Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

387 задач
АлгебраСуми послідовностей
Відбіркові тести на IMOTST-2019-028

Бієкції на кільці лишків з лінійними зсувами

Нехай Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} позначає множину цілих чисел за модулем nn (отже, Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} має nn елементів). Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує бієктивна функція g:Z/nZ→Z/nZg: \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, така, що 101 функція g(x), g(x)+x, g(x)+2x, …, g(x)+100xg(x),\ g(x) + x,\ g(x) + 2x,\ \dots,\ g(x) + 100x є бієкціями на Z/nZ\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}.
10–11 класиСуми послідовностей
Відбіркові тести на IMOTST-2019-025

Зображуваність сумою членів показникової послідовності

Означимо послідовність (an)n≥0\left(a_{n}\right)_{n \geq 0} цілих чисел формулою an:=2n+2⌊n/2⌋a_{n}:=2^{n}+2^{\lfloor n / 2\rfloor}. Доведіть, що існує нескінченно багато членів послідовності, які можна подати у вигляді суми принаймні двох різних членів послідовності, а також існує нескінченно багато членів послідовності, які в такому вигляді подати не можна.
10–11 класиСуми послідовностей
Італійська математична олімпіадаITAMO-2019-010

Послідовність зі сталою сумою чотирьох членів

Дано послідовність із 2019 чисел a1,a2,a3,…,a2019a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{2019}. Відомо, що сума будь-яких 4 послідовних членів послідовності є сталою. Так само різниця за абсолютною величиною двох послідовних чисел є сталою (тобто ∣a1−a2∣=∣a2−a3∣=∣a3−a4∣=…\left|a_{1}-a_{2}\right|=\left|a_{2}-a_{3}\right|=\left|a_{3}-a_{4}\right|=\ldots). Крім того, відомо, що a1<a2<a3a_{1}<a_{2}<a_{3} і що a2=6a_{2}=6. Чому дорівнює сума всіх чисел послідовності? (A) 2019 (B) 2020 (C) 4038 (D) 12114 (E) Даних недостатньо, щоб її визначити
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-027

Симетрична сума обернених значень

а) Знайдіть значення суми 11+1/x+11+x\frac{1}{1+1/x}+\frac{1}{1+x} б) Знайдіть значення суми 12019−2019+1+…+12019−1+1+120190+1+120191+1+…+120192019+1\frac{1}{2019^{-2019}+1}+\ldots+\frac{1}{2019^{-1}+1}+\frac{1}{2019^{0}+1}+\frac{1}{2019^{1}+1}+\ldots+\frac{1}{2019^{2019}+1}
10–11 класиПеретворення дробів
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2018-004

Сума значень многочлена та його значення в останній точці

Знайдіть усі многочлени p(x)p(x) з дійсними коефіцієнтами, які мають таку властивість: існує многочлен q(x)q(x) з дійсними коефіцієнтами такий, що p(1)+p(2)+p(3)+⋯+p(n)=p(n)q(n)p(1)+p(2)+p(3)+\cdots+p(n)=p(n) q(n) для всіх додатних цілих чисел nn.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-008

Сума знакозмінного рядка трикутника Паскаля

У Паскаля є трикутник. У nn-му рядку є n+1n+1 чисел an,0,an,1,an,2,…,an,na_{n, 0}, a_{n, 1}, a_{n, 2}, \ldots, a_{n, n}, де an,0=an,n=1a_{n, 0}=a_{n, n}=1. Для всіх 1≤k≤n−11 \leq k \leq n-1 виконується an,k=an−1,k−an−1,k−1a_{n, k}=a_{n-1, k}-a_{n-1, k-1}. Чому дорівнює сума всіх чисел у 2018-му рядку?
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-132

Умовне математичне сподівання геометричного розподілу

У мішку лежать дев'ять синіх кульок, десять потворних кульок і одна особлива кулька. Раян навмання витягує кульки з цього мішка з поверненням, доки не витягне особливу кульку. Він помічає, що жодна з витягнутих ним кульок не була потворною. За цієї умови знайдіть математичне сподівання загальної кількості витягнутих ним кульок.
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-091

