Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

9 153 задачі
Закордонні олімпіади
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-002

Сума з НСД зсунутих змінних

Нехай aa, bb і cc — натуральні числа. Знайдіть найменше значення, якого може набувати такий вираз: aНСД(a+b,a−c)+bНСД(b+c,b−a)+cНСД(c+a,c−b)\frac{a}{\text{НСД}(a+b, a-c)}+\frac{b}{\text{НСД}(b+c, b-a)}+\frac{c}{\text{НСД}(c+a, c-b)}
10–11 класиІнші класичні нерівності2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-013

Ліфти, що сполучають пари поверхів

Висотний будинок має 7 ліфтів, причому кожен зупиняється лише на 6 поверхах. Проте для будь-яких двох поверхів завжди є ліфт, який безпосередньо сполучає ці два поверхи. Доведіть, що будинок може мати щонайбільше 14 поверхів, і що такий будинок із 14 поверхами справді можна реалізувати.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-015

Простий дільник двох чисел виду квадрат плюс один

Нехай mm і nn — натуральні числа, а pp — просте число, причому m<n<pm < n < p. Нехай, крім того, p∣m2+1 і p∣n2+1p \mid m^{2} + 1 \quad \text{ і } \quad p \mid n^{2} + 1 Доведіть, що виконується: p∣mn−1p \mid m n - 1
10–11 класиПрості числа (базові властивості)2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-003

Натуральні числа з умовою на суму з НСК

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких не існує трійки натуральних чисел (a,b,c)(a, b, c), що задовольняє таку рівність: n=a⋅НСК(b,c)+b⋅НСК(c,a)+c⋅НСК(a,b)НСК(a,b,c)n=\frac{a \cdot \text{НСК}(b, c)+b \cdot \text{НСК}(c, a)+c \cdot \text{НСК}(a, b)}{\text{НСК}(a, b, c)}
10–11 класиНСД та НСК
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-004

Конкурентність прямих у трикутнику з рівними кутами

Нехай DD — точка всередині гострокутного трикутника ABCA B C, така, що ∠BAD=∠DBC\angle B A D = \angle D B C і ∠DAC=∠BCD\angle D A C = \angle B C D. Нехай PP — точка на описаному колі трикутника ADBA D B. Припустимо, що PP лежить поза трикутником ABCA B C. Пряма через PP перетинає промінь BAB A в точці XX і промінь CAC A в точці YY, так що ∠XPB=∠PDB\angle X P B = \angle P D B. Доведіть, що прямі BYB Y і CXC X перетинаються на прямій ADA D.
10–11 класиТеорема Чеви
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-005

Неіснування функції на додатних дійсних числах із заданим рівнянням

Доведіть, що не існує функції f:R>0→R>0f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}, такої, що для всіх x,y∈R>0x, y \in \mathbb{R}_{>0} виконується: f(xf(x)+yf(y))=xyf(x f(x)+y f(y))=x y
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-006

Вписане коло і паралельність прямих

Нехай kk — вписане коло трикутника ABCA B C з центром II. Нехай коло kk дотикається до сторін BCB C, CAC A і ABA B у точках DD, EE і FF відповідно. Нехай GG — точка перетину прямої AIA I і кола kk, яка лежить між AA і II. Припустімо, що прямі BEB E і FGF G паралельні. Доведіть, що BD=EFB D=E F.
10–11 класиВписане коло
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-007

Послідовні суми та непарні дільники

Нехай nn — натуральне число. Нехай kk — кількість способів подати nn у вигляді суми одного або кількох послідовних натуральних чисел. Доведіть, що kk дорівнює кількості непарних додатних дільників числа nn.
10–11 класиБієкції2 розв’язки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-008

Найбільше значення виразу з п’ятьма додатними змінними

Нехай aa, bb, cc, dd і ee — додатні дійсні числа. Знайдіть найбільше значення, якого може набувати такий вираз: ab+bc+cd+de2a2+b2+2c2+d2+2e2\frac{a b+b c+c d+d e}{2 a^{2}+b^{2}+2 c^{2}+d^{2}+2 e^{2}}
10–11 класиНерівність Коші
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-009

