Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

3 731 задача
9 клас
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-109

Попарно різні суми та 1000 послідовних чисел

Чи існують такі натуральні числа a1<a2<…<aka_1 < a_2 < \ldots < a_k, що всі суми вигляду ai+aja_i + a_j, 1⩽i<j⩽k1 \leqslant i < j \leqslant k, попарно різні та серед них є 1000 послідовних натуральних чисел?
9 класКонструкція за індукцією
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-110

Трапеція, два кола і перетин трьох прямих

Нехай ABCDABCD — трапеція з основами ADAD та BCBC. Точки EE та FF вибрано на бічних сторонах ABAB і CDCD відповідно. Нехай описане коло трикутника AEFAEF перетинає вдруге пряму ADAD у точці A1A_1, а описане коло трикутника CEFCEF перетинає вдруге пряму BCBC у точці C1C_1. Доведіть, що прямі A1C1A_1C_1, BDBD та EFEF перетинаються в одній точці.
9 класГомотерія і подібність
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-111

Нерівність з невід'ємними числами та параметром k

Нехай aa, bb, xx, yy — невід'ємні числа, k>0k > 0, для яких виконуються нерівності: a+kx⩽1;a+ky⩽1;b+xk⩽1;b+yk⩽1.a + kx \leqslant 1; \quad a + ky \leqslant 1; \quad b + \frac{x}{k} \leqslant 1; \quad b + \frac{y}{k} \leqslant 1. Доведіть, що справджується нерівність (a+x)2+(b+y)2⩽2.(a + x)^2 + (b + y)^2 \leqslant 2. За яких умов можлива рівність?
9 класНерівність Коші
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-112

Трикутник з точками на сторонах і вписаними колами

На сторонах ABAB, BCBC і CACA трикутника ABCABC вибрано точки LL, MM та NN відповідно так, що прямі CLCL, AMAM та BNBN перетинаються в спільній точці OO всередині трикутника та в чотирикутники ALONALON, BMOLBMOL та CNOMCNOM можна вписати коло. Доведіть, що 1AL⋅BM+1BM⋅CN+1CN⋅AL=1AN⋅BL+1BL⋅CM+1CM⋅AN.\frac{1}{AL \cdot BM} + \frac{1}{BM \cdot CN} + \frac{1}{CN \cdot AL} = \frac{1}{AN \cdot BL} + \frac{1}{BL \cdot CM} + \frac{1}{CM \cdot AN}.
9 класВписане коло
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-113

Чи є трикутник з натуральними сторонами і перпендикулярними медіанами

Чи існує трикутник, сторони якого виражаються натуральним числом сантиметрів, а дві його медіани перпендикулярні?
9 класВекторний метод
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-114

Найменше α для відношення двох сторін трикутника

Знайдіть найменше додатне число α\alpha, яке має таку властивість: у кожному трикутнику можна вибрати дві сторони aa, bb, для яких справджується нерівність α>ab⩾1\alpha > \frac{a}{b} \geqslant 1.
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-115

Збіг комірок двох заповнень квадрата n×n

Розглянемо два способи заповнення квадрата n×nn \times n натуральними числами від 1 до n2n^2. Спосіб «А»: усі числа заповнюють квадрат послідовно зліва направо в порядку зростання по рядках, починаючи з верхнього. Спосіб «Б»: числа заповнюють квадрат у порядку зростання паралельно діагоналі, що проходить через праву верхню комірку, зліва направо. На рис. 8.3 показано варіанти заповнення для n=4n = 4. Обов'язково збігаються числа в обох варіантах у лівій верхній і правій нижній комірках, а також при непарному nn у центральній комірці. При яких nn можуть збігтися числа ще хоча б в одній якійсь комірці? Спосіб «А»: | | | | | |---|---|---|---| | 1 | 2 | 3 | 4 | | 5 | 6 | 7 | 8 | | 9 | 10 | 11 | 12 | | 13 | 14 | 15 | 16 | Спосіб «Б»: | | | | | |---|---|---|---| | 1 | 3 | 6 | 10 | | 2 | 5 | 9 | 13 | | 4 | 8 | 12 | 15 | | 7 | 11 | 14 | 16 |
9 класЛінійні діофантові рівняння
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-116