Подільність на трикутне число

Знайдіть суму всіх натуральних чисел nn таких, що 1+2+⋯+n1+2+\cdots+n є дільником числа 15[(n+1)2+(n+2)2+⋯+(2n)2].15\left[(n+1)^2+(n+2)^2+\cdots+(2 n)^2\right] .
10–11 класиДільники та кратні (базові власти…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-094

Випадкова функція зі взаємною досяжністю

Нехай [n][n] позначає множину цілих чисел {1,2,…,n}\{1,2, \ldots, n\}. Навмання вибираємо функцію f:[n]→[n]f:[n] \rightarrow [n] серед nnn^{n} можливих функцій. Також рівномірно навмання вибираємо ціле число aa з множини [n][n]. Знайдіть ймовірність того, що існують натуральні числа b,c≥1b, c \geq 1 такі, що fb(1)=af^{b}(1)=a і fc(a)=1f^{c}(a)=1. (fk(x)f^{k}(x) позначає результат застосування функції ff до xx kk разів).
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-026

Подвійна сума з квадратичним чисельником

Знайдіть значення ∑k=160∑n=1kn261−2n\sum_{k=1}^{60} \sum_{n=1}^{k} \frac{n^{2}}{61-2 n}
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-062

Асимптотичне відношення кількостей способів розміну

Нехай nn — натуральне число. Нехай PnP_{n} — кількість способів, якими Претті Пенні може скласти рівно nn доларів із монет номіналом 25, 10, 5 і 1 цент. Також нехай BnB_{n} — кількість способів, якими Б'ютіфул Білл може скласти рівно nn доларів з однодоларових купюр і монет номіналом 25, 10 і 5 центів. Коли nn прямує до нескінченності, послідовність дробів PnBn\frac{P_{n}}{B_{n}} прямує до дійсного числа cc. Знайдіть cc. Примітка: вважайте, що і Претті Пенні, і Б'ютіфул Білл мають необмежену кількість монет кожного типу. Отже, монети й купюри мають номінали 1,5,10,25,1001,5,10,25,100 центів.
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-070

Оцінка суми знакозмінного трикутника Паскаля

У Паскаля є трикутник. У nn-му рядку є n+1n+1 чисел an,0,an,1,an,2,…,an,na_{n, 0}, a_{n, 1}, a_{n, 2}, \ldots, a_{n, n}, де an,0=an,n=1a_{n, 0}=a_{n, n}=1. Для всіх 1≤k≤n−11 \leq k \leq n-1 виконується an,k=an−1,k−an−1,k−1a_{n, k}=a_{n-1, k}-a_{n-1, k-1}. Нехай NN — значення суми ∑k=02018∣a2018,k∣(2018k).\sum_{k=0}^{2018} \frac{\left|a_{2018, k}\right|}{\binom{2018}{k}} . Оцініть NN. Оцінка E>0E>0 дає ⌊20⋅2−∣N−E∣/70⌋\left\lfloor 20 \cdot 2^{-\left|N-E\right| / 70}\right\rfloor балів.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2018-007

Сума обернених добутків непарних чисел

Для кожного натурального числа nn позначимо через f(n)f(n) добуток усіх непарних натуральних чисел, не більших за 2n+12n+1 (наприклад, f(4)=1⋅3⋅5⋅7⋅9f(4)=1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9). Покладемо далі g(n)=nf(n)g(n)=\frac{n}{f(n)}. Що можна сказати про суму S=g(1)+g(2)+⋯+g(30)S=g(1)+g(2)+\cdots+g(30)? (A) S≤0.35S \leq 0.35 (B) 0.35<S≤0.490.35<S \leq 0.49 (C) 0.49<S≤0.500.49<S \leq 0.50 (D) 0.50<S≤0.510.50<S \leq 0.51 (E) S>0.51S>0.51
10–11 класиСуми послідовностей
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2017-001