Найбільша підмножина решітки без паралелограма

Нехай nn — натуральне число, а GG — множина точок (x,y)(x, y) на площині, таких, що xx і yy — цілі числа, для яких 1≤x,y≤n1 \leq x, y \leq n. Підмножина множини GG називається вільною від паралелограмів, якщо вона не містить чотирьох неколінеарних точок, які є вершинами паралелограма. Скільки елементів щонайбільше може містити вільна від паралелограмів підмножина множини GG?
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2018-010

Гра з вибором цифр за модулем простого числа

Нехай p≥2p \geq 2 — просте число. Луї та Арно по черзі вибирають індекс i∈{0,1,…,p−1}i \in \{0,1, \ldots, p-1\}, якого досі ще не було вибрано, і цифру ai∈{0,1,…,9}a_{i} \in \{0,1, \ldots, 9\}. Починає Луї. Коли всі індекси буде вибрано, вони обчислюють таку суму: a0+a1⋅10+…+ap−1⋅10p−1=∑i=0p−1ai⋅10ia_{0}+a_{1} \cdot 10+\ldots+a_{p-1} \cdot 10^{p-1}=\sum_{i=0}^{p-1} a_{i} \cdot 10^{i} Якщо ця сума ділиться на pp, то виграє Луї, інакше виграє Арно. Доведіть, що Луї має виграшну стратегію.
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-003

Добуток дільників дорівнює 10⁹

Знайдіть усі натуральні числа nn такі, що якщо перемножити всі дільники числа nn, то отримаємо 10910^{9}. Доведіть, що знайдені вами числа nn справді підходять і що інших таких чисел немає. (Примітка: натуральне число nn — це додатне ціле число, тобто nn — одне з чисел 1, 2, 3, …. Дільник числа nn — це натуральне число, яке ділить nn без остачі. Наприклад, 5 є дільником числа 30, бо 30÷5=630 \div 5=6; але 5 не є дільником числа 47, бо 47÷5=947 \div 5=9 з остачею 2. У цій задачі ми розглядаємо лише додатні цілі числа nn і додатні цілі дільники числа nn. Так, наприклад, перемноживши всі дільники числа 6, отримаємо 36.)
6–8 класиКількість дільників τ(n)
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-004

Периметр трикутника в квадраті з кутовою умовою

Площа квадрата ABCDABCD дорівнює 196 см2196~\text{см}^2. Точка EE лежить усередині квадрата, на однакових відстанях від точок DD і CC, і така, що ∠DEC=150∘\angle DEC = 150^\circ. Чому дорівнює периметр △ABE\triangle ABE? Доведіть, що ваша відповідь правильна.
6–8 класиРівнобедрений та рівносторонній т…3 розв’язки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-001

Суми на шляхах у таблиці множення

Розглянемо таблицю множення n×nn \times n нижче. Числа першого стовпчика, помножені на числа першого рядка, дають решту чисел таблиці. | 1 | 2 | 3 | ⋯\cdots | nn | |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: | | 2 | 4 | 6 | ⋯\cdots | 2n2 n | | 3 | 6 | 9 | ⋯\cdots | 3n3 n | | ⋮\vdots | ⋮\vdots | ⋮\vdots | ⋱\ddots | ⋮\vdots | | nn | 2n2 n | 3n3 n | ⋯\cdots | n2n^{2} | Побудуємо шлях з верхньої лівої клітинки до нижньої правої клітинки, щоразу переходячи на одну клітинку або праворуч, або вниз. Наприклад, для випадку n=5n=5 один із таких можливих шляхів наведено нижче, причому всі числа вздовж шляху обведено: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: | | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | Якщо додати обведені числа в наведеному вище прикладі (включно з початковою та кінцевою клітинками), отримаємо 93. Серед усіх таких можливих шляхів на сітці n×nn \times n: a. Яка найменша можлива сума чисел уздовж такого шляху? Відповідь виразіть через nn і доведіть її правильність. b. Яка найбільша можлива сума чисел уздовж такого шляху? Відповідь виразіть через nn і доведіть її правильність.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-005

