Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

588 задач
КомбінаторикаПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-029

Суми в таблиці, кратні степеням двійки

Таблиця 11×1111 \times 11 має рядки 0,1,2,…,100,1,2, \ldots, 10 і стовпці 0,1,2,…,100,1,2, \ldots, 10, вона заповнена цілими числами від 11 до 2102^{10} включно, причому сума всіх чисел у рядку nn і сума всіх чисел у стовпці nn обидві діляться на 2n2^{n}. Знайдіть кількість можливих різних таблиць.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-043

Рівнобедрені трикутники у правильному 2020-кутнику

Три різні вершини правильного 20202020-кутника вибирають рівномірно випадковим чином. Імовірність того, що утворений ними трикутник є рівнобедреним, можна записати у вигляді ab\frac{a}{b}, де aa і bb — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100 a + b.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-068

Покриття кола послідовними інтервалами

Числа 1,2,…,101, 2, \ldots, 10 записані по колу. Є четверо людей, і кожна людина навмання вибирає п'ять послідовних цілих чисел (наприклад, 1,2,3,4,51, 2, 3, 4, 5 або 8,9,10,1,28, 9, 10, 1, 2). Якщо ймовірність того, що існує деяке число, яке не вибрав жоден із чотирьох людей, дорівнює pp, обчисліть 10000p10000 p.
10–11 класиПравила суму та добутку
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2020-011

Антипаліндромні послідовності та добуток позицій

Послідовність із AA і BB називається антипаліндромною, якщо, записавши її у зворотному порядку, а потім замінивши всі AA на BB і навпаки, дістанемо початкову послідовність. Наприклад, ABBAABA B B A A B є антипаліндромною. Для довільної послідовності з AA і BB визначимо вартість послідовності як добуток позицій AA. Наприклад, рядок ABBAABA B B A A B має вартість 1⋅4⋅5=201\cdot 4\cdot 5 = 20. Знайдіть суму вартостей усіх антипаліндромних послідовностей довжини 2020.
10–11 класиПравила суму та добутку3 розв’язки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-007

Підрахунок дівчат, які склали лише фізику

У класі є 70 учнів, таких, що: I) 14 хлопців склали математику; II) 12 хлопців склали фізику; III) 10 хлопців і 16 дівчат не склали ні математики, ні фізики; IV) 32 — хлопці; V) 10 склали обидві дисципліни; VI) 22 склали лише математику. Скільки дівчат склали лише фізику?
8–9 класиФормула включення-виключення
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-040

Заповнення дошки 2×n нулями й одиницями

Жозе хоче заповнити клітинки дошки 2×n2 \times n нулями й одиницями так, щоб два рівні сусідні числа в одному рядку забороняли заповнювати відповідні клітинки іншого рядка також рівними числами. Наприклад, на малюнку нижче значення AA і BB не можуть бути рівними. | 0 | 1 | 0 | ⋯\cdots | 1 | 1 | ⋯\cdots | |:--- |:--- |:--- |:--- |:--- |:--- |:--- | | 1 | 1 | 0 | ⋯\cdots | AA | BB | ⋯\cdots | a) Знайдіть усі можливі заповнення дошки нижче: | 0 | 0 | 1 | |:--- |:--- |:--- | | 1 | | | b) На дошці всі стовпці вже заповнено, крім двох останніх. Скількома способами можна вибрати числа в клітинках AA і BB? | ⋯\cdots | 0 | AA | |:--- |:--- |:--- | | ⋯\cdots | 1 | BB | c) Скількома способами Жозе може заповнити дошку, якщо n=2020n=2020?
10–11 класиПравила суму та добутку
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-017

Чотирицифрові числа з умовами на цифри

Розглянемо чотирицифрові натуральні числа: а) Скільки з них мають усі цифри різні? б) Скільки мають цифру 1 рівно один раз і всі цифри різні? в) Скільки мають цифру 1?
8–9 класиПравила суму та добутку
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-018

Гра з кубиком і повернення у початкову точку

Гра «Географічний кубик» полягає в тому, що кожен учасник кидає кубик nn разів і записує послідовність, причому перший кидок вказує відстань, у метрах, яку учасник пройде на північ, другий — на схід, третій — на південь, четвертий — на захід, п'ятий — на північ і так далі. Після цього вимірюють відстань до початку. Перемагає той, хто опиниться найближче до початкового положення. a) Марсія викинула 214365 (6 кидків). Яка її відстань до початку? b) Скільки існує послідовностей із 4 кидків, після яких учасник повертається у початок? c) Скільки існує послідовностей із 5 кидків, після яких учасник повертається у початок?
8–9 класиПравила суму та добутку
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-023

