Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

450 задач
ГеометріяСиметрія
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2008-001

Шість точок кіл через ортоцентр на сторонах трикутника

Нехай HH – точка перетину висот гострокутного трикутника ABCABC. Коло з центром у середині сторони BCBC проходить через точку HH та перетинає пряму BCBC у точках A1A_1 та A2A_2. Аналогічно, коло з центром у середині сторони CACA проходить через точку HH та перетинає пряму CACA у точках B1B_1 та B2B_2, коло з центром у середині сторони ABAB проходить через точку HH та перетинає пряму ABAB у точках C1C_1 та C2C_2. Доведіть, що точки A1,A2,B1,B2,C1,C2A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2 лежать на одному колі.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2004-005

Опуклий чотирикутник і рівність відрізків AP і CP

В опуклому чотирикутнику ABCDABCD діагональ BDBD не є бісектрисою ані кута ABCABC, ані кута CDACDA. Усередині чотирикутника ABCDABCD відмічено таку точку PP, що ∠PBC=∠DBA\angle PBC = \angle DBA і ∠PDC=∠BDA\angle PDC = \angle BDA. Доведіть, що чотирикутник ABCDABCD є вписаним тоді й тільки тоді, коли AP=CPAP = CP.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Балтійський шляхBW-2001-007

Чотирикутник з кутовою умовою на середину сторони

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник, а NN — середина сторони BCBC. Припустимо також, що ∠AND=135∘\angle AND = 135^\circ. Доведіть, що ∣AB∣+∣CD∣+12⋅∣BC∣⩾∣AD∣|AB| + |CD| + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot |BC| \geqslant |AD|
10–11 класиСиметрія
Балтійський шляхBW-1996-003

Максимальний кут у трапеції

ABCDABCD — трапеція (AD∥BCAD \parallel BC). PP — точка на прямій ABAB така, що ∠CPD\angle CPD є максимальним. QQ — точка на прямій CDCD така, що ∠BQA\angle BQA є максимальним. Відомо, що PP лежить на відрізку ABAB, доведіть, що ∠CPD=∠BQA\angle CPD = \angle BQA.
10–11 класиДотична кола
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1994-003

Периметр після згинання квадрата

Аркуш паперу має форму квадрата ABCDABCD. Його згинають так, що вершину DD суміщають з точкою D′D' на стороні BCBC. При цьому вважаємо, що ADAD переходить у відрізок A′D′A'D', а A′D′A'D' перетинає ABAB у точці EE. Доведіть, що периметр трикутника EBD′EBD' дорівнює половині периметра квадрата.
10–11 класиДотична кола
Балтійський шляхBW-1993-015

Рівні відрізки на січних двох рівних кіл

Два кола однакового радіуса rr розміщено на площині так, що вони не перетинаються. Пряма на площині перетинає перше коло в точках A,BA, B, а друге — в точках C,DC, D так, що ∣AB∣=∣BC∣=∣CD∣=14 см|A B|=|B C|=|C D|=14~\text{см}. Інша пряма перетинає ці кола в точках E,FE, F і G,HG, H відповідно так, що ∣EF∣=∣FG∣=∣GH∣=6 см|E F|=|F G|=|G H|=6~\text{см}. Знайдіть радіус rr.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-059

Квадрат з кінчиків сталактитів і сталагмітів

У двовимірній печері з паралельними підлогою і стелею два сталактити завдовжки 1616 і 3636 звисають перпендикулярно зі стелі, а два сталагміти заввишки 2525 і 4949 ростуть перпендикулярно від підлоги. Якщо кінчики цих чотирьох утворень утворюють вершини квадрата в деякому порядку, обчисліть висоту печери.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-003

Перетини описаних кіл у паралелограмі

Нехай ABCDABCD — паралелограм, а OO — точка всередині паралелограма ABCDABCD. Припустімо, що описані кола трикутників OABOAB і OCDOCD перетинаються в точці P≠OP \neq O, а описані кола трикутників OBCOBC і OADOAD перетинаються в точці Q≠OQ \neq O. Доведіть, що ∠POQ\angle POQ дорівнює одному з кутів чотирикутника ABCDABCD.
10–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-010

Рівносторонній трикутник з умовою про середину

Нехай △ABC\triangle ABC — рівносторонній трикутник. Точка DD лежить на відрізку BC‾\overline{BC} такому, що BD=1BD = 1 і DC=4DC = 4. Точки EE і FF лежать на променях AC→\overrightarrow{AC} і AB→\overrightarrow{AB} відповідно, причому DD — середина відрізка EF‾\overline{EF}. Обчисліть довжину відрізка EFEF.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-065

Відстань до середини у вписаній трапеції

Нехай ABCDABCD — рівнобічна трапеція, у якій CD>AB=4CD > AB = 4. Нехай EE — точка на прямій CDCD така, що DE=2DE = 2, причому DD лежить між EE і CC. Нехай MM — середина відрізка AE‾\overline{AE}. Відомо, що точки AA, BB, CC, DD і MM лежать на колі радіуса 55. Обчисліть довжину відрізка MDMD.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-076

