Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

647 задач
АлгебраЧислові нерівності
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2020-002

Набори невід'ємних чисел з перестановкою і рівністю

Знайдіть усі набори невід'ємних дійсних чисел (x1,x2,…,x2020)(x_1, x_2, \ldots, x_{2020}) таких, що задовольняють три умови: - x1⩽x2⩽…⩽x2020x_1 \leqslant x_2 \leqslant \ldots \leqslant x_{2020}; - x2020⩽x1+1x_{2020} \leqslant x_1 + 1; - існує така перестановка (y1,y2,…,y2020)(y_1, y_2, \ldots, y_{2020}) набору (x1,x2,…,x2020)(x_1, x_2, \ldots, x_{2020}), що ∑i=12020((xi+1)(yi+1))2=8∑i=12020xi3.\sum_{i=1}^{2020} \bigl((x_i + 1)(y_i + 1)\bigr)^2 = 8 \sum_{i=1}^{2020} x_i^3. Примітка. Перестановкою набору називають набір тієї самої довжини з тими самими елементами, але ці елементи можуть іти в довільному порядку. Наприклад, набір чисел (2,1,2)(2, 1, 2) є перестановкою набору (1,2,2)(1, 2, 2), а ці два набори є перестановками набору (2,2,1)(2, 2, 1). Зауважте, що будь-який набір є перестановкою самого себе.
10–11 класиНерівність Коші
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-001

Екстремальний добуток за умови нульової суми

Нехай u1,u2,…,u2019u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2019} — дійсні числа, які задовольняють u1+u2+⋯+u2019=0іu12+u22+⋯+u20192=1.u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{2019}=0 \quad \text{і} \quad u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots+u_{2019}^{2}=1 . Нехай a=min⁡(u1,u2,…,u2019)a=\min \left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2019}\right) і b=max⁡(u1,u2,…,u2019)b=\max \left(u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{2019}\right). Доведіть, що ab⩽−12019a b \leqslant-\frac{1}{2019}
10–11 класиЧислові нерівності2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-001

Розбиття ваг з нерівностями трикутника

Розглянемо m≥3m \ge 3 додатних дійсних чисел g1,…,gmg_1, \dots, g_m, кожне з яких менше за суму інших. Для довільної підмножини M⊆{1,…,m}M \subseteq \{1, \dots, m\} позначимо SM=∑k∈Mgk.S_M = \sum_{k \in M} g_k. Знайдіть усі mm, для яких завжди можна розбити індекси 1,…,m1, \dots, m на три множини A,B,CA, B, C з властивістю SA<SB+SC,SB<SA+SCіSC<SA+SB.S_A < S_B + S_C, \quad S_B < S_A + S_C \quad \text{і} \quad S_C < S_A + S_B.
10–11 класиЧислові нерівності
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2018-002

Добутки елементів множини 1 + 1/k

Розглянемо множину A={1+1k∣k=1,2,3,…}A = \left\{ 1 + \dfrac{1}{k} \mid k = 1, 2, 3, \ldots \right\}. а) Доведіть, що довільне ціле число x⩾2x \geqslant 2 можна подати у вигляді добутку одного або декількох (не обов'язково різних) елементів із множини AA. б) Для кожного цілого x⩾2x \geqslant 2 позначимо через f(x)f(x) мінімальне ціле число таке, що xx можна буде подати у вигляді добутку f(x)f(x) елементів (не обов'язково різних) із множини AA. Доведіть, що існує нескінченно багато пар цілих чисел (x,y)(x, y), для яких x⩾2x \geqslant 2, y⩾2y \geqslant 2 та f(xy)<f(x)+f(y)f(xy) < f(x) + f(y). Примітка. Пари (x1,y1)(x_1, y_1) та (x2,y2)(x_2, y_2) різні тоді й тільки тоді, коли x1≠y1x_1 \neq y_1 або x2≠y2x_2 \neq y_2.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист IMOIMOSL-2017-002

