Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

2 736 задач
Теорія чиселДіофантові рівняння
Математичний гурток БеркліBMC-2015-023

Сума за умови повного квадрата

Нехай aa, bb, cc — натуральні числа такі, що a2−bca^{2}-b c — повний квадрат. Доведіть, що число 2a+b+c2a+b+c не є простим.
Метод факторизації (розкладання н…
Математичний гурток БеркліBMC-2015-016

Прості числа, квадрат яких плюс два — просте

Для яких простих чисел pp число p2+2p^{2}+2 також є простим? Доведіть свою відповідь.
Міркування за модулем
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-007

Тупокутні трикутники з малими цілими сторонами

Для трикутника зі сторонами a≤b≤ca \leq b \leq c за теоремою косинусів маємо: cos⁡C^=a2+b2−c22ab\cos \hat{C}=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b} Якщо кут C^\hat{C} тупий, cos⁡C^<0\cos \hat{C}<0. Оскільки 2ab2 a b додатне, це те саме, що a2+b2−c2<0a^{2}+b^{2}-c^{2}<0. Тому, щоб трикутник був тупокутним, квадрат найбільшої сторони має бути більшим за суму квадратів двох інших сторін. Крім того, за нерівністю трикутника знаємо, що найбільша сторона менша за суму двох інших. Ці дві умови можна об'єднати в нерівності a2+b2<c2<(a+b)2a^{2}+b^{2}<c^{2}<(a+b)^{2} Скільки тупокутних трикутників можна утворити з цілими додатними сторонами, меншими за 7? Зауваження: Вважайте, що два трикутники з однаковими довжинами сторін, але в різному порядку, являють собою той самий трикутник.
Метод оцінок, що веде до малого п…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-008

Неперетинні множини смаків морозива

Педру вирішив повести всіх своїх дітей, хлопчиків і дівчаток, у морозивницю «Математичне морозиво» поласувати морозивом. У морозивниці є 12 різних смаків морозива, і кожна дитина замовила комбо з 3 кульок морозива. Після виходу з морозивниці Педру помітив, що загалом було замовлено рівно по дві кульки кожного наявного смаку. a) Скільки всього дітей (дівчаток і хлопчиків) у Педру, якщо сам він морозива не їв? b) Педру уважніше придивився до смаків, які замовив кожен, і помітив, що жоден смак не був замовлений і хлопчиком, і дівчинкою, тобто якщо хлопчик обрав якийсь смак, то жодна дівчинка той самий смак не обирала. Знаючи, що принаймні один з його дітей — хлопчик і що доньок у нього більше, ніж синів, визначте кількість його доньок.
Парність та непарність
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-028

Непарні квадрати за модулем 8 і послідовність

Числа, які є квадратами додатних цілих чисел, називаються повними квадратами; наприклад, 16 — повний квадрат, бо дорівнює 424^{2}. Цікавим фактом є те, що повні квадрати дають лише остачі 0 або 1 при діленні на 4. Завдяки цьому можна довести, наприклад, що 2014 не є повним квадратом, бо 2014 дає остачу 2 при діленні на 4. a) Знаючи, що кожне непарне ціле число має вигляд 2k+12k+1, покажіть, що непарні повні квадрати дають остачу 1 при діленні на 8. b) Чи можна розставити 45 непарних цілих чисел у послідовність так, щоб сума будь-яких 5 послідовних і будь-яких 9 послідовних чисел була повним квадратом?
Міркування за модулем
Математичний гурток БеркліBMC-2013-001

Цифра десятків у степенях трійки

Доведіть, що кожен степінь 33, починаючи з 2727, має парну цифру десятків.
Розклад по розрядах, десяткові др…
Математичний гурток БеркліBMC-2013-016

Просте число як різниця кубів і квадратична форма

Нехай pp — просте число, яке має вигляд a3−b3a^{3}-b^{3} для деяких натуральних чисел aa і bb. Доведіть, що pp також має вигляд c2+3d2c^{2}+3 d^{2} для деяких натуральних чисел cc і dd.
Метод факторизації (розкладання н…
Математичний гурток БеркліBMC-2013-011

