Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

450 задач
ГеометріяСиметрія
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2018-004

Згин прямокутника з суміщенням вершини із серединою сторони

Прямокутник ABCDABCD зі сторонами AB=240 смAB=240~\text{см} і BC=288 смBC=288~\text{см} зображує аркуш паперу, який згинають уздовж відрізка EFEF, де EE належить стороні ADAD, а FF належить стороні BCBC, так, щоб точка CC опинилася на середині сторони ABAB. a) Яка довжина відрізка CC′CC^{\prime}? b) Яка довжина відрізка EFEF?
8–9 класиОзнаки подібності
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2017-039

Вписаний чотирикутник у правильному вісімнадцятикутнику

Нехай OO — центр правильного 18-кутника з вершинами A1,…,A18A_{1}, \ldots, A_{18}. Нехай BB — точка на відрізку [OA1][OA_{1}] така, що BA2O^=20∘\widehat{BA_{2} O}=20^{\circ}, а CC — точка на відрізку [OA2][OA_{2}] така, що CA1O^=10∘\widehat{CA_{1} O}=10^{\circ}. Доведіть, що точки BCA2A3BCA_{2} A_{3} лежать на одному колі.
9–11 класиЦентральні і вписані кути
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-011

Області, на які симетричні поверхні ділять простір

Розглянемо у тривимірному просторі графік рівняння 0=xyz(x+y)(y+z)(z+x)(x−y)(y−z)(z−x)0 = x y z (x + y)(y + z)(z + x)(x - y)(y - z)(z - x) Цей графік ділить тривимірний простір на NN зв'язних областей. Чому дорівнює NN?
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2017-012

П'ятикутник з рівними сторонами та умовами на кути

Нехай ABCDEA B C D E — опуклий п'ятикутник з властивостями AB‾=BC‾=CD‾,∠BAE=∠DCB і ∠EDC=∠CBA.\overline{A B}=\overline{B C}=\overline{C D}, \angle B A E=\angle D C B \text{ і } \angle E D C=\angle C B A . Доведіть, що пряма, проведена через EE перпендикулярно до сторони BCB C, проходить через точку перетину діагоналей ACA C і BDB D.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-123

Відстань між центрами описаних кіл трикутників з ортоцентром

Нехай ABCABC — трикутник з AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, CA=15CA = 15. Нехай HH — ортоцентр трикутника ABCABC. Знайдіть відстань між центрами описаних кіл трикутників AHBAHB і AHCAHC.
10–11 класиТочка перетину висот
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-090

Відбиття лазера між дзеркалами під кутом

Мегал грає у гру, що складається з 2016 раундів 1,2,⋯ ,20161,2, \cdots, 2016. У раунді nn два прямокутні двосторонні дзеркала розташовано так, що вони мають спільне ребро, а кут між поверхнями дорівнює 2πn+2\frac{2 \pi}{n+2}. Мегал спрямовує лазер на ці дзеркала, і її результат за раунд — це кількість точок на двох дзеркалах, у яких промінь лазера торкається дзеркала. Який найбільший можливий сумарний результат Мегал після завершення гри?
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-049

Геометричне місце точки з єдиним перетином кіл

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, AC=15AC = 15. Для точки PP площини нехай PAP_A, PBP_B, PCP_C — точки, симетричні AA, BB, CC відносно PP. Точку PP назвемо хорошою, якщо описане коло трикутника PAPBPCP_A P_B P_C перетинає описане коло трикутника ABCABC рівно в одній точці. Геометричне місце хороших точок PP обмежує область S\mathcal{S}. Знайдіть площу області S\mathcal{S}.
10–11 класиКола, що дотикаються
Відбіркові тести на IMOTST-2015-008

Рівні кути у трикутнику з прямою, паралельною до основи

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB>ACAB > AC, а MM — середина сторони ACAC. Далі нехай DD — точка на стороні ABAB така, що DB=DCDB = DC. Пряма, паралельна стороні BCBC, що проходить через DD, і пряма BMBM перетинаються в точці KK. Доведіть, що ∠KCD=∠DAC\angle KCD = \angle DAC.
10–11 класиГомотерія і подібність
Відбіркові тести на IMOTST-2015-020

Паралелограм з умовою на рівність кутів

Нехай ABCDABCD — паралелограм. Припустимо, існує точка PP всередині паралелограма, яка лежить на серединному перпендикулярі до сторони ABAB і така, що ∠PBA=∠ADP\angle PBA = \angle ADP. Доведіть, що ∠CPD=2∠BAP\angle CPD = 2 \angle BAP.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-011

