Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

293 задачі
КомбінаторикаБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-2006-016

Тріангуляції з двома внутрішніми трикутниками

Нехай nn — задане ціле число, причому nn більше за 77, а P\mathcal{P} — опуклий многокутник з nn сторонами. Будь-яка множина з n−3n-3 діагоналей P\mathcal{P}, які не перетинаються у внутрішності многокутника, визначає тріангуляцію P\mathcal{P} на n−2n-2 трикутники. Трикутник у тріангуляції многокутника P\mathcal{P} називається внутрішнім, якщо всі його сторони є діагоналями P\mathcal{P}. Виразіть через nn кількість тріангуляцій многокутника P\mathcal{P} з рівно двома внутрішніми трикутниками в замкненому вигляді.
10–11 класиБієкції
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2006-017

Кількість 20-наборів натуральних чисел з рівностями

Знайдіть кількість 20-наборів (p1,p2,…,p10,q1,q2,…,q10)(p_1, p_2, \dots, p_{10}, q_1, q_2, \dots, q_{10}) з натуральних чисел, для яких p1=q10=1p_1 = q_{10} = 1 і pi+1<qi−pip_i+1 < q_i - p_i для всіх i=1,2,…,9i = 1, 2, \dots, 9.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2005-001

Шляхи в трикутній сітці

Розглянемо рівносторонній трикутник зі стороною nn, поділений на одиничні трикутники, як показано. Нехай f(n)f(n) — кількість шляхів від трикутника у верхньому ряді до середнього трикутника в нижньому ряді таких, що сусідні трикутники шляху мають спільну сторону, а шлях ніколи не йде вгору (з нижчого ряду до вищого) і не відвідує жодного трикутника повторно. Приклад одного такого шляху для n=5n=5 наведено нижче. Знайдіть значення f(2005)f(2005).
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2005-053

Розміщення з умовами сусідства та порядку

Скількома способами можна вишикувати в ряд 88 людей, якщо Еліс і Боб мають стояти поруч, а Керол має стояти десь позаду Дена?
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2004-033

Неспадні набори з лексикографічним порядком

Знайдіть кількість 20-ок цілих чисел x1,…,x10,y1,…,y10x_{1}, \ldots, x_{10}, y_{1}, \ldots, y_{10} з такими властивостями: - 1≤xi≤101 \leq x_{i} \leq 10 і 1≤yi≤101 \leq y_{i} \leq 10 для кожного ii; - xi≤xi+1x_{i} \leq x_{i+1} для i=1,…,9i=1, \ldots, 9; - якщо xi=xi+1x_{i}=x_{i+1}, то yi≤yi+1y_{i} \leq y_{i+1}.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2004-035

Антипаліндромні рядки та сума обернених значень

Для рядка, складеного з PP і QQ, значенням називають добуток номерів позицій, на яких стоять PP. Наприклад, рядок PPQPQQP P Q P Q Q має значення 1⋅2⋅4=81 \cdot 2 \cdot 4=8. Рядок називається антипаліндромним, якщо, записавши його задом наперед, а потім замінивши всі PP на QQ і навпаки, дістанемо початковий рядок. Наприклад, PPQPQQP P Q P Q Q — антипаліндромний. Існує 210022^{1002} антипаліндромних рядків довжини 20042004. Знайдіть суму обернених до їхніх значень.
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2003-081

Членство в клубах із розділювальною властивістю

У певному коледжі є 10 клубів і деяка кількість студентів. Для будь-яких двох різних студентів існує клуб, до якого належить рівно один із них. Для будь-яких трьох різних студентів існує клуб, до якого належить або рівно один із них, або всі троє. Яка найбільша можлива кількість студентів?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2003-035

Переміщення гостей на сітці 2×8

Готель складається із сітки кімнат 2×82 \times 8, у кожній з яких мешкає по одному гостю. Усім гостям незатишно, тож кожен гість хотів би переміститися в одну із сусідніх кімнат (по горизонталі або по вертикалі). Звісно, вони мають зробити це одночасно так, щоб у кожній кімнаті знову опинився рівно один гість. Скількома різними способами вони можуть колективно переміститися?
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2002-020