Шляхи між червоними точками у розфарбованому графі

На аркуші паперу намальовано 10 точок, з них 8 синіх і 2 червоні. Обидві червоні точки сполучено з усіма синіми точками, але між собою їх не сполучено. Усі сині точки сполучено між собою. Коли дві точки сполучено, це сполучення здійснено єдиним відрізком. Скількома різними способами можна вийти з однієї червоної точки й дійти до іншої, проходячи через кожну точку не більше одного разу?
8–9 класиРозміщення
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-028

Підрахунок легальних телефонних номерів

Назвемо телефонний номер d1d2d3−d4d5d6d7d_{1} d_{2} d_{3}-d_{4} d_{5} d_{6} d_{7} легальним, якщо число d1d2d3d_{1} d_{2} d_{3} дорівнює d4d5d6d_{4} d_{5} d_{6} або d5d6d7d_{5} d_{6} d_{7}. Наприклад, 234−2347234-2347 — легальний телефонний номер. Припустимо, що кожне did_{i} може бути будь-якою цифрою від 0 до 9. Скільки існує легальних телефонних номерів?
8–9 класиПравила суму та добутку
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2020-003

Прямокутники у квадраті 5 на 5

Розглянемо білий квадрат 5×55 \times 5, що складається з 25 одиничних квадратів. Скільки існує різних способів зафарбувати один або кілька одиничних квадратів у чорний колір так, щоб утворена чорна область була прямокутником?
10–11 класиКомбінації
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-009

Розфарбування таблиці 2 на 5 з умовами суміжності

У таблиці з двома рядками й п'ятьма стовпцями кожну клітинку пофарбовано в чорний або білий колір за такими правилами: Два сусідні стовпці ніколи не мають однакової кількості чорних клітинок. Два квадрати 2×22 \times 2, які перетинаються в одному стовпці, ніколи не мають однакової кількості чорних клітинок. Скільки існує можливих розфарбувань таблиці, що відповідають цим правилам?
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-142

Умовна ймовірність із двадцятигранними кубиками

Ваш друг-математик Стівен кидає п'ять чесних ікосаедричних кубиків (на гранях кожного з яких написано 1,2,…,201,2, \ldots, 20). Він приховує результати, але повідомляє вам, що принаймні половина кидків — це 2020. Запідозривши щось, ви дивитесь на перші два кубики і бачите, що там випало 2020 і 1919 саме в такому порядку. Якщо вважати, що Стівен каже правду, яка ймовірність того, що на всіх трьох інших прихованих кубиках випало 2020?
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-148

Мультихроматичне розфарбування дільників

Для натурального числа NN ми фарбуємо додатні дільники числа NN (включаючи 11 і NN) у чотири кольори. Розфарбування називається мультихроматичним, якщо щоразу, коли aa, bb і НСД(a,b)\text{НСД}(a, b) є попарно різними дільниками числа NN, то вони мають попарно різні кольори. Яка найбільша можлива кількість мультихроматичних розфарбувань може мати натуральне число, якщо воно не є степенем жодного простого числа?
10–11 класиНСД та НСК
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-037

Ймовірність збігу для однакових груп учнів

У програмі маскування кратних навчаються 36 учнів, зокрема одинак, пара однакових двійнят, трійка однакових трійнят, четвірка однакових четвернят і так далі аж до вісімки однакових восьмернят. Двоє учнів виглядають однаково тоді й лише тоді, коли вони належать до однієї й тієї самої групи однакових. Асистентка викладача Нітья вранці зустрічає випадкового учня, а вдень — випадкового учня (обох обирають рівномірно та незалежно), і ці двоє виглядають однаково. Яка ймовірність того, що це насправді одна й та сама особа?
10–11 класиПравила суму та добутку
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-050

Ймовірність фальшивої монети з автоматом відбору

У Рейму є 20192019 монет C0,C1,…,C2018C_{0}, C_{1}, \ldots, C_{2018}, одна з яких фальшива, хоча на вигляд вони однакові (тож кожна з них з однаковою ймовірністю може бути фальшивою). У неї є автомат, який бере будь-які дві монети й вибирає одну, що не є фальшивою. Якщо обидві монети не фальшиві, автомат вибирає одну рівноймовірно навмання. Для кожного i=1,2,…,1009i=1,2, \ldots, 1009 вона один раз кладе C0C_{0} і CiC_{i} в автомат, і автомат вибирає CiC_{i}. Яка ймовірність того, що C0C_{0} фальшива?
10–11 класиРозбиття на випадки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-069

Сума кількості різних цифр 2019-цифрових чисел

Нехай f(n)f(n) — кількість різних цифр числа nn у десятковому записі. Обчисліть суму f(n)f(n) за всіма додатними 2019-цифровими цілими числами nn.
10–11 класиПідрахунок двома способами
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-084

Випадкові точки в кубі

Три точки вибрано всередині одиничного куба рівномірно й незалежно навмання. Яка ймовірність того, що існує куб зі стороною 12\frac{1}{2} і ребрами, паралельними ребрам одиничного куба, який містить усі три точки?
10–11 класиПравила суму та добутку
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2019-009