Рівні відстані від перетину прямих у трикутнику

Нехай ω\omega — описане коло трикутника ABCA B C. Позначимо через MM і NN середини сторін [AB][A B] і [AC][A C] відповідно, а через TT — середину дуги BCB C кола ω\omega, яка не містить AA. Описані кола трикутників AMTA M T і ANTA N T перетинають серединні перпендикуляри до сторін [AC][A C] і [AB][A B] у точках XX і YY відповідно; припустимо, що XX і YY лежать усередині трикутника ABCA B C. Прямі (MN)(M N) і (XY)(X Y) перетинаються в точці KK. Доведіть, що KA=KTK A=K T.
9–11 класиСиметрія
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-045

Перетин чевіан і перпендикуляр до сторони трикутника

Нехай ABCABC — трикутник, у якому A^=40∘\widehat{A}=40^{\circ} і B^=60∘\widehat{B}=60^{\circ}. Нехай DD і EE — точки на сторонах [AC][AC] і [AB][AB] такі, що CBD^=40∘\widehat{CBD}=40^{\circ} і ECB^=70∘\widehat{ECB}=70^{\circ}. Нехай FF — точка перетину прямих (BD)(BD) і (CE)(CE). Доведіть, що (AF)⊥(BC)(AF) \perp (BC).
9–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-120

Кут ACD у чотирикутнику з рівними AD і BC

У чотирикутнику ABCDA B C D, ∠DAC=98∘\angle D A C = 98^{\circ}, ∠DBC=82∘\angle D B C = 82^{\circ}, ∠BCD=70∘\angle B C D = 70^{\circ} і BC=ADB C = A D. Знайдіть ∠ACD\angle A C D.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-018

Найкоротший шлях до прямих і точки

Зловісна Ліга Зла планує отруїти водопостачання міста. Вони планують вирушити зі свого штабу в точці (5,1)(5,1) і підсипати отруту у дві труби: одну вздовж прямої y=xy=x, а іншу — вздовж прямої x=7x=7. Проте їм треба впоратися швидко, поки їх не спіймав Капітан Молот. Яка найкоротша відстань, яку вони можуть пройти, щоб відвідати обидві труби, а потім повернутися до штабу?
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2014-002

Рухомі перпендикуляри та нерухома точка

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, а XX — змінна внутрішня точка меншої дуги BC^\widehat{BC} його описаного кола. Нехай PP і QQ — основи перпендикулярів, опущених із XX на прямі CACA і CBCB відповідно. Нехай RR — точка перетину прямої PQPQ із перпендикуляром, опущеним із BB на ACAC. Нехай ℓ\ell — пряма, що проходить через PP паралельно до XRXR. Доведіть, що коли XX рухається меншою дугою BC^\widehat{BC}, пряма ℓ\ell завжди проходить через деяку нерухому точку. (Точніше: доведіть, що існує точка FF, визначена трикутником ABCABC, така, що незалежно від того, де саме лежить XX на дузі BC^\widehat{BC}, пряма ℓ\ell проходить через FF.)
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2014-039

Замкнений шлях лазера в розфарбованій сітці

Розіб'ємо площину на нескінченну квадратну сітку, провівши всі прямі x=mx = m і y=ny = n, де mm і nn — цілі числа. Далі, якщо верхній правий кут клітинки має обидві парні координати, зафарбуємо її у чорний колір; інакше — у білий (таким чином, рівно 1/41/4 клітинок є чорними, і жодні дві чорні клітинки не є сусідніми). Нехай rr і ss — непарні цілі числа, а (x,y)(x, y) — точка всередині довільної білої клітинки, така, що rx−syrx - sy ірраціональне. Випустимо з цієї точки лазер з нахилом r/sr/s; лазери проходять крізь білі клітинки і відбиваються від чорних. Доведіть, що траєкторія цього лазера утворить замкнений цикл.
10–11 класиСиметрія
Відбіркові тести на IMOTST-2014-025

Бісектриса і проєкція центра описаного кола

Нехай △ABC\triangle ABC — трикутник, у якому ∣AC∣=2∣AB∣|AC| = 2|AB|, і нехай OO — центр описаного кола. Нехай DD — точка перетину бісектриси ∠A\angle A зі стороною BCBC. Нехай EE — перпендикулярна проєкція OO на пряму ADAD, а F≠DF \neq D — точка на прямій ADAD, для якої ∣CD∣=∣CF∣|CD| = |CF|. Доведіть, що ∠EBF=∠ECF\angle EBF = \angle ECF.
10–11 класиСиметрія
Математична олімпіада Сполучених Штатів Америки (USAMO)USAMO-2014-004

Відстань між центром описаного кола та ортоцентром у трикутнику

Нехай ABCABC — трикутник з ортоцентром HH, і нехай PP — друга точка перетину описаного кола трикутника AHCAHC з внутрішньою бісектрисою кута ∠BAC\angle BAC. Нехай XX — центр описаного кола трикутника APBAPB, а YY — ортоцентр трикутника APCAPC. Доведіть, що довжина відрізка XYXY дорівнює радіусу описаного кола трикутника ABCABC.
10–11 класиТочка перетину висот2 розв’язки
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2013-006