Послідовність із рекурентним співвідношенням через максимум суми

Послідовність дійсних чисел a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots задовольняє співвідношення an=−max⁡i+j=n(ai+aj) для всіх n>2017a_{n} = -\max_{i+j=n} (a_{i} + a_{j}) \quad \text{ для всіх } n > 2017 Доведіть, що ця послідовність обмежена, тобто існує стала MM така, що ∣an∣⩽M|a_{n}| \leqslant M для всіх натуральних чисел nn.
10–11 класиПослідовності (інші властивості)2 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2017-002

Тригонометрична нерівність з обмеженими змінними

Нехай a,b,α,βa, b, \alpha, \beta — дійсні числа такі, що 0≤a,b≤10 \leq a, b \leq 1, і 0≤α,β≤π20 \leq \alpha, \beta \leq \frac{\pi}{2}. Доведіть, що якщо abcos⁡(α−β)≤(1−a2)(1−b2)a b \cos (\alpha-\beta) \leq \sqrt{\left(1-a^{2}\right)\left(1-b^{2}\right)} то acos⁡α+bsin⁡β≤1+absin⁡(β−α)a \cos \alpha+b \sin \beta \leq 1+a b \sin (\beta-\alpha)
10–11 класиЧислові нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-006

Рівняння із синусом і симетрією

Знайдіть усі дійсні розв'язки рівняння (x+y)(2−sin⁡(x+y))4sin⁡2(x+y)=xyx+y.\frac{(x + y)(2 - \sin(x + y))}{4 \sin^2(x + y)} = \frac{xy}{x + y}.
10–11 класиЧислові нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-008

Максимальний член рекурентного масиву

Нехай a0,1,a0,2,…,a0,2016a_{0,1}, a_{0,2}, \dots, a_{0,2016} — додатні дійсні числа. Для n≥1n \ge 1 і 1≤k<20161 \le k < 2016 покладемо an+1,k=an,k+12an,k+1a_{n+1,k} = a_{n,k} + \frac{1}{2a_{n,k+1}} і an+1,2016=an,2016+12an,1.a_{n+1,2016} = a_{n,2016} + \frac{1}{2a_{n,1}}. Нехай mn=max⁡1≤k≤2016an,kпри n≥0.m_n = \max_{1 \le k \le 2016} a_{n,k} \quad \text{при } n \ge 0. Доведіть, що m2016>44m_{2016} > 44.
10–11 класиМетод математичної індукції
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2016-001

Суми квадратів і подвоєні добутки сусідніх чисел

Нехай nn — непарне натуральне число і x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n — невід'ємні дійсні числа. Доведіть, що min⁡i=1,…,n(xi2+xi+12)⩽max⁡j=1,…,n2xjxj+1,\min_{i=1,\ldots,n}\left(x_i^2 + x_{i+1}^2\right) \leqslant \max_{j=1,\ldots,n} 2x_jx_{j+1}, де xn+1=x1x_{n+1} = x_1.
10–11 класиЧислові нерівності
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2016-005

Найменша кількість витертих множників рівняння без дійсних коренів

Рівняння (x−1)(x−2)…(x−2016)=(x−1)(x−2)…(x−2016),(x - 1)(x - 2) \ldots (x - 2016) = (x - 1)(x - 2) \ldots (x - 2016), ліва і права частини якого містять по 20162016 лінійних множників, записано на дошці. Знайдіть найменше можливе значення kk, при якому можна витерти з дошки рівно kk із цих 40324032 лінійних множників так, щоб хоча б один множник залишиться в кожній частині рівняння, а рівняння, що залишиться, не матиме дійсних коренів.
10–11 класиАрифметика остач (базові властиво…
Шорт-лист IMOIMOSL-2016-002