Прямокутники на сторонах опуклого многокутника

Розглянемо опуклий nn-кутник A1A2⋯AnA_{1} A_{2} \cdots A_{n}. (Зауваження: в опуклому многокутнику всі внутрішні кути менші за 180∘180^{\circ}.) Нехай hh — додатне число. Використовуючи сторони многокутника як основи, побудуємо nn прямокутників, кожен висоти hh, так, щоб кожен прямокутник або цілком містився всередині nn-кутника, або частково перетинав внутрішність nn-кутника. Як приклад, на рисунку ліворуч нижче показано п'ятикутник із правильною конфігурацією прямокутників, а на рисунку праворуч — неправильна конфігурація прямокутників (оскільки деякі з прямокутників не перетинаються з п'ятикутником): (a) Правильно (b) Неправильно Доведіть, що завжди можна вибрати число hh так, щоб прямокутники повністю покривали внутрішність nn-кутника, а сумарна площа прямокутників була не більшою за подвоєну площу nn-кутника.
6–8 класиПокриття, пакування, фарбування
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-002

Характеризація стійких дійсних чисел

Назвемо число TT стійким, якщо виконується таке: щоразу, коли дійсні числа a,b,c,da, b, c, d, відмінні від 00 і 11, задовольняють рівності a+b+c+d=Ta + b + c + d = T та 1a+1b+1c+1d=T\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = T виконується також 11−a+11−b+11−c+11−d=T.\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} + \frac{1}{1-d} = T. а. Якщо TT стійке, доведіть, що TT обов'язково дорівнює 22. б. Доведіть, що 22 стійке.
10–11 класиТеорема Вієта
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-006

Суми вздовж шляхів у таблиці множення

Розглянемо наведену нижче «таблицю множення» розміром 4×44 \times 4. Числа з першого стовпця, помножені на числа з першого рядка, дають решту чисел таблиці. Наприклад, 33 з першого стовпця, помножене на 44 з першого рядка, дає 12 (=3⋅4)12\ (=3 \cdot 4) у клітинці, розташованій у 33-му рядку та 44-му стовпці. | | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---| | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | | 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | | 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | | 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | Побудуємо шлях з верхньої лівої клітинки до нижньої правої, щоразу рухаючись на одну клітинку вправо або вниз. Наприклад, нижче наведено один із таких можливих шляхів, причому усі числа вздовж шляху обведено кружечками: | | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---| | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | | 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | | 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | | 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | Якщо додати обведені числа в прикладі вище (включно з початковою та кінцевою клітинками), отримаємо 4848. Розгляньмо усі такі можливі шляхи: а. Яку найменшу суму можна отримати, додаючи числа вздовж такого шляху? Доведіть, що ваша відповідь правильна. б. Яку найбільшу суму можна отримати, додаючи числа вздовж такого шляху? Доведіть, що ваша відповідь правильна.
6–8 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-007

Розфарбування ребер тетраедра з урахуванням симетрій

Два тривимірні тіла вважаються однаково розфарбованими, якщо одне з них можна зорієнтувати (перемістивши або повернувши) так, що його не можна буде відрізнити від другого. Наприклад, нехай на столі стоять два одиничні куби, причому всі грані одного куба чорні, крім верхньої, яка червона, а всі грані другого куба чорні, крім нижньої, яка пофарбована в червоний колір. Тоді ці два куби мають однакове розфарбування. Скількома різними способами можна розфарбувати ребра правильного тетраедра, пофарбувавши два ребра в червоний колір, два ребра — у чорний і два ребра — у зелений? (Правильний тетраедр має чотири грані, кожна з яких — рівносторонній трикутник. На рисунку нижче зображено одне з розфарбувань тетраедра, де товсті, тонкі та пунктирні лінії позначають три кольори.)
6–8 класиГеометричні розфарбування2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2017-001

