABC, у якому ∠A<∠B<90∘\angle A < \angle B < 90^\circ, та описане коло Γ\Gamma. Дотичні до кола Γ\Gamma у точках AA та CC перетинаються в точці PP. Прямі ABAB і PCPC перетинаються в точці QQ. Відомо, що SACP=SABC=SBQCS_{ACP} = S_{ABC} = S_{BQC}. Доведіть, що трикутник ABCABC прямокутний.
9 класСтепінь точки відносно кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-118

Спільні дотичні двох кіл трикутника і рівність кутів

Нехай Ω\Omega — описане коло трикутника ABCABC, ωa\omega_a — зовнівписане коло, що відповідає вершині AA. Дві спільні дотичні до кіл kk та kak_a перетинають пряму BCBC у точках PP і QQ відповідно. Доведіть, що ∠PAB=∠QAC\angle PAB = \angle QAC.
9 класПроєктивна геометрія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-119

Покриття квадрата 6 × 6 кутовими і прямими триміно

Для яких натуральних чисел kk квадрат 6×66 \times 6 можна покрити kk фігурками кутового триміно та 12−k12 - k фігурками прямого триміно?
9 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-120

Найменше x, що ділить N + y при y<x-1

Нехай дано натуральне N>1N > 1. Позначимо через xx найменше натуральне число, що має таку властивість: існує натуральне число y<x−1y < x - 1 таке, що x∣N+yx \mid N + y. Доведіть, що x=pkx = p^k або x=2px = 2p для деяких чисел: kk — натурального та pp — простого.
9 класОсновна теорема арифметики
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-121

Пари триномів з добутком триномом степеня 15

Назвемо триномом степеня pp многочлен вигляду xp+axq+1x^p+ax^q+1, де p>qp>q — натуральні числа, aa — довільне (можливо, нульове) дійсне число. Знайдіть усі пари триномів, які в добутку дають трином 1515-го степеня.
9 класМетод невизначених коефіцієнтів
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-122

Нерівність з добутком та мінімумом чисел з інтервалу

Доведіть, що для довільних чисел a,b,c,d∈(0;1)a, b, c, d \in (0; 1) справджується нерівність (ab−cd)(ac+bd)(ad−bc)+min⁡{a,b,c,d}<1.(ab-cd)(ac+bd)(ad-bc)+\min\{a, b, c, d\}<1.
9 класНерівність Коші
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-123

Основи перпендикулярів із C і D та кут ABC

Точку DD вибрано на стороні BCBC гострокутного трикутника ABCABC таким чином, щоб AD=ACAD = AC. Точки PP, QQ — основи перпендикулярів, опущених із точок CC, DD на сторону ABAB. Відомо, що AP2+3BP2=AQ2+3BQ2AP^2 + 3BP^2 = AQ^2 + 3BQ^2. Знайдіть величину кута ABCABC.
9 класВідношення відрізків в подібних т…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-124

Описане коло трикутника AKL, що дотикається до BC

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, ACAC та ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Точка MM — середина відрізка EFEF, точка LL — друга точка перетину описаного кола трикутника DFMDFM зі стороною ABAB, а точка KK — друга точка перетину описаного кола трикутника DEMDEM зі стороною ACAC. Доведіть, що описане коло трикутника AKLAKL дотикається до сторони BCBC.
9 класДотична кола
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-125

Можливий хід у грі з фішками на смужці

Алекс і Барбара грають у гру на смужці з 20182018 квадратів, що пронумеровані зліва направо числами 1,2,…,20181, 2, \ldots, 2018. У них є 20182018 фішок, що так само пронумеровані числами 1,2,…,20181, 2, \ldots, 2018. Вони роблять по черзі ходи одного з таких типів: - гравець вибирає фішку, яка ще не стоїть на смужці та яку можна поставити в будь-який вільний квадрат, якщо при цьому всі фішки будуть розташовані зліва направо в порядку зростання їхніх номерів; - гравець вибирає фішку, яка стоїть на смужці та яку можна пересунути в сусідній справа чи зліва квадрат за умови, що він вільний та що фішка стає ближчою до квадрата з номером, який дорівнює номеру фішки. Наприклад, фішку з номером 900900, якщо вона розташована у квадраті з номером 10001000, можна пересунути лише ліворуч, а якщо вона розташована у квадраті з номером 900900, то пересунути її нікуди не можна. Доведіть, що коли є фішка, яку ще не виставлено на смужку, то можна зробити черговий хід.
9 класМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-126

Подільність 2a²+3b² на 2a+3b для взаємно простих

Знайдіть усі пари взаємно простих натуральних чисел aa, bb, для яких число 2a2+3b22a^2+3b^2 ділиться націло на 2a+3b2a+3b.
9 класНСД та НСК
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-18-19-127

Кількість шісток послідовних цифр у записі ірраціонального числа

Нехай дійсне число x∈(0;1)x \in (0; 1) подано у вигляді десяткового дробу 0,c1c2c3…0{,}c_1c_2c_3\ldots. Позначимо через B(x)B(x) множину всіх підпослідовностей послідовності цифр (cn)(c_n), що містять рівно 66 послідовних цифр. Наприклад, 122=0,0454545…\dfrac{1}{22} = 0{,}0454545\ldots, тоді B(122)B\left(\dfrac{1}{22}\right) складається з трьох елементів: 045454045454, 454545454545 та 545454545454. Знайдіть найменшу можливу кількість елементів множини B(x)B(x) для всіх ірраціональних чисел проміжку (0;1)(0; 1).
9 класРаціональні та ірраціональні числа

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.