Дотики вписаного кола, пряма DE і середина AB

Вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторін BCBC, ACAC та ABAB у точках DD, EE та FF відповідно. Коло, що проходить через вершини AA і BB та містить усередині трикутник ABCABC, перетинає пряму DEDE в точках PP та QQ. Доведіть, що середина відрізка ABAB лежить на описаному колі трикутника PQFPQF.
9 класТеорема Менелая
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-117

Найбільша кількість нецілих членів послідовності з 2017 чисел

Послідовність a1,a2,…,a2017a_1, a_2, \ldots, a_{2017} дійсних чисел є такою, що для будь-якого натурального n∈{1,2,…,2017}n \in \{1, 2, \ldots, 2017\} справджується рівність a13+a23+…+a20173=(a1+a2+…+a2017)2.a_1^3 + a_2^3 + \ldots + a_{2017}^3 = (a_1 + a_2 + \ldots + a_{2017})^2. Яка найбільша кількість членів цієї послідовності може бути нецілим числом?
9 класМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-118

Чотирикутник з рівними сторонами та пряма через середини діагоналей

У чотирикутнику ABCDABCD сторони ADAD та BCBC рівні. Точка NN — середина діагоналі ACAC, точка MM — середина діагоналі BDBD. Пряма MNMN перетинає сторони ADAD і BCBC у точках KK та HH відповідно. Доведіть, що KA=HCKA = HC.
9 класТеорема Менелая
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-119

Центр кола через B, C на бісектрисі і рівнобедреність

Чи обов'язково трикутник ABCABC рівнобедрений, якщо існує коло, що проходить через вершини BB і CC, а центр цього кола розташований на бісектрисі кута BACBAC?
9 класОписане коло
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-120

Слова з А і В, різні в трьох позиціях

Деяке плем'я використовує слова, що складаються з двох літер AA та BB. Кожні два слова однакової довжини відрізняються принаймні в трьох позиціях. Доведіть, що в лексиці племені є не більше ніж [2nn+1]\left[\dfrac{2^n}{n+1}\right] слів довжиною n⩾3n \geqslant 3.
9 класПідрахунок двома способами
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-121

Вписаний чотирикутник із серединою сторони та перпендикулярами

Діагоналі вписаного чотирикутника ABCDABCD перетинаються в точці PP, а продовження сторін ADAD і BCBC — у точці QQ. Позначимо середину сторони ABAB через EE. Доведіть, що якщо PQ⊥ACPQ \perp AC, то PE⊥BCPE \perp BC.
9 класДопоміжне коло (перекидання кутів)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-122

Діагоналі 2n-кутника і прилеглі полігони-трикутники

В опуклому 2n2n-кутнику M=A1A2…A2nM = A_1 A_2 \ldots A_{2n} проведено діагоналі AiAn+iA_i A_{n+i}, i=1,n‾i = \overline{1, n}. Виявилося, що жодні три діагоналі не перетинаються в одній точці. Внутрішність многокутника розбита цими діагоналями на певну кількість менших многокутників, які назвемо полігонами. Розглянемо ті 2n2n полігонів, що мають спільну сторону зі стороною многокутника MM. Яка найменша кількість полігонів серед них може виявитися трикутниками?
9 класОпуклі множини
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-123

Сума перших членів рекурентно заданої послідовності

Послідовність (an)(a_n) задається рекурентним чином так: a1=12a_1=\dfrac{1}{2}, an=2n−32nan−1a_n=\dfrac{2n-3}{2n}a_{n-1}, n⩾2n\geqslant 2. Доведіть, що для кожного натурального nn справджується нерівність a1+a2+…+an<1.a_1+a_2+\ldots+a_n<1.
9 класСуми послідовностей
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-124

Сума дробів до q і подільність чисельника на p

Нехай p≡1(mod3)p\equiv 1\pmod 3 — просте число, q=[2p3]q=\left[\dfrac{2p}{3}\right]. Якщо 11⋅2+13⋅4+15⋅6+…+1(q−1)⋅q=mn\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{3\cdot 4}+\dfrac{1}{5\cdot 6}+\ldots+\dfrac{1}{(q-1)\cdot q}=\dfrac{m}{n} для деяких натуральних mm, nn, то p∣mp\mid m.
9 класПеретворення дробів
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-125

Множина точок декартової площини з нерівністю

Зобразіть на декартовій площині множину тих точок (x,y)(x,y), які задовольняють умову y3x+(x−1)3(y+1)⩾y2(x2−x)+(x−1)2×(y2+y).y^3x+(x-1)^3(y+1)\geqslant y^2(x^2-x)+(x-1)^2\times(y^2+y).
9 класЛінійні заміни (зведення до нуля,…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-126