Сума квадратів через квадрати різниць

Нехай aa, bb і cc — невід'ємні дійсні числа, жодні два з яких не рівні. Доведіть, що a2(b−c)2+b2(c−a)2+c2(a−b)2>2.\frac{a^2}{(b-c)^2} + \frac{b^2}{(c-a)^2} + \frac{c^2}{(a-b)^2} > 2.
10–11 класиНерівність Коші
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2017-002

Подвійна ітерація функції як кількість дільників

Нехай ff — функція з множини натуральних чисел у себе така, що для кожного nn кількість додатних цілих дільників числа nn дорівнює f(f(n))f(f(n)). Наприклад, f(f(6))=4f(f(6)) = 4 і f(f(25))=3f(f(25)) = 3. Доведіть, що якщо pp — просте число, то f(p)f(p) також просте.
10–11 класиКількість дільників τ(n)
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2017-003

Збалансовані підмножини з рівністю медіани й середнього

Нехай nn — натуральне число, і позначимо Sn={1,2,…,n}S_n = \{1, 2, \dots, n\}. Розглянемо непорожню підмножину TT множини SnS_n. Будемо казати, що TT збалансована, якщо медіана множини TT дорівнює середньому арифметичному TT. Наприклад, при n=9n = 9 кожна з підмножин {7}\{7\}, {2,5}\{2, 5\}, {2,3,4}\{2, 3, 4\}, {5,6,8,9}\{5, 6, 8, 9\} і {1,4,5,7,8}\{1, 4, 5, 7, 8\} збалансована; проте підмножини {2,4,5}\{2, 4, 5\} і {1,2,3,5}\{1, 2, 3, 5\} не є збалансованими. Для кожного n≥1n \ge 1 доведіть, що кількість збалансованих підмножин множини SnS_n непарна. (Щоб означити медіану множини з kk чисел, спочатку впорядкуйте числа за зростанням; тоді медіаною є середнє число, якщо kk непарне, і середнє арифметичне двох середніх чисел, якщо kk парне. Наприклад, медіана множини {1,3,4,8,9}\{1, 3, 4, 8, 9\} дорівнює 44, а медіана множини {1,3,4,7,8,9}\{1, 3, 4, 7, 8, 9\} дорівнює (4+7)/2=5,5(4+7)/2 = 5{,}5.)
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2017-004

Рівносторонні трикутники в паралелограмі

Точки PP і QQ лежать всередині паралелограма ABCDABCD так, що трикутники ABPABP і BCQBCQ — рівносторонні. Доведіть, що пряма через PP, перпендикулярна до DPDP, і пряма через QQ, перпендикулярна до DQDQ, перетинаються на висоті з BB у трикутнику ABCABC.
10–11 класиПоворот
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2017-005

Кола з обмеженою площею трикутника

Сто кіл радіуса один розташовано на площині так, що площа будь-якого трикутника, утвореного центрами трьох із цих кіл, не перевищує 20172017. Доведіть, що існує пряма, яка перетинає принаймні три з цих кіл.
10–11 класиПринцип Діріхле (довжини, площі,…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2017-001

Умови подільності для пари натуральних чисел

Чи існують різні натуральні числа xx і yy такі, що число x+yx+y ділиться на 20162016, число x−yx-y ділиться на 20172017, а число xyxy ділиться на 20182018?
9 класДільники та кратні (базові власти…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2017-002

Натуральні трійки з фіксованими попарними НСД

Знайдіть усі розв’язки рівняння a+b+c=61a + b + c = 61 у натуральних числах, які задовольняють умови НСД(a,b)=2\text{НСД}(a, b) = 2, НСД(b,c)=3\text{НСД}(b, c) = 3 і НСД(c,a)=5\text{НСД}(c, a) = 5.
9 класНСД та НСК

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.