Випадкова пряма через шестикутник

Дві точки обирають незалежно і рівномірно випадковим чином усередині правильного шестикутника. Обчисліть імовірність того, що пряма, яка проходить через обидві точки, перетинає пару протилежних сторін шестикутника.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-017

Паралелограм, складений у правильний п'ятикутник

Паралелограм PP можна зігнути по прямій так, щоб утворена фігура була правильним п'ятикутником зі стороною 11. Обчисліть периметр паралелограма PP.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2025-009

Гострокутний трикутник і пряма KT через центр кола

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, у якому ∣AB∣>∣AC∣|AB| > |AC|, нехай ω\omega — описане коло трикутника △ABC\triangle ABC з центром OO. Висота з вершини AA перетинає BCBC у точці DD і перетинає ω\omega вдруге в точці PP. Позначимо через HH ортоцентр трикутника △ABC\triangle ABC і нехай KK — точка на відрізку BCBC така, що ∣BD∣=∣KC∣|BD| = |KC|. Описане коло трикутника △PKH\triangle PKH перетинає ω\omega вдруге в точці QQ і перетинає пряму BCBC вдруге в точці NN. Нехай TT — точка на прямій ADAD така, що TN⊥PQTN \perp PQ. Доведіть, що пряма KTKT проходить через OO.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2025-013

Найкоротший шлях через паралельну пряму та трикутник

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник такий, що ∣AB∣+∣BC∣=4∣AC∣|AB| + |BC| = 4|AC| і ∣AB∣<∣BC∣|AB| < |BC|. Нехай DD — точка перетину бісектриси ∠ABC\angle ABC зі стороною ACAC. Точки PP і QQ лежать на відрізку BDBD так, що ∣BP∣=2∣DQ∣|BP| = 2|DQ|. Нехай ℓ\ell — пряма, що проходить через PP паралельно стороні ACAC. Пряма, що проходить через QQ перпендикулярно до відрізка BDBD, перетинає відрізки ABAB і BCBC відповідно в XX і YY. Припустимо, що XX і YY лежать по інший бік від прямої ℓ\ell, ніж BB. Мураха починає свою подорож з XX і рухається звідти до точки на стороні ACAC, потім до точки на прямій ℓ\ell, потім знову повертається до (можливо, іншої) точки на стороні ACAC і, нарешті, до YY. Доведіть, що довжина найкоротшого можливого шляху мурахи дорівнює 4∣XY∣4|XY|.
10–11 класиСиметрія2 розв’язки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2025-011

Вписаний п'ятикутник із симетріями відносно сторін

П'ятикутник ABCDE вписано в коло Ω\Omega, причому AC=ADAC = AD і BC∥DEBC \parallel DE. Візьмемо точку PP на дузі CDCD кола Ω\Omega, яка не містить AA. Нехай P1,P2,P3,P4P_1, P_2, P_3, P_4 і P5P_5 — точки, симетричні точці PP відносно прямих AB,BC,CD,DEAB, BC, CD, DE і EAEA відповідно. Коли PC:PD=P1P2:P4P5=2:3PC : PD = P_1P_2 : P_4P_5 = 2 : 3 і CD:P2P4=42:11CD : P_2P_4 = 4\sqrt{2} : 11, знайдіть значення P1P3P1P5\frac{P_1P_3}{P_1P_5}.
10–11 класиСиметрія
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2025-004

Довжина відрізка CD у прямокутному трикутнику

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник, у якому ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^{\circ}, ∠ABC=70∘\angle ABC = 70^{\circ} і AB=1AB = 1. Нехай MM — середина сторони BCBC. Нехай DD — точка на продовженні відрізка AMAM за MM така, що ∠CDA=110∘\angle CDA = 110^{\circ}. Знайдіть довжину відрізка CDCD.
10–11 класиСиметрія
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-008

Сума векторів уздовж поділеної гіпотенузи

У △ABC\triangle ABC, ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ та BA=BC=2BA = BC = \sqrt{2}. Точки P1,P2,…,P2024P_1, P_2, \dots, P_{2024} лежать на гіпотенузі AC‾\overline{AC} так, що AP1=P1P2=P2P3=⋯=P2023P2024=P2024CAP_1 = P_1P_2 = P_2P_3 = \dots = P_{2023}P_{2024} = P_{2024}C. Яка довжина суми векторів BP1→+BP2→+BP3→+⋯+BP2024→?\overrightarrow{BP_1} + \overrightarrow{BP_2} + \overrightarrow{BP_3} + \dots + \overrightarrow{BP_{2024}}?
10–11 класиВекторний метод
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-016

