Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

946 задач
Відкриті олімпіади
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-21-22-019

Можливість таблиці 6×6 з остачами 1 і 2

Чи можна заповнити таблицю розміром 6×66 \times 6 числами 11, 22, 33 так, щоб від ділення на 33 кожна із сум чисел по рядках давала остачу 11, а кожна із сум по стовпчиках давала остачу 22?
4 класАрифметика остач (базові властиво…
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-21-22-020

Найменше початкове зафарбування квадрата 100 на 100

Петрик зафарбував деякі клітинки квадрата 100×100100 \times 100. Далі якщо в деякому квадраті розміром 2×22 \times 2 клітинки вже зафарбовано три із чотирьох клітинок, то він має право зафарбувати й останню клітинку квадрата. Яку найменшу кількість клітинок із самого початку має зафарбувати Петрик, щоб після того він зміг зафарбувати й усю дошку?
4 класНапівінваріанти
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-21-22-031

Числа від 1 до 13 і сума 433

Петрик записав на дошці числа від 11 до 1313. Даринка п'ять із них помножила на 33, а решту чисел — на 77. Отримані добутки вона додала. Чи могла Даринка отримати в сумі число 433433?
5 класЛінійні рівняння та системи
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-21-22-032

Таблиця 7 на 7 з остачами 1 і 2

Чи можна заповнити таблицю розміром 7×77 \times 7 числами 11, 22, 33 так, щоб від ділення на 33 кожна із сум чисел по рядках давала остачу 11, а кожна із сум по стовпчиках давала остачу 22?
5 класПідрахунок двома способами
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-21-22-033

Найбільша кількість присутніх на святкуванні з цукерками

У всіх коробках для свят компанії «Цукерберг» міститься однакова кількість цукерок. Кожен із 1818 працівників компанії святкує день народження на роботі й запрошує на святкування своїх друзів-співробітників. За такої умови він купляє рівно одну святкову коробку й ділить цукерки з неї порівну між усіма присутніми, включаючи себе. Зауважимо, що на кожному святкуванні це вдалося зробити. Відомо, що рівно за рік Андрій на всіх святкуваннях, куди його запросили, з'їв 3939 цукерок, два Богдани з'їли по 2525, чотири Василі — по 8484, чотири Грицьки — по 9595, семеро Дмитрів — по 6565 цукерок. Яка найбільша кількість працівників була на дні народження одного з них, рахуючи також його самого?
5 класПідрахунок двома способами
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-21-22-039

Дроби k/(n-k) і значення d - 1

Петрик вибрав натуральне число nn, яке ділиться націло на натуральне число dd. Доведіть, що серед таких nn дробів: 0n, 1n−1, 2n−2, …, kn−k, …, n−1n−(n−1)\frac{0}{n},\ \frac{1}{n-1},\ \frac{2}{n-2},\ \ldots,\ \frac{k}{n-k},\ \ldots,\ \frac{n-1}{n-(n-1)} є число, яке дорівнює d−1d - 1.
6 класДільники та кратні (базові власти…
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-21-22-040

Гирі на шальках терезів і зняття для рівноваги

Є 20202020 гир масою 11 г, 22 г, …\ldots, 20202020 г. Петрик розклав їх на обидві шальки терезів, і на них встановилася рівновага. Скільки щонайменше гир (не менше ніж одну) Петрик може зняти з обох шальок, щоб терези лишилися в рівновазі за будь-якого розташування гир?
6 класРозбиття на випадки
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-21-22-041

Найменша кількість рівносторонніх трикутників у шестикутнику

Шестикутник, не обов’язково опуклий, усі сторони якого різної довжини, розрізали на рівносторонні трикутники. Яка найменша кількість трикутників могла при цьому утворитися?
6 класРозрізання, склеювання та рівноск…
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-001

Два різні неодноцифрові числа з паліндромними сумою і добутком

Знайдіть деякі два різних неодноцифрових натуральних числа, більших ніж 55, що й у сумі, і в добутку дають паліндром.
9–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-002

Найменше n з добутком (n + 1)(n + 2)(n + 3), кратним 1000

Знайдіть найменше натуральне число nn, для якого добуток (n+1)(n+2)(n+3)(n + 1)(n + 2)(n + 3) ділиться націло на 10001000.
9–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-023