Ґраткові шляхи до прямої із сумою координат 10

Шлях довжини nn — це послідовність точок (x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(x_{1}, y_{1}),(x_{2}, y_{2}), \ldots,(x_{n}, y_{n}) з цілими координатами така, що для всіх ii між 11 і n−1n-1 включно виконується або (1) xi+1=xi+1x_{i+1}=x_{i}+1 і yi+1=yiy_{i+1}=y_{i} (у цьому випадку кажемо, що ii-й крок напрямлений праворуч), або (2) xi+1=xix_{i+1}=x_{i} і yi+1=yi+1y_{i+1}=y_{i}+1 (у цьому випадку кажемо, що ii-й крок напрямлений вгору). Кажуть, що цей шлях починається в (x1,y1)(x_{1}, y_{1}) і закінчується в (xn,yn)(x_{n}, y_{n}). Нехай P(a,b)P(a, b) для aa і bb невід'ємних цілих чисел — це кількість шляхів, які починаються в (0,0)(0,0) і закінчуються в (a,b)(a, b). Знайдіть ∑i=010P(i,10−i)\sum_{i=0}^{10} P(i, 10-i).
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2002-021

Обмежені ґратчасті шляхи до точки (7,3)

Обмежений шлях довжини nn — це шлях довжини nn такий, що для всіх ii між 11 і n−2n-2 включно, якщо ii-й крок веде вгору, то i+1i+1-й крок має вести праворуч. Знайдіть кількість обмежених шляхів, які починаються в (0,0)(0,0) і закінчуються в (7,3)(7,3).
10–11 класиБієкції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2002-056

Заповнення таблиці з різницею 1 у сусідніх клітинках

Дошка 5×55 \times 5 має число −3-3, записане у верхній лівій клітинці, і число 33, записане в нижній правій клітинці. Скількома способами можна заповнити решту клітинок цілими числами так, щоб будь-які два сусідні числа відрізнялися на 11, де дві клітинки вважаються сусідніми, якщо вони мають спільну сторону (але не якщо вони мають лише спільну вершину)?
10–11 класиБієкції
Відбіркові тести на IMOTST-0000-004

Бінарні матриці з парною кількістю одиниць у рядках і стовпцях

Дано таблицю з mm рядками та nn стовпцями. Скількома способами можна заповнити цю таблицю самими нулями й одиницями так, щоб у кожному рядку та кожному стовпці стояла парна кількість одиниць?
10–11 класиПарність і непарність2 розв’язки
Інші змаганняMISC-0000-193

Бінарні дошки з однаковими сумами в рядках і стовпцях

Нехай ana_{n} — кількість способів заповнити дошку n×nn \times n цифрами 0 і 1 так, щоб сума в кожному рядку і в кожному стовпці була однаковою. Наприклад, дошки 2×22 \times 2, що задовольняють це правило, такі: | 0 | 0 | |:--- |:--- | | 0 | 0 | | 1 | 0 | |:--- |:--- | | 0 | 1 | | 0 | 1 | |:--- |:--- | | 1 | 0 | | 1 | 1 | |:--- |:--- | | 1 | 1 | Отже, a2=4a_{2}=4. Обчисліть значення a3a_{3} і a4a_{4}.
10–11 класиРозбиття на випадки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-0000-118

Зіткнення однакових кульок

П’ять однакових кульок рухаються в одному напрямку вздовж фіксованої прямої, зберігаючи певну відстань одна від одної. Вздовж тієї самої прямої, але в протилежному напрямку, інші п’ять кульок рухаються назустріч першим. Швидкості всіх кульок однакові. Коли дві кульки зіштовхуються, вони повертаються назад з тією самою швидкістю, що й раніше, вздовж тієї самої прямої. Скільки зіткнень між кульками відбудеться?
8–9 класиІнші інваріанти
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-0000-117

Многокутники з однією чорною вершиною на колі

На колі позначено 1515 білих точок і 11 чорну точку. Розглянемо всі можливі (опуклі) многокутники з вершинами в цих точках. Поділимо їх на два типи: - Тип 1: ті, що мають лише білі вершини. - Тип 2: ті, що мають чорну точку як одну з вершин. Яких многокутників більше: типу 1 чи типу 2? На скільки їх більше?
8–9 класиБієкції
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-0000-006

Розподіл каменів на шахівниці з обмеженнями на ходи

Нехай nn — додатне ціле число. Розглянемо таку гру: спочатку kk каменів розподілено по n2n^{2} клітинках шахівниці розміром n×nn \times n. Хід полягає у виборі клітинки, що містить принаймні стільки ж каменів, скільки її сусідніх клітинок (дві клітинки є сусідніми, якщо вони мають спільну сторону), і переміщенні одного каменя з цієї клітинки до кожної з її сусідніх клітинок. Визначте всі додатні цілі числа kk такі, що: (a) Існує початкова конфігурація з kk каменями, при якій жоден хід неможливий. (b) Існує початкова конфігурація з kk каменями, при якій можлива нескінченна послідовність ходів.
10–11 класиБієкції
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2022-017