Другі перетини кіл на діагоналях опуклого чотирикутника

Діагоналі ACAC і BDBD опуклого чотирикутника ABCDABCD перетинаються в точці OO. На відрізках AOAO, BOBO, COCO, DODO відповідно вибрано точки A1A_1, B1B_1, C1C_1 і D1D_1 таким чином, щоб AA1=CC1AA_1=CC_1 і BB1=DD1BB_1=DD_1. Нехай MM — друга точка перетину кіл, описаних навколо трикутників AOBAOB і CODCOD; NN — друга точка перетину кіл, описаних навколо трикутників AODAOD і COBCOB; PP — друга точка перетину кіл, описаних навколо трикутників A1OB1A_1OB_1 та C1OD1C_1OD_1; QQ — друга точка перетину кіл, описаних навколо трикутників A1OD1A_1OD_1 та C1OB1C_1OB_1. Доведіть, що точки MM, NN, PP, QQ — циклічні.
9 класЦентральні і вписані кути
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-127

Точки X, Y на сторонах трикутника і дотик кіл

На сторонах ABAB та ACAC трикутника ABCABC вибрано точки XX, YY відповідно (відмінні від вершин) так, що симетричний образ прямої BCBC відносно прямої XYXY дотикається до описаного кола трикутника AXYAXY. Точка OO — центр описаного кола трикутника ABCABC. Доведіть, що описане коло трикутника AXYAXY дотикається до описаного кола трикутника BOCBOC.
9 класСиметрія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-128

Власні дільники у рядках послідовних чисел

Василь виписав у рядок 100 послідовних натуральних чисел. Далі під кожним із цих чисел у другий рядок записав власний дільник кожного числа. Далі в третій рядок під кожним числом написав власний дільник кожного числа з другого рядка і т. д. Таким чином він утворив 2017 рядків. Чи могло так статися, що в кожному рядку виписані послідовні натуральні числа?
9 класМетод математичної індукції
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-129

Списки з десяти кандидатів і спільний уряд для всіх

Депутати парламенту вибирають уряд. Кожен із них висунув 10 кандидатів у міністри і для себе вирішив, що проголосує за список уряду, якщо в ньому буде принаймні один кандидат з його списку. Відомо також, що серед будь-яких трьох депутатів принаймні у двох з них є спільні прізвища в списках. Усі хочуть, щоб уряд був якомога меншим за кількістю міністрів. Якої найменшої величини список можна подати на розгляд депутатів, щоб за нього проголосували одностайно?
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-130

Двадцять червоних точок і максимальна кількість синіх

На площині двадцять точок пофарбовано червоним кольором. Точку на площині фарбують синім, якщо для неї існують такі n⩾3n\geqslant 3 червоних точок, що відстані до них є рівними та при цьому ця відстань є меншою, ніж відстань до кожної з інших 20−n20-n точок. Яка максимальна можлива кількість синіх точок могла утворитися?
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-131

Очки за перемогу у грі до ста очок

Андрій та Остап грали в гру, у якій не буває нічиїх. За перемогу та поразку гравці набирали відповідно xx та y<xy < x очок (xx та yy — цілі числа). Гра триває, поки перший з них не набере рівно 100100 очок. Виявилося, що на момент завершення гри в Остапа було 9595 очок, при цьому він виграв шість ігор. Скільки в цій грі нараховували очок за перемогу?
9 класДільники та кратні (базові власти…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-132

Зв'язна фігура з трьох чорних клітинок у квадраті

Розглянемо квадрат 100×100100 \times 100, у якому деякі клітинки 1×11{\times}1 пофарбовано в чорний колір. Доведіть, що існує зв'язна фігура мінімум із трьох чорних клітинок, якщо в чорний колір пофарбована принаймні 50015001 клітинка.
9 класПринцип Діріхле (скінченні множин…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-17-18-133

Найменше чудове число з усіма цифрами

Назвемо число nn чудовим, якщо в його записі є кожна з 1010 цифр, воно ділиться на 99 та має таку властивість: якщо цифра aa менша від цифри bb, то в записі числа nn цифр aa менше, ніж цифр bb. Знайдіть найменше чудове число.
9 класОптимальна конструкція (оцінка і…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.