Послідовність із шести чисел, 2-гарна і 3-гарна

Послідовність a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n складається з nn попарно різних цілих чисел. Для заданого k⩽nk \leqslant n розбиваємо члени послідовності на kk груп таким чином: до першої групи входять числа a1,ak+1,a2k+1,…a_1, a_{k+1}, a_{2k+1}, \ldots; до другої групи входять числа a2,ak+2,a2k+2,…a_2, a_{k+2}, a_{2k+2}, \ldots; і так далі, до kk-ї групи входять числа ak,ak+k,a2k+k,…a_k, a_{k+k}, a_{2k+k}, \ldots. Отже, кількість чисел у групах або однакова, або в перших групах кількість елементів у кожній по ll, а в усіх інших — по l−1l - 1. Послідовність назвемо kk-гарною, якщо це розбиття має таку властивість: суми чисел у всіх kk групах рівні. Наприклад, послідовність із 1010 чисел 1,2,3,4,−2,6,13,12,17,81, 2, 3, 4, -2, 6, 13, 12, 17, 8 є 44-гарною, бо рівними є такі суми чисел в утворених чотирьох групах: 1−2+17=2+6+8=3+13=4+12=16.1 - 2 + 17 = 2 + 6 + 8 = 3 + 13 = 4 + 12 = 16. Знайдіть послідовність із шести членів, яка одночасно є 22-гарною та 33-гарною.
9 класЛінійні рівняння та системи
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-024

Середини діагоналей вписаного чотирикутника і рівність кутів

Розглянемо вписаний чотирикутник ABCDABCD. Нехай точки MM, NN — середини діагоналей ACAC і BDBD відповідно. Доведіть, що коли ∠AMB=∠AMD\angle AMB = \angle AMD, то ∠ANB=∠BNC\angle ANB = \angle BNC.
9 класМетричні співвідношення в колі
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-025

Впорядкування ста томів перестановками трьох томів

На полиці в деякому порядку стоять 100100 томів енциклопедії, занумерованих числами від 11 до 100100. За один крок можна взяти довільні три томи та переставити їх у будь-якому порядку. Наприклад, якщо томи № 11, 22 та 33 стоять на позиціях 1010, 2020 та 3030 відповідно, то після такої операції можна поставити том № 11 на позицію 2020, том № 22 — на позицію 3030, том № 33 — на позицію 1010. Для якого найменшого числа mm за mm таких операцій гарантовано можна поставити кожний том на свою позицію, тобто щоб том № 11 займав позицію 11, том № 77 — позицію 77 тощо?
9 класНапівінваріанти
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-026

Квадрат p³-4p+9 для простого p

Знайдіть усі прості числа pp, для яких вираз p3−4p+9p^3 - 4p + 9 є точним квадратом цілого числа.
9 класМетод факторизації (розкладання н…
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-027

Впорядковані дійсні числа з дробовою умовою на суму квадратів

Нехай число nn — натуральне, n=m2+1n = m^2 + 1. Знайдіть усі такі набори дійсних чисел x1⩽x2⩽…⩽xnx_1 \leqslant x_2 \leqslant \ldots \leqslant x_n, що задовольняють умову xi=1+2mxi2x12+x22+…+xn2, i=1,n‾.x_i = 1 + \frac{2mx_i^2}{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2},\ i = \overline{1, n}.
9 класНерівність Коші
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-034

Найбільше k для k-гарної послідовності з 99 чисел

Послідовність a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n складається з nn попарно різних цілих чисел. Для заданого k⩽nk \leqslant n розбиваємо члени послідовності на kk груп таким чином: до першої групи входять числа a1,ak+1,a2k+1,…a_1, a_{k+1}, a_{2k+1}, \ldots; до другої групи входять числа a2,ak+2,a2k+2,…a_2, a_{k+2}, a_{2k+2}, \ldots; і так далі, до kk-ї групи входять числа ak,ak+k,a2k+k,…a_k, a_{k+k}, a_{2k+k}, \ldots. Отже, кількість чисел у групах або однакова, або в перших групах кількість елементів по ll, а в усіх інших — по l−1l - 1. Послідовність назвемо kk-гарною, якщо це розбиття має таку властивість: суми чисел у всіх kk групах рівні. Наприклад, послідовність із 1010 чисел 1,2,3,4,−2,6,13,12,17,81, 2, 3, 4, -2, 6, 13, 12, 17, 8 є 44-гарною, бо рівними є такі суми чисел в утворених чотирьох групах: 1−2+17=2+6+8=3+13=4+12=16.1 - 2 + 17 = 2 + 6 + 8 = 3 + 13 = 4 + 12 = 16. Для якого найбільшого kk існує послідовність із 9999 членів, яка є kk-гарною?
10 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-035

Сто попарно різних чисел і подільність на суми пар

Чи існують попарно різні натуральні числа a1,a2,…,a100a_1, a_2, \ldots, a_{100}, які задовольняють такі умови: - число a1a2…a100a_1 a_2 \ldots a_{100} ділиться на суму ai+aja_i + a_j для всіх 1⩽i<j⩽1001 \leqslant i < j \leqslant 100; - для кожного k=1,100‾k = \overline{1, 100} знайдуться такі індекси ii, jj, що 1⩽i<j⩽1001 \leqslant i < j \leqslant 100, при цьому число a1a2…ak−1ak+1ak+2…a100a_1 a_2 \ldots a_{k-1} a_{k+1} a_{k+2} \ldots a_{100} не ділиться на суму ai+aja_i + a_j?
10 класФункція vₚ(n) та її властивості
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-036