Конфігурації перемикачів ламп сітки у формі хреста

Нехай m,n>2m, n > 2 — додатні цілі числа. У кожній клітинці сітки m×nm \times n є лампа, яку можна увімкнути або вимкнути. За одне перемикання ми можемо змінити стан п'яти ламп, які розташовані в клітинках, що утворюють хрест (див. діаграму). Спочатку всі лампи вимкнені. Скільки можливих розташувань ламп можна утворити за допомогою цих перемикачів? Розташування, отримані одне з одного обертаннями та відображеннями, вважаються різними.
Бієкції
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2022-034

Підмножини без сусідів

Нехай n≥2n \ge 2 — натуральне число і S={1,2,…,n}S = \{1, 2, \dots, n\}. Для k=1,2,…,n−1k = 1, 2, \dots, n-1 дві kk-елементні підмножини множини SS назвемо сусідами, якщо вони мають k−1k-1 спільних елементів (тобто відрізняються рівно одним елементом). Нехай f(n,k)f(n,k) — розмір найбільшої можливої сім'ї kk-елементних підмножин множини SS, у якій жодні дві підмножини не є сусідами. Доведіть, що f(n,k)≤(n−1k−1)f(n,k) \le \binom{n-1}{k-1}.
Бієкції2 розв’язки
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2016-005

Найбільша кількість видимих порядків вершин n-кутника

Вершини фіксованого опуклого (але не обов'язково правильного) nn-кутника позначено різними літерами. Якщо спостерігач стоїть у точці площини многокутника поза межами многокутника, то він бачить літери в певному порядку зліва направо, і вони складають «слово» (тобто рядок літер; це не обов'язково має бути слово якоюсь мовою). Наприклад, на діаграмі нижче (де n=4n=4) спостерігач у точці XX прочитає «BAMO», а спостерігач у точці YY прочитає «MOAB». Знайдіть, у вигляді формули від nn, найбільшу кількість різних nn-літерних слів, які можна прочитати таким чином з одного nn-кутника. Не враховуйте слова, у яких якоїсь літери бракує через те, що з позиції спостерігача вона розташована точно за іншою літерою.
Дискретні набори точок та прямих…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-014

Підрахунок добутків при розкритті дужок

Розгляньмо рівність: (1+2+3+4)2=(1+2+3+4)(1+2+3+4)=1⋅1+1⋅2+1⋅3+1⋅4+2⋅1+2⋅2+2⋅3+2⋅4++3⋅1+3⋅2+3⋅3+3⋅4+4⋅1+4⋅2+4⋅3+4⋅4\begin{aligned} (1+2+3+4)^{2} & =(1+2+3+4)(1+2+3+4) \\ & =1 \cdot 1+1 \cdot 2+1 \cdot 3+1 \cdot 4+2 \cdot 1+2 \cdot 2+2 \cdot 3+2 \cdot 4+ \\ & +3 \cdot 1+3 \cdot 2+3 \cdot 3+3 \cdot 4+4 \cdot 1+4 \cdot 2+4 \cdot 3+4 \cdot 4 \end{aligned} Зауважмо, що при обчисленні (1+2+3+4)2(1+2+3+4)^{2} з використанням розподільної властивості утворюється 4×4=164 \times 4=16 добутків. а) Скільки добутків утвориться при обчисленні (1+2+3+4)3(1+2+3+4)^{3} також з використанням розподільної властивості? б) Яка кількість двоцифрових чисел, які використовують лише цифри 1, 2, 3 і 4? в) Яка сума добутків цифр усіх чотирицифрових чисел, складених лише з цифр 1,2,31,2,3 і 4?
Правила суму та добутку
Математичний гурток БеркліBMC-2013-018

Щасливі многочлени з коефіцієнтами з одиничного проміжку

Многочлен f(x)=∑i=0naixif(x)=\sum_{i=0}^{n} a_{i} x^{i} степеня не вище nn називається щасливим, якщо (i) Кожен коефіцієнт aia_{i} задовольняє 0≤ai<10 \leq a_{i}<1; (ii) f(x)f(x) є цілим числом для всіх цілих xx. Знайдіть кількість щасливих многочленів степеня не вище nn.
Інтерполяційні многочлени
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2012-005