Складені числа з дільниками на одиницю більшими за степінь

Знайдіть усі складені натуральні числа nn такі, що всі дільники числа nn можна записати у вигляді ar+1a^{r}+1, де aa і rr — цілі числа, причому a≥0a \geq 0 і r≥2r \geq 2.
Метод факторизації (розкладання н…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-043

П'ятицифрове число з умовами подільності

Жуарес використав цифри 11, 22, 33, 44 і 55, щоб записати п'ятицифрове число abcde‾\overline{abcde} з п'яти різних цифр. Не розкриваючи, що це за число, він сказав Лусіані, що: - число abc‾\overline{abc} ділиться на 44; - число bcd‾\overline{bcd} ділиться на 55; - число cde‾\overline{cde} ділиться на 33. Після цього Лусіана сказала Жуаресу, що можна визначити, яке це число abcde‾\overline{abcde}. Покажіть, що Лусіана має рацію, тобто знайдіть число abcde‾\overline{abcde}.
Ознаки подільності на 2, 3, …
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-034

Подільність реп'юнітів на степені трійки

Розглянемо список чисел a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots, де an=111111…1⏟3n цифр a_{n}=\underbrace{111111 \ldots 1}_{3^{n} \text{ цифр }} тобто a1=111⏟три одиниці a_{1}=\underbrace{111}_{\text{три одиниці }}, a2=111111111⏟дев’ять одиниць a_{2}=\underbrace{111111111}_{\text{дев'ять одиниць }}, a3=111…1⏟двадцять сім одиниць a_{3}=\underbrace{111 \ldots 1}_{\text{двадцять сім одиниць }}, і так далі. a) Доведіть, що a1a_{1} кратне 3, але не кратне 9. b) Доведіть, що a2a_{2} кратне 9, але не кратне 27. c) Доведіть, що a3a_{3} кратне 27, але не кратне 81.
Метод факторизації (розкладання н…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2013-038

П'ятдесят замкнених дверей і числа з ключами

Перші 50 натуральних чисел проходитимуть коридором, у якому є 50 дверей, пронумерованих від 1 до 50, усі вони спочатку замкнені. Першим пройде число 11, другим буде число 22, далі число 33 і так далі, аж до числа 5050, яке пройде останнім. Проходячи коридором, число nn нестиме із собою ключі від дверей, номери яких кратні nn. Так, наприклад, число 11 нестиме ключі від усіх дверей, тоді як число 22 нестиме лише ключі від дверей з парними номерами, а число 2525 нестиме лише ключі від дверей з номерами 2525 і 5050. Під час свого шляху кожне число використовує ключі, які воно має, щоб замкнути ті двері, що відімкнені, і відімкнути ті, що замкнені. a) Які двері відімкне число 1515? b) Доведіть, що після того, як число 5050 пройде коридором, двері з номером 1010 залишаться замкненими, а двері з номером 99 — відімкненими. c) Після того, як число 5050 пройде коридором, які двері залишаться відімкненими?
Кількість дільників τ(n)
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2012-008

Многочлени, що зберігають взаємну простість

Знайдіть усі ненульові многочлени P(x)P(x) з цілими коефіцієнтами, які задовольняють таку властивість: якщо aa і bb — взаємно прості цілі числа, то P(a)P(a) і P(b)P(b) також взаємно прості. Доведіть, що ваша відповідь правильна. (Два цілі числа взаємно прості, якщо вони не мають спільних простих дільників. Наприклад, −70-70 і 9999 — взаємно прості, а −70-70 і 1515 — ні.)
Метод затискання між сусідніми зн…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-025

Цифри одиниць дільників

Цифра є хрещеником натурального числа, якщо вона є цифрою одиниць деякого дільника цього числа. Наприклад, дільники числа 5656 — це 11, 22, 44, 77, 88, 1414, 2828 і 5656, отже хрещениками числа 5656 є 11, 22, 44, 66, 77 і 88. а) Які хрещеники числа 5757? б) Знайдіть число, для якого 77 і 99 є хрещениками, а 33 — ні. Які хрещеники цього числа? в) Поясніть, чому 22 і 55 є хрещениками будь-якого числа, яке має 00 серед своїх хрещеників. г) Поясніть, чому 88 є хрещеником будь-якого числа, яке має 00 і 99 серед своїх хрещеників.
Дільники та кратні (базові власти…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-027