Одноколірні рядки і стовпці при фарбуванні у п'ять кольорів

Зафарбуємо деякі комірки 1×11 \times 1 дошки розміром 99×9999 \times 99 в один із п’яти заданих кольорів таким чином, щоб кожен з них був використаний однакову кількість разів. У кожному рядку та кожному стовпчику немає комірок, пофарбованих у різні кольори. Яку найбільшу кількість комірок на дошці можна зафарбувати за таких умов?
10 класОптимальна конструкція (оцінка і…
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-037

Пряма PT ділить навпіл відрізок MN при куті 90°

Продовження сторін ABAB і CDCD опуклого чотирикутника ABCDABCD перетинаються в точці PP, а діагоналі перетинаються в точці QQ. Точки MM та NN — середини діагоналей ACAC і BDBD відповідно. Описані кола трикутників BCQBCQ і MNQMNQ перетинаються вдруге в точці TT. Доведіть, що коли ∠APD=90∘\angle APD = 90^\circ, то пряма PTPT ділить відрізок MNMN навпіл.
10 класКоло і подібність
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-038

Рівність квадрата добутку та суми кубів

Доведіть, що для натуральних чисел n⩾3n \geqslant 3 та x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n, кожне з яких більше за 11, не може справджуватися рівність (x1x2…xn)2=x13+x23+…+xn3.(x_1 x_2 \ldots x_n)^2 = x_1^3 + x_2^3 + \ldots + x_n^3.
10 класМетод оцінок, що веде до малого п…
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-043

Послідовність із семи членів, 2-гарна, 3-гарна і 4-гарна

Послідовність a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n складається з nn попарно різних цілих чисел. Для заданого k⩽nk \leqslant n розбиваємо члени послідовності на kk груп таким чином: до першої групи входять числа a1,ak+1,a2k+1,…a_1, a_{k+1}, a_{2k+1}, \ldots; до другої групи входять числа a2,ak+2,a2k+2,…a_2, a_{k+2}, a_{2k+2}, \ldots; і так далі, до kk-ї групи входять числа ak,ak+k,a2k+k,…a_k, a_{k+k}, a_{2k+k}, \ldots. Отже, кількість чисел у групах або однакова, або в перших групах кількість елементів по ll, а в усіх інших — по l−1l - 1. Послідовність назвемо kk-гарною, якщо це розбиття має таку властивість: суми чисел у всіх kk групах рівні. Наприклад, послідовність із 1010 чисел 1,2,3,4,−2,6,13,12,17,81, 2, 3, 4, -2, 6, 13, 12, 17, 8 є 44-гарною, бо рівними є такі суми чисел в утворених чотирьох групах: 1−2+17=2+6+8=3+13=4+12=16.1 - 2 + 17 = 2 + 6 + 8 = 3 + 13 = 4 + 12 = 16. Знайдіть послідовність із семи членів, яка одночасно є 22-гарною, 33-гарною та 44-гарною.
11 класЛінійні рівняння та системи
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-044

Чотири різні двозначні номери кімнат із сумою

Чотирьох друзів-математиків заселили в різні кімнати готелю. Кожен з них знав лише, що номери їхніх кімнат є різними двоцифровими числами, а також те, що один із цих номерів дорівнює сумі трьох інших. Крім того, їм повідомили, що, навіть дізнавшись номери трьох інших колег, жоден з них не зможе гарантовано сказати номер своєї кімнати. Визначте номери кімнат, у які заселили математиків.
11 класМетод оцінок, що веде до малого п…
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-045

Однакова кількість прямокутників 2×4 та 1×8 у квадраті 100×100

Чи можна квадрат розміром 100×100100 \times 100 клітинок розрізати на прямокутники розміром 2×42 \times 4 клітинки та 1×81 \times 8 клітинок так, щоб прямокутників обох видів була однакова кількість?
11 класКольорові інваріанти (розфарбуван…
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-046

Неперервні функції з рівністю для деякого t

Знайдіть усі неперервні функції f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, що задовольняють таку умову: для довільних дійсних xx, yy існує число t∈(0,1)t\in(0,1), для якого справджується рівність f((1−t)x+ty)=(1−t)f(x)+tf(y).f((1-t)x+ty)=(1-t)f(x)+tf(y).
11 класФункціональне рівняння Коші та сп…
Олімпіада SET University з математикиSETMO-21-22-047

Пряма H1H2 і точки перетину описаних кіл

Нехай трикутник APDAPD — гострокутний, на сторонах APAP та PDPD якого вибрано точки BB і CC відповідно. Діагоналі чотирикутника ABCDABCD перетинаються в точці QQ. Позначимо через H1H_1 та H2H_2 ортоцентри трикутників APDAPD і BPCBPC відповідно. Описані кола трикутників ABQABQ і CDQCDQ перетинаються вдруге в точці X≠QX \neq Q, а описані кола трикутників ADQADQ і BCQBCQ перетинаються вдруге в точці YY. Доведіть, що коли пряма H1H2H_1H_2 проходить через точку XX, то вона проходить і через точку YY.
11 класРадикальна вісь

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.