Суми на шляхах у таблиці множення

Розглянемо таблицю множення n×nn \times n нижче. Числа першого стовпчика, помножені на числа першого рядка, дають решту чисел таблиці. | 1 | 2 | 3 | ⋯\cdots | nn | |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: | | 2 | 4 | 6 | ⋯\cdots | 2n2 n | | 3 | 6 | 9 | ⋯\cdots | 3n3 n | | ⋮\vdots | ⋮\vdots | ⋮\vdots | ⋱\ddots | ⋮\vdots | | nn | 2n2 n | 3n3 n | ⋯\cdots | n2n^{2} | Побудуємо шлях з верхньої лівої клітинки до нижньої правої клітинки, щоразу переходячи на одну клітинку або праворуч, або вниз. Наприклад, для випадку n=5n=5 один із таких можливих шляхів наведено нижче, причому всі числа вздовж шляху обведено: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |:---: |:---: |:---: |:---: |:---: | | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | Якщо додати обведені числа в наведеному вище прикладі (включно з початковою та кінцевою клітинками), отримаємо 93. Серед усіх таких можливих шляхів на сітці n×nn \times n: a. Яка найменша можлива сума чисел уздовж такого шляху? Відповідь виразіть через nn і доведіть її правильність. b. Яка найбільша можлива сума чисел уздовж такого шляху? Відповідь виразіть через nn і доведіть її правильність.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2017-011

Стійкі набори зі знаками, що чергуються

Назвемо набір (a1,…,an)(a_1, \dots, a_n) дійсних чисел стійким, якщо суми a1+a2+⋯+aka_1 + a_2 + \dots + a_k, а також суми ak+ak+1+⋯+ana_k + a_{k+1} + \dots + a_n, де в обох випадках 0<k≤n0 < k \le n, є або всі від'ємними, або всі невід'ємними. Наприклад, набір (3,−1,2)(3, -1, 2) є стійким, оскільки: 3≥0,2≥0,3+(−1)≥0,(−1)+2≥0,3+(−1)+2≥0;3+(−1)+2≥0.\begin{array}{lclcl} 3 & \ge & 0, & 2 & \ge 0, \\ 3 + (-1) & \ge & 0, & (-1) + 2 & \ge 0, \\ 3 + (-1) + 2 & \ge & 0; & 3 + (-1) + 2 & \ge 0. \end{array} Доведіть, що в будь-якому стійкому наборі з принаймні 3 членів, у якому всі члени почергово від'ємні та невід'ємні (невідомо, чи перший член від'ємний, чи невід'ємний), існують 3 послідовні члени, які разом (без переставляння) самі утворюють стійкий набір.
11 класЧислові нерівності
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-012

Сума показників різноманіття за спеціальностями

У певному коледжі, де навчається 10001000 студентів, кожен студент може обрати своєю спеціальністю рівно одну з чотирьох дисциплін: математику, інформатику, фінанси або англійську мову. Показником різноманіття d(s)d(s) студента ss називається кількість студентів, що навчаються на інших спеціальностях, ніж ss, поділена на кількість студентів тієї самої спеціальності, що й ss (включно із самим ss). Різноманітністю DD коледжу називається сума всіх показників різноманіття d(s)d(s). Знайдіть усі можливі значення DD.
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-025

Послідовність зі співвідношенням суми кубів і квадрата суми

Послідовність натуральних чисел a1,a2,…,a2017a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2017} має властивість, що для всіх цілих mm, для яких 1≤m≤20171 \leq m \leq 2017, виконується 3(∑i=1mai)2=∑i=1mai33\left(\sum_{i=1}^{m} a_{i}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{m} a_{i}^{3}. Обчисліть a1337a_{1337}.
10–11 класиМетод математичної індукції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-025