Безпорядки та перестановки „два-два“ послідовностей чисел

Нехай x1,x2,…,xkx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k} — послідовність цілих чисел. Перестановку цієї послідовності (ті самі числа послідовності, виписані в якомусь іншому порядку) називають безпорядком, якщо жодне число в новій послідовності не дорівнює числу, яке спочатку стояло на його місці. Наприклад, якщо початкова послідовність — 1,3,3,51,3,3,5, то 3,5,1,33,5,1,3 є безпорядком, а 3,3,1,53,3,1,5 — ні. Перестановку називають „два-два“, якщо рівно два з чисел нової послідовності рівно на два більші за числа, які спочатку займали ці місця. Наприклад, 3,5,1,33, 5, 1, 3 — „два-два“ послідовності 1,3,3,51,3,3,5 (перші два значення 33 і 55 нової послідовності рівно на два більші за свої початкові значення 11 і 33). Нехай n≥2n \geq 2. Доведіть, що кількість безпорядків послідовності 1,1,2,3,…,n−1,n1,1,2,3, \ldots, n-1, n дорівнює кількості перестановок „два-два“ послідовності 1,2,3,…,n,n+1.1,2,3, \ldots, n, n+1 . (Зауважимо, що обидві послідовності мають n+1n+1 чисел, але перша містить дві 11.)
Бієкції
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-056

Випадковий конус, породжений точками сфери

Якщо u1,…,uk∈R3u_1, \dots, u_k \in \mathbb{R}^3, позначимо через C(u1,…,uk)C(u_1, \dots, u_k) конус, породжений u1,…,uku_1, \dots, u_k: C(u1,…,uk)={a1u1+⋯+akuk;a1,…,ak∈[0,+∞)}.C(u_1, \dots, u_k) = \{a_1 u_1 + \dots + a_k u_k; a_1, \dots, a_k \in [0, +\infty)\}. Нехай v1,v2,v3,v4v_1, v_2, v_3, v_4 — точки, випадково й незалежно вибрані з одиничної сфери x2+y2+z2=1x^2 + y^2 + z^2 = 1. a. Яка ймовірність того, що C(v1,v2,v3,v4)=R3C(v_1, v_2, v_3, v_4) = \mathbb{R}^3? b. Яка ймовірність того, що кожен із векторів потрібен для породження C(v1,v2,v3,v4)C(v_1, v_2, v_3, v_4), тобто що C(v1,v2,v3)≠C(v1,v2,v3,v4)C(v_1, v_2, v_3) \neq C(v_1, v_2, v_3, v_4), C(v1,v2,v4)≠C(v1,v2,v3,v4)C(v_1, v_2, v_4) \neq C(v_1, v_2, v_3, v_4), C(v1,v3,v4)≠C(v1,v2,v3,v4)C(v_1, v_3, v_4) \neq C(v_1, v_2, v_3, v_4) і C(v2,v3,v4)≠C(v1,v2,v3,v4)C(v_2, v_3, v_4) \neq C(v_1, v_2, v_3, v_4)?
Опуклі множини
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2010-002

Сума чотирьох різних цифр з найбільшою кількістю відповідей

Підказка «kk цифр, сума nn» задає число kk і суму kk різних ненульових цифр. Відповідь до такої підказки складається з kk цифр із сумою nn. Наприклад, підказка «Три цифри, сума 23» має лише одну відповідь: 6,8,96,8,9. Підказка «Три цифри, сума 8» має дві відповіді: 1,3,41,3,4 і 1,2,51,2,5. Якщо підказка «Чотири цифри, сума nn» має найбільшу кількість відповідей серед усіх чотирицифрових підказок, то чому дорівнює nn? Скільки відповідей має ця підказка? Поясніть, чому жодна інша чотирицифрова підказка не може мати більше відповідей.
Рекурентний підрахунок
Математичний гурток БеркліBMC-2006-003

Підрахунок многокутників із кольоровими вершинами

2006 вершин правильного 2007-кутника — червоні. Остання вершина — зелена. Нехай GG — загальна кількість многокутників, в яких одна вершина зелена, а інші — червоні. Позначимо через RR кількість многокутників, усі вершини яких червоні. Яке число більше, RR чи GG? Поясніть свою відповідь.
Бієкції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.