Знакові суми з умовою одиничної норми

Знайдіть усі цілі числа n⩾3n \geqslant 3 з такою властивістю: для всіх дійсних чисел a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} і b1,b2,…,bnb_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}, які задовольняють ∣ak∣+∣bk∣=1\left|a_{k}\right|+\left|b_{k}\right|=1 при 1⩽k⩽n1 \leqslant k \leqslant n, існують x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, кожне з яких дорівнює −1-1 або 11, такі, що ∣∑k=1nxkak∣+∣∑k=1nxkbk∣⩽1\left|\sum_{k=1}^{n} x_{k} a_{k}\right|+\left|\sum_{k=1}^{n} x_{k} b_{k}\right| \leqslant 1
10–11 класиЧислові нерівності2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2015-006

Сума дробів із циклічними змінними

Нехай BB, AA, LL, TT, II, CC — додатні числа. Знайдіть усі можливі значення виразу BA(C+B)(A+L)+LT(A+L)(T+I)+IC(T+I)(C+B).\frac{BA}{(C+B)(A+L)} + \frac{LT}{(A+L)(T+I)} + \frac{IC}{(T+I)(C+B)}.
10–11 класиДробово-лінійні заміни
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2015-009

Нерівність для додатних чисел з двома умовами

Нехай aa, bb, cc і dd — додатні дійсні числа, що задовольняють a2+ab+b2=3c2іa3+a2b+ab2+b3=4d3.a^2 + ab + b^2 = 3c^2 \quad \text{і} \quad a^3 + a^2b + ab^2 + b^3 = 4d^3. Доведіть, що a+b+d≤3c.a + b + d \le 3c.
10–11 класиЧислові нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2013-011

Нерівність для сум упорядкованого набору

Набір a1≥a2≥⋯≥a100na_1 \ge a_2 \ge \dots \ge a_{100n} додатних чисел має таку властивість. Для будь-якої підмножини з 2n+12n + 1 чисел сума nn найбільших чисел цієї підмножини більша за суму решти n+1n + 1 чисел. Доведіть, що (n+1)(a1+a2+⋯+an)>an+1+an+2+⋯+a100n.(n + 1)(a_1 + a_2 + \dots + a_n) > a_{n+1} + a_{n+2} + \dots + a_{100n}.
10–11 класиЧислові нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-001

Система сум із перестановкою

Дійсні числа x1,…,x2011x_1, \dots, x_{2011} задовольняють x1+x2=2x1′,x2+x3=2x2′,…,x2011+x1=2x2011′x_1 + x_2 = 2x'_1, \quad x_2 + x_3 = 2x'_2, \quad \dots, \quad x_{2011} + x_1 = 2x'_{2011} де x1′,x2′,…,x2011′x'_1, x'_2, \dots, x'_{2011} — перестановка чисел x1,x2,…,x2011x_1, x_2, \dots, x_{2011}. Доведіть, що x1=x2=⋯=x2011x_1 = x_2 = \dots = x_{2011}.
10–11 класиЧислові нерівності2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-043

Цифри числа з мінімальним відношенням до суми цифр

Для довільного натурального числа nn позначимо через N(n)N(n) кількість цифр числа nn, а через S(n)S(n) — суму цифр числа nn. (Вважаємо, що числа не починаються з нуля.) Які цифри можуть зустрічатися в натуральному числі nn, якщо nS(n)<mS(m)\frac{n}{S(n)} < \frac{m}{S(m)} для всіх інших mm, таких, що N(m)=N(n)N(m) = N(n)?
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-006

Симетричний кубічний вираз з умовою на суму

Невід'ємні дійсні числа aa, bb, cc задовольняють a+b+c=1a + b + c = 1. Яке найбільше можливе значення виразу a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2?a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + a^2c + ac^2?
10–11 класиЧислові нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-004