Симпатичні числа виду суми квадратів мінус квадрат

Ціле число nn називається симпатичним, коли існують натуральні числа a,ba, b і cc такі, що a<b<ca < b < c і n=a2+b2−c2n = a^{2} + b^{2} - c^{2}. Наприклад, числа 1 і 2 симпатичні, оскільки 1=42+72−821 = 4^{2} + 7^{2} - 8^{2} і 2=52+112−1222 = 5^{2} + 11^{2} - 12^{2}. a) Перевірте, що (3x+1)2+(4x+2)2−(5x+2)2(3x+1)^{2} + (4x+2)^{2} - (5x+2)^{2} дорівнює 2x+12x+1 для будь-якого xx. b) Знайдіть цілі числа mm і nn такі, що (3x−m)2+(4x−n)2−(5x−5)2=2x(3x-m)^{2} + (4x-n)^{2} - (5x-5)^{2} = 2x для будь-якого xx. c) Покажіть, що число 4 симпатичне. d) Покажіть, що всі натуральні числа симпатичні.
Піфагорові трійки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-038

Розбиття прямокутника на дев'ять заданих квадратів

Принцеса Телассім розрізала прямокутний аркуш паперу на 9 квадратів зі сторонами 1,4,7,8,9,10,14,151, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 і 1818 сантиметрів. a) Якою була площа аркуша до розрізання? b) Якими були розміри аркуша до розрізання? c) Принцесі Телассім потрібно скласти аркуш заново. Допоможіть їй, показавши на малюнку, як зробити це складання.
Розрізання, покриття та замощення
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2011-004

Множина, замкнена щодо відстаней між своїми точками

Нехай SS — скінченна непорожня множина дійсних чисел така, що відстань між будь-якими двома різними точками з множини SS є елементом множини SS. Іншими словами, ∣x−y∣|x-y| належить множині SS щоразу, коли x≠yx \neq y та обидва xx і yy лежать у множині SS. Доведіть, що елементи множини SS можна розташувати в арифметичну прогресію. Це означає, що існують числа aa і dd такі, що S={a,a+d,a+2d,a+3d,…,a+kd,…}S=\{a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots, a+kd, \ldots\}.
Арифметична прогресія
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2011-006

Різні біноміальні коефіцієнти з подвійними відношеннями

Чи існує рядок трикутника Паскаля, що містить чотири різні елементи aa, bb, cc і dd такі, що b=2ab=2a і d=2cd=2c? Зауважимо, що значення мають бути різними, тобто aa, bb, cc, dd мають бути чотирма різними числами. Нагадаємо, що трикутник Паскаля — це схема чисел, яка починається так: де елементи кожного рядка є сумами пар сусідніх елементів попереднього рядка. Наприклад, 10=4+610 = 4 + 6. Також зауважимо, що останній показаний вище рядок містить чотири елементи a=5a=5, b=10b=10, d=10d=10, c=5c=5, які задовольняють b=2ab=2a і d=2cd=2c, але ці чотири елементи НЕ є різними.
Рівняння Пелля
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-018

Складеність великих чисел

a. Доведіть, що число 39999913999991 не є простим. b. Доведіть, що число 10003431000343 не є простим.
Метод факторизації (розкладання н…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-019

Розбиття множини на трійки із сумою

Множина чисел називається трилегальною, якщо її можна розбити на триелементні підмножини так, що один з елементів дорівнює сумі двох інших. Наприклад, множина {1,2,3,…,11,12}\{1,2,3, \ldots, 11,12\} є трилегальною, оскільки її можна розбити на {1,5,6}\{1,5,6\}, {2,9,11},{3,7,10}\{2,9,11\},\{3,7,10\} і {4,8,12}\{4,8,12\}. a. Доведіть, що {1,2,…,14,15}\{1,2, \ldots, 14,15\} є трилегальною. b. Доведіть, що {1,2,…,2010}\{1,2, \ldots, 2010\} не є трилегальною.
Парність та непарність
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-031