Відображення, дотичне до описаного кола

Нехай OO — центр описаного кола гострокутного трикутника ABCABC. Нехай точка PP на стороні ABAB така, що ∠BOP=∠ABC\angle BOP = \angle ABC, а точка QQ на стороні ACAC така, що ∠COQ=∠ACB\angle COQ = \angle ACB. Доведіть, що відображення прямої BCBC відносно прямої PQPQ дотикається до описаного кола трикутника APQAPQ.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Естонська математична олімпіадаESTMO-2013-018

Ромб із двома рівносторонніми трикутниками

Малле накреслила ромб ABCDABCD і вибрала точки EE і FF на сторонах ABAB і BCBC відповідно так, щоб трикутник DEFDEF був рівностороннім. Малле дуже здивувалася, коли виявила, що існує інша можливість вибрати точки EE і FF на сторонах ABAB і BCBC відповідно так, щоб трикутник DEFDEF був рівностороннім. Якими можуть бути величини кутів цього ромба? Рисунок 17
11 класПоворот2 розв’язки
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-041

Максимум суми відстаней до вершин чотирикутника

Нехай ABCDABCD — опуклий чотирикутник. Для кожної точки MM всередині або на межі чотирикутника ABCDABCD покладемо f(M)=MA+MB+MC+MD.f(M) = MA + MB + MC + MD. Доведіть, що для кожної точки MM маємо f(M)⩽max⁡(f(A),f(B),f(C),f(D))f(M) \leqslant \max(f(A), f(B), f(C), f(D))
9–11 класиНерівність трикутника
Французька математична олімпіадаFRMO-2013-048

Подвоєна відстань від центра до бісектриси

Вершина BB кута ABC^\widehat{A B C} лежить поза колом ω\omega, а промені [BA)[B A) і [BC)[B C) його перетинають. Нехай KK — точка перетину кола ω\omega з променем [BA)[B A). Перпендикуляр до бісектриси кута ABC^\widehat{A B C}, проведений через KK, перетинає коло вдруге в точці PP, а пряму (BC)(B C) — у точці MM. Доведіть, що відрізок [PM][P M] удвічі довший за відстань між центром кола ω\omega і бісектрисою кута ABC^\widehat{A B C}.
9–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-132

Відбиття і дотичні в колі

Трикутник ABCABC вписано в коло ω\omega. Нехай бісектриса кута AA перетинає ω\omega в точці DD, а BCBC — в точці EE. Нехай відображеннями точки AA відносно DD і CC є D′D' і C′C' відповідно. Припустимо, що ∠A=60∘\angle A = 60^\circ, AB=3AB = 3 і AE=4AE = 4. Якщо дотична до кола ω\omega в точці AA перетинає пряму BCBC в точці PP, а описане коло трикутника APD′APD' перетинає пряму BCBC в точці FF (відмінній від PP), обчисліть довжину відрізка FC′FC'.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-035

Більярдний шлях у прямокутному трикутнику

Стіни кімнати мають форму трикутника ABCABC з ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^{\circ}, ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^{\circ} і AB=6AB = 6. Чонг стоїть у середині стіни BCBC і котить кульку в напрямку стіни ABAB. Припустімо, що кулька відбивається від стіни ABAB, потім від стіни ACAC, а потім повертається точно до Чонга. Знайдіть довжину шляху кульки.
10–11 класиСиметрія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-069

Площа потрійного перетину трикутників

На кожній стороні прямокутника 66 на 88 побудовано рівносторонній трикутник, для якого ця сторона є однією зі сторін, так, що внутрішність трикутника перетинається з внутрішністю прямокутника. Яка сумарна площа всіх областей, що містяться рівно в 33 із 44 рівносторонніх трикутників?
10–11 класиРозбиття і перекидання площ
Відбіркові тести на IMOTST-2013-014

Коло через симетричні образи точок на описаному колі

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом ω\omega. Доведіть, що існує точка JJ з такою властивістю: якщо XX — внутрішня точка трикутника ABCABC, промені AXAX, BXBX і CXCX перетинають коло ω\omega повторно в точках A1A_{1}, B1B_{1} і C1C_{1}, а точки A2A_{2}, B2B_{2} і C2C_{2} симетричні точкам A1A_{1}, B1B_{1} і C1C_{1} відносно середин відрізків BC‾\overline{BC}, CA‾\overline{CA} і AB‾\overline{AB} відповідно, то чотири точки A2A_{2}, B2B_{2}, C2C_{2} і JJ лежать на спільному колі.
10–11 класиСиметрія

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.