Вісь симетрії графіка показникової функції

Графік функції y=ex+1+e−x−2y = e^{x+1} + e^{-x} - 2 має вісь симетрії. Знайдіть точку, симетричну точці (−1,12)(-1, \frac{1}{2}) відносно цієї осі. (A) (−1,−32)(-1, -\frac{3}{2}) (B) (−1,0)(-1, 0) (C) (−1,12)(-1, \frac{1}{2}) (D) (0,12)(0, \frac{1}{2}) (E) (3,12)(3, \frac{1}{2})
10–11 класиПоказникові та логарифмічні функц…
Американські математичні змагання 12 (AMC 12)AMC12-2024-035

Симетрія графіка дробово-лінійної функції

Графік симетричний відносно прямої, якщо він не змінюється після відбиття відносно цієї прямої. Для скількох четвірок цілих чисел (a,b,c,d)(a, b, c, d), де ∣a∣,∣b∣,∣c∣,∣d∣≤5|a|, |b|, |c|, |d| \le 5 і cc та dd не дорівнюють одночасно 00, графік y=ax+bcx+dy = \frac{ax + b}{cx + d} симетричний відносно прямої y=xy = x?
10–11 класиСиметрія
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2024-007

Дві фігури з переліку та пряма, що ділить навпіл

Мама Амелії пропонує гру. «Вибери дві з наведених нижче фігур», — каже вона Амелії. (Фігури — це рівносторонній трикутник, паралелограм, рівнобічна трапеція, дельтоїд та еліпс. Фігури зображені в масштабі.) Мама Амелії продовжує: «Я намалюю ці дві фігури на аркуші паперу у будь-якому положенні та орієнтації, які сама оберу, так, щоб вони не перекривалися. Потім ти проведеш пряму лінію, що розрізає обидві фігури, причому кожна фігура має розділитися на дві рівні половини.» Які дві фігури слід вибрати Амелії, щоб вона гарантовано змогла це зробити? Для такого вибору фігур поясніть, як Амелія може провести свою пряму, яка властивість цих фігур дає їй таку змогу і чому це не спрацює з жодною іншою парою цих фігур.
6–8 класиСиметрія
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2024-001

Відбиття від бісектрис інцентра і перпендикулярність

Нехай ABCABC — трикутник з інцентром II. Припустімо, що пряма, симетрична прямій ABAB відносно CICI, і пряма, симетрична прямій ACAC відносно BIBI, перетинаються в точці XX. Доведіть, що пряма XIXI перпендикулярна до BCBC. (Інцентр — це точка перетину трьох бісектрис кутів.)
10–11 класиСиметрія
Естонська математична олімпіадаESTMO-2024-011

Колінеарність при побудові паралелограмів

Точка D∉{B,C}D \notin \{B, C\} вибрана на відрізку BCBC, а точка AA вибрана на площині так, що вона не лежить на прямій BCBC. Точки PP і QQ вибрані так, що ABPDABPD і ACQDACQD — паралелограми (з вершинами в такому порядку). Описані кола трикутників BDPBDP і CDQCDQ перетинаються в точці R≠DR \neq D. Доведіть, що точки P,Q,RP, Q, R лежать на одній прямій.
8–10 класиСиметрія2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2024-003

Рівновіддалена точка на хорді вписаного кола

Нехай ABCABC — трикутник, ω\omega — його вписане коло, а DD, EE і FF — точки дотику кола ω\omega зі сторонами BCBC, CACA і ABAB відповідно. Перпендикуляр до (BC)(BC) у точці CC перетинає пряму (EF)(EF) у точці MM, а перпендикуляр до (BC)(BC) у точці BB перетинає пряму (EF)(EF) у точці NN. Пряма (DM)(DM) вдруге перетинає ω\omega у точці PP, а пряма (DN)(DN) вдруге перетинає ω\omega у точці QQ. Доведіть, що DP=DQDP = DQ.
8–10 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-127

Коло, дотичне до бічної сторони трапеції

Нехай ABCDABCD — опукла трапеція, така, що ∠DAB=∠ABC=90∘\angle DAB = \angle ABC = 90^{\circ}, DA=2DA = 2, AB=3AB = 3 і BC=8BC = 8. Нехай ω\omega — коло, що проходить через AA і дотикається до відрізка CD‾\overline{CD} в точці TT. Припустімо, що центр кола ω\omega лежить на прямій BCBC. Обчисліть довжину відрізка CTCT.
10–11 класиСтепінь точки відносно кола
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-108

Кути з внутрішньої точки правильного восьмикутника

Нехай FELDSPARF E L D S P A R — правильний восьмикутник, а II — точка в його внутрішності така, що ∠FIL=∠LID=∠DIS=∠SIA\angle F I L = \angle L I D = \angle D I S = \angle S I A. Обчисліть ∠IAR\angle I A R у градусах.
10–11 класиРівнобедрений та рівносторонній т…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.