Математичне сподівання числа повернень до нуля у випадковому блуканні

Жаба Кельвін стрибає по числовій прямій (нескінченній в обох напрямках). Кельвін починає в точці 00. Щохвилини з ймовірністю 13\frac{1}{3} він рухається на 11 одиницю вліво, з ймовірністю 13\frac{1}{3} — на 11 одиницю вправо, а з ймовірністю 13\frac{1}{3} його з'їдають. Знайдіть математичне сподівання кількості повернень Кельвіна в точку 00 (не рахуючи початкового моменту) до того, як його з'їдять.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-005

Повні набори з цілими крайніми сумами

Нехай nn — парне натуральне число. Набір з nn дійсних чисел назвемо повним, якщо для кожного цілого mm з 1≤m≤n1 \leq m \leq n виконується, що сума перших mm членів або сума останніх mm членів набору є цілою. Визначте мінімальну кількість цілих чисел у повному наборі з nn чисел.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові тести на IMOTST-2017-015

Послідовність із нульовою сумою та її часткові суми

Нехай a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} — послідовність дійсних чисел така, що a1+⋯+an=0a_{1}+\cdots+a_{n}=0, і покладемо bi=a1+⋯+aib_{i}=a_{1}+\cdots+a_{i} для 1≤i≤n1 \leq i \leq n. Припустімо, що bi(aj+1−ai+1)≥0b_{i}\left(a_{j+1}-a_{i+1}\right) \geq 0 для всіх 1≤i≤j≤n−11 \leq i \leq j \leq n-1. Доведіть, що max⁡1≤ℓ≤n∣aℓ∣≥max⁡1≤m≤n∣bm∣\max _{1 \leq \ell \leq n}\left|a_{\ell}\right| \geq \max _{1 \leq m \leq n}\left|b_{m}\right|
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-114

Квадрати чисел із сумою цифр 2

Нехай AA — множина всіх цілих чисел nn таких, що 1≤n≤100001 \leq n \leq 10000, причому сума десяткових цифр числа nn дорівнює 22. Знайдіть суму квадратів елементів множини AA.
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-116

Лінійне рекурентне співвідношення з умовою на суму

Нескінченна послідовність дійсних чисел a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots задовольняє рекурентне співвідношення an+3=an+2−2an+1+ana_{n+3}=a_{n+2}-2 a_{n+1}+a_{n} для кожного натурального числа nn. Відомо, що a1=a3=1a_{1}=a_{3}=1 і a98=a99a_{98}=a_{99}. Обчисліть a1+a2+⋯+a100a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{100}.
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-031

Гусінь на числовій прямій зі змінною швидкістю

Дуже голодна гусінь живе на числовій прямій. Для кожного ненульового цілого ii на точці з координатою ii лежить фрукт. Гусінь повзає туди-сюди; щоразу, коли вона досягає точки з їжею, вона з'їдає їжу, збільшуючи свою вагу на один фунт, і розвертається. Гусінь рухається зі швидкістю 2−w2^{-w} одиниць на день, де ww — її вага. Якщо гусінь починає рух з початку координат, маючи вагу нуль фунтів, і спочатку рухається у додатному напрямі осі xx, то через скільки днів її вага становитиме 10 фунтів?
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-039

Границя знакозмінної біноміальної суми

Нехай A=lim⁡n→∞∑i=02016(−1)i⋅(ni)(ni+2)(ni+1)2A = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=0}^{2016} (-1)^i \cdot \frac{\binom{n}{i} \binom{n}{i+2}}{\binom{n}{i+1}^2} Знайдіть найбільше ціле число, яке не перевищує 1A\frac{1}{A}. Може стати в пригоді таке десяткове наближення: 0.6931<ln⁡(2)<0.69320.6931 < \ln(2) < 0.6932, де ln⁡\ln позначає функцію натурального логарифма.
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-040

Сума обернених чисел з простими дільниками 2 і 2017

Нехай SS — множина всіх натуральних чисел, у розкладі яких на прості множники трапляються лише прості числа 22 і 20172017 (тобто 11, степені 22 і степені 20172017 містяться в SS). Обчисліть ∑s∈S1s.\sum_{s \in S} \frac{1}{s}.
10–11 класиГеометрична прогресія

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.