Дев'ятицифрові числа з кратністю цифр

Натуральне число називається блискучим, якщо воно має рівно 9 цифр, і для будь-якого nn від 11 до 99 (включно) nn-та цифра є додатним кратним числа nn. Скільки натуральних чисел є блискучими?
10–11 класиПравила суму та добутку
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-002

П'ятицифрові числа з умовою на добуток і суму цифр

Число називають TOP, якщо воно має 5 цифр і добуток 11-ї та 55-ї цифр дорівнює сумі 22-ї, 33-ї і 44-ї цифр. Наприклад, 1233812338 — TOP, бо воно має 5 цифр і 1⋅8=2+3+31 \cdot 8 = 2 + 3 + 3. a) Чому дорівнює aa, щоб 234a8‾\overline{234a8} було TOP? b) Скільки чисел TOP закінчуються на 2 і починаються з 1? c) Скільки чисел TOP починаються з 9?
8–9 класиРозбиття на випадки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-005

Пофарбовані грані паралелепіпеда

Паралелепіпед складають з кубиків з ребром 1 см1~\text{см}, причому його довжина складається з nn кубиків, ширина — з pp кубиків, а висота — з qq кубиків. a) Який об'єм паралелепіпеда? b) Грані паралелепіпеда пофарбували в червоний колір. Скільки кубиків матимуть лише одну грань, пофарбовану в червоний колір? c) Розглянемо паралелепіпед, як в умові, такий, що n=p=qn=p=q. Якщо кожен з його вимірів збільшити на aa, де aa — натуральне число, то новий куб міститиме на 98 кубиків більше, ніж початковий куб. Знайдіть значення nn і aa.
8–9 класиМетод факторизації (розкладання н…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-012

Перестановки різних непарних цифр

П'ятеро подруг — основні гравчині волейбольної команди. Їхні футболки пронумеровані на спинах першими 5 додатними непарними числами. Ана — номер 1; Бія — номер 3; Катія — номер 5; Дані — номер 7; а Есмеральда — номер 9. Під час тренувань п'ятеро подруг стають у шеренгу, щоб утворити числа своїми футболками, усі з 5 цифр. Наприклад, шеренга з Есмеральдою, Дані, Катією, Бією та Аною, у цьому порядку, утворює число 97 531. a) Скільки різних чисел вони можуть утворити? b) Скільки чисел можна утворити, якщо Катія не може бути першою в шерензі? c) Скільки чисел можна утворити, якщо Есмеральда і Бія стоятимуть поруч? d) Фабія, футболка номер 11, вирішує долучитися до гри. Скільки чисел утворено тепер?
8–9 класиПерестановки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2019-041

Бінарна дошка 4 на 4 з рівними сумами рядків і стовпців

Скількома способами можна поставити 8 цифр, що дорівнюють 1, і 8 цифр, що дорівнюють 00, на дошку 4×44 \times 4 так, щоб суми чисел, записаних у кожному рядку та кожному стовпці, були однаковими? | 1 | 0 | 1 | 0 | |:--- |:--- |:--- |:--- | | 0 | 1 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 1 |
10–11 класиРозбиття на випадки
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2019-007

Ротація волейбольної команди з умовою про жінок

Нехай nn — натуральне число. Волейбольна команда, що складається з nn жінок і nn чоловіків, шикується для гри. При цьому кожен член команди займає одну з позицій 1,2,…,2n1,2, \ldots, 2 n, причому саме позиції 11 і n+1n+1 знаходяться поза майданчиком. Під час гри всі члени команди здійснюють ротацію, переходячи щоразу з позиції ii на позицію i+1i+1 (відповідно з 2n2 n на 11). Скільки існує можливостей для стартової розстановки так, щоб незалежно від того, скільки разів відбулася ротація, на майданчику завжди було принаймні n−1n-1 жінок? Зауваження: Дві стартові розстановки різні, якщо принаймні один член команди займає іншу позицію.
10–11 класиПравила суму та добутку2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2018-008

Таблиця 3×3 з максимумами рядків і мінімумами стовпців

Числа від 11 до 99 розміщують по клітинках таблиці 3×33 \times 3, по одному числу в кожній клітинці. Для i=1i=1, 22 і 33 позначимо через ℓi\ell_{i} найбільше число, що міститься в i-йi^{\text{-й}} рядку, а через cic_{i} — найменше число, що міститься в i-йi^{\text{-й}} стовпці. Скільки існує таблиць таких, що min⁡{ℓ1,ℓ2,ℓ3}=max⁡{c1,c2,c3}=4\min \left\{\ell_{1}, \ell_{2}, \ell_{3}\right\}=\max \left\{c_{1}, c_{2}, c_{3}\right\}=4?
10–11 класиПравила суму та добутку

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.