Сума попарних добутків проти циклічної суми

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує додатне дійсне число CC таке, що ∑1≤i<j≤nxixj≤C(x1x2+⋯+xn−1xn+xnx1)\sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j \le C (x_1 x_2 + \dots + x_{n-1} x_n + x_n x_1) для всіх додатних дійсних чисел x1,…,xnx_1, \dots, x_n.
10–11 класиЧислові нерівності
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-007

Сума відношень з обмеженими різницями

Нехай x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n (n≥2n \ge 2) — дійсні числа, більші за 11. Припустимо, що ∣xi−xi+1∣<1|x_i - x_{i+1}| < 1 для i=1,2,…,n−1i = 1, 2, \dots, n-1. Доведіть, що x1x2+x2x3+⋯+xn−1xn+xnx1<2n−1\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_3} + \dots + \frac{x_{n-1}}{x_n} + \frac{x_n}{x_1} < 2n - 1
10–11 класиМетод математичної індукції
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-008

Нерівність (a+b+c+d)²≥8(ac+bd) при a,b≤c,d

Нехай a,b,c,da, b, c, d — дійсні числа такі, що a,b≤c,da, b \le c, d. Доведіть нерівність (a+b+c+d)2≥8(ac+bd).(a + b + c + d)^2 \ge 8(ac + bd). Коли виконується рівність?
10–11 класиЧислові нерівності2 розв’язки
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2010-001

Мультиплікативна неспадна функція

Функція f:Z→Z+f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}_{+}, де Z+\mathbb{Z}_{+} — множина натуральних чисел, є неспадною і задовольняє f(mn)=f(m)f(n)f(m n) = f(m) f(n) для всіх взаємно простих натуральних чисел mm та nn. Доведіть, що f(8)f(13)≥(f(10))2f(8) f(13) \geq (f(10))^{2}.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Балтійський шляхBW-2008-004

Вершини тетраедра за сумами на гранях

Припустімо, що Ромео і Джульєтта мають кожен по правильному тетраедру, вершинам якого приписано деякі додатні дійсні числа. Кожному ребру свого тетраедра вони ставлять у відповідність добуток двох чисел, приписаних його кінцям. Потім на кожній грані свого тетраедра вони записують суму трьох чисел, пов’язаних з трьома її ребрами. Чотири числа, записані на гранях тетраедра Ромео, виявилися такими самими, як чотири числа, записані на гранях тетраедра Джульєтти. Чи випливає звідси, що чотири числа, приписані вершинам тетраедра Ромео, збігаються з чотирма числами, приписаними вершинам тетраедра Джульєтти?
10–11 класиСиметричні системи рівнянь
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-004

Нерівність суми-добутку для степенів

Нехай nn — натуральне число, а xx і yy — додатні дійсні числа такі, що xn+yn=1x^{n}+y^{n}=1. Доведіть, що (∑k=1n1+x2k1+x4k)(∑k=1n1+y2k1+y4k)<1(1−x)(1−y).\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1+x^{2 k}}{1+x^{4 k}}\right)\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{1+y^{2 k}}{1+y^{4 k}}\right)<\frac{1}{(1-x)(1-y)} .
10–11 класиГеометрична прогресія2 розв’язки
Балтійський шляхBW-2006-002

Сума квадратів обмежених змінних

Нехай дійсні числа ai∈[−2,17]a_{i} \in [-2,17], i=1,2,…,59i=1,2, \ldots, 59, задовольняють рівність a1+a2+⋯+a59=0a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{59}=0. Доведіть, що a12+a22+⋯+a592≤2006.a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{59}^{2} \leq 2006 .
10–11 класиЧислові нерівності
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-003

Нерівність для суми дробів із добутками

Доведіть нерівність ∑i<jaiajai+aj≤n2(a1+a2+⋯+an)∑i<jaiaj\sum_{i<j} \frac{a_{i} a_{j}}{a_{i}+a_{j}} \leq \frac{n}{2\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)} \sum_{i<j} a_{i} a_{j} для додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}.
10–11 класиПеретворення симетричних виразів2 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.