Цифра одиниць квадрата з цифрою десятків 7

Квадрат числа 1313 дорівнює 169169, у якому цифра десятків дорівнює 66. У квадраті іншого числа цифра десятків дорівнює 77. Які можливі значення цифри одиниць цього квадрата?
Розклад по розрядах, десяткові др…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2010-001

Прості суми підмножин трьох чисел

Через {a,b,c}\{a, b, c\} позначимо множину з трьох різних натуральних чисел a,ba, b і cc. Вибираючи деякі або всі з чисел a,ba, b і cc, можна утворити сім непорожніх підмножин множини {a,b,c}\{a, b, c\}. Далі можна обчислити суму елементів кожної підмножини. Наприклад, для множини {4,7,42}\{4,7,42\} отримаємо для її семи підмножин суми 4,7,42,11,46,494,7,42,11,46,49 і 5353. Оскільки 77, 1111 і 5353 — прості, множина {4,7,42}\{4,7,42\} має рівно три підмножини з простими сумами. (Нагадаємо, що простими називаються числа, які мають рівно два різні дільники — 11 і саме це число. Зокрема, число 11 не є простим.) Яка найбільша кількість підмножин із простими сумами можлива для множини з трьох різних натуральних чисел? Наведіть приклад множини {a,b,c}\{a, b, c\}, що має таку кількість підмножин із простими сумами, і поясніть, чому жодна інша триелементна множина не може мати більше.
Парність та непарність
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2010-005

Многокутник з цілими сторонами та вершинами на решітці

Усі вершини многокутника PP лежать у точках з цілочисельними координатами на площині, і всі сторони PP мають цілі довжини. Доведіть, що периметр PP обов'язково є парним числом.
Парність та непарність
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2009-002

Однакові останні дві цифри квадратів і середні арифметичні

Існує багато наборів з двох різних натуральних чисел aa і bb, обидва менші за 5050, таких, що a2a^{2} і b2b^{2} закінчуються на однакові останні дві цифри. Наприклад, 352=122535^{2}=1225 і 452=202545^{2}=2025 обидва закінчуються на 2525. Знайдіть усі можливі значення середнього арифметичного чисел aa і bb. Для потреб цієї задачі вважаємо, що одноцифрові квадрати мають нуль на початку; так, наприклад, ми вважаємо, що 222^{2} закінчується цифрами 0404, а не 44.
Міркування за модулем
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2009-003

Скінченні множини, замкнені щодо НСД-суми

Множина SS натуральних чисел називається магічною, якщо для будь-яких двох різних елементів ii та jj множини SS число i+jНСД(i,j)\frac{i+j}{\text{НСД}(i, j)} також належить SS. НСД\text{НСД}, тобто найбільший спільний дільник, двох натуральних чисел — це найбільше ціле число, що ділить націло кожне з них; наприклад, НСД(36,80)=4\text{НСД}(36,80)=4. Знайдіть і опишіть усі скінченні магічні множини.
НСД та НСК
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2009-004

Стрибки жаб по правильному шестикутнику

На початку цієї задачі шість жаб сидять по одній у кожній із шести вершин правильного шестикутника. Щохвилини ми обираємо жабу, яка має стрибнути через іншу жабу за одним із двох правил, зображених нижче. Якщо жаба в точці FF стрибає через жабу в точці PP, то вона приземлиться в точці F′F' такій, що FF, PP і F′F' лежать на одній прямій, причому: - за Правилом 11, F′P=2FPF'P = 2FP. - за Правилом 22, F′P=FP/2F'P = FP / 2. Правило 1 Правило 2 Яку жабу обрати для стрибка і через яку жабу стрибнути — вирішуємо ми. а. Якщо ми користуємось лише Правилом 1, чи може якась жаба за скінченний час приземлитися в центр початкового шестикутника? б. Якщо дозволені обидва правила — і Правило 1, і Правило 2 (вільно обираючи, яким правилом користуватися, яка жаба стрибає і через яку жабу вона стрибає), чи може якась жаба за скінченний час приземлитися в центр початкового шестикутника?
Остача від ділення

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.