Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

764 задачі
АлгебраМногочлени
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-019

Найбільший степінь неолімпійського монома

Позначимо через Z[x,y,z]\mathbb{Z}[x, y, z] множину многочленів з цілими коефіцієнтами від трьох змінних x,yx, y і zz. Будемо далі казати, що многочлен P∈Z[x,y,z]P \in \mathbb{Z}[x, y, z] є олімпійським, якщо Z[x,y,z]\mathbb{Z}[x, y, z] містить многочлени A,BA, B і CC такі, що P(x,y,z)=(x+y+z)A(x,y,z)+(xy+yz+zx)B(x,y,z)+xyzC(x,y,z).P(x, y, z)=(x+y+z) A(x, y, z)+(x y+y z+z x) B(x, y, z)+x y z C(x, y, z) . Знайти найбільше ціле число nn, для якого існують невід'ємні цілі числа i,ji, j і kk із сумою i+j+k=ni+j+k=n і такі, що многочлен xiyjzkx^{i} y^{j} z^{k} не є олімпійським. Зауваження: многочлен з цілими коефіцієнтами від змінних x,yx, y і zz — це функція, яку можна записати як суму доданків вигляду λxiyjzk\lambda x^{i} y^{j} z^{k}, де λ\lambda — ціле число, а i,ji, j і kk — невід'ємні цілі числа. Наприклад, x−y+1x-y+1 і xy+yz+zxx y+y z+z x — такі многочлени, а πxyz,exp⁡(x),x/(y2+1)\pi x y z, \exp (x), x /(y^{2}+1) і xy+z\sqrt{x y+z} — ні.
10–11 класиЕлементарні симетричні многочлени
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-110

Многочлен з P(-10)=145, P(9)=164 і найменше |P(0)|

Серед усіх многочленів P(x)P(x) з цілими коефіцієнтами, для яких P(−10)=145P(-10)=145 і P(9)=164P(9)=164, обчисліть найменше можливе значення ∣P(0)∣|P(0)|.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-012

Перетин прямих, що сполучають відповідні вершини тетраедрів

Нехай A1A2A3A4A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}, B1B2B3B4B_{1} B_{2} B_{3} B_{4} і C1C2C3C4C_{1} C_{2} C_{3} C_{4} — три правильні тетраедри в тривимірному просторі, попарно нерівні. Припустимо, що для кожного i∈{1,2,3,4}i \in \{1,2,3,4\} точка CiC_{i} є серединою відрізка AiBiA_{i} B_{i}. Визначте, чи повинні чотири прямі A1B1A_{1} B_{1}, A2B2A_{2} B_{2}, A3B3A_{3} B_{3} і A4B4A_{4} B_{4} перетинатися в одній точці.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-111

Циклічний однорідний многочлен четвертого степеня і значення

Нехай P(x,y,z)P(x, y, z) — однорідний многочлен степеня 4 від трьох змінних такий, що P(a,b,c)=P(b,c,a)P(a, b, c) = P(b, c, a) і P(a,a,b)=0P(a, a, b) = 0 для всіх дійсних a,ba, b і cc. Якщо P(1,2,3)=1P(1,2,3) = 1, обчисліть P(2,4,8)P(2,4,8). Зауваження: P(x,y,z)P(x, y, z) — однорідний многочлен степеня 4, якщо P(ka,kb,kc)=k4P(a,b,c)P(k a, k b, k c) = k^{4} P(a, b, c) виконується для всіх дійсних k,a,b,ck, a, b, c.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-025

Сума обернених попарних сум кубів коренів

Нехай f(x)=x3+3x−1f(x) = x^{3} + 3x - 1 має корені a,b,ca, b, c. Відомо, що 1a3+b3+1b3+c3+1c3+a3\frac{1}{a^{3} + b^{3}} + \frac{1}{b^{3} + c^{3}} + \frac{1}{c^{3} + a^{3}} можна записати як mn\frac{m}{n}, де m,nm, n — натуральні числа й НСД(m,n)=1\text{НСД}(m, n) = 1, знайдіть 100m+n100m + n.
10–11 класиТеорема Вієта
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-116

Монічний кубічний многочлен з непарною симетрією

Нехай ff — монічний многочлен третього степеня, такий, що f(x)+f(−x)=0f(x)+f(-x)=0 для всіх дійсних чисел xx. Для всіх дійсних чисел yy визначимо g(y)g(y) як кількість різних дійсних розв'язків xx рівняння f(f(x))=yf(f(x))=y. Припустімо, що множина можливих значень g(y)g(y) для всіх дійсних чисел yy — це точно {1,5,9}\{1,5,9\}. Обчисліть суму всіх можливих значень f(10)f(10).
10–11 класиМногочлени третього степеня
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-051

Корені суми на одиничному колі

Обчисліть кількість комплексних чисел zz, для яких ∣z∣=1|z|=1 і виконується рівність 1+z5+z10+z15+z18+z21+z24+z27=01+z^{5}+z^{10}+z^{15}+z^{18}+z^{21}+z^{24}+z^{27}=0
10–11 класиМногочлени ділення кола
Відбіркові тести на IMOTST-2021-023

Многочлени з умовою про зсунуті корені

Знайдіть усі многочлени PP з дійсними коефіцієнтами без кратних коренів, такі, що для будь-якого комплексного числа zz рівність zP(z)=1z P(z)=1 виконується тоді й лише тоді, коли P(z−1)P(z+1)=0P(z-1) P(z+1)=0.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-004

Цілочисельні многочлени з малими додатними коефіцієнтами

Доведіть або спростуйте: для кожного цілого n>0n > 0 існує многочлен anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0, який задовольняє такі умови: (1) усі коефіцієнти an,an−1,…,a1,a0a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0 — додатні дійсні числа; (2) принаймні один із коефіцієнтів дорівнює 1n\frac{1}{n}; (3) значення многочлена є цілим числом для кожного цілого xx.
10 класДільники та кратні (базові власти…
Естонська математична олімпіадаESTMO-2020-009

Кубічний многочлен з обмеженим коренем та іншим дійсним коренем

Многочлен x3+px+qx^3 + px + q, де pp і qq — дійсні числа і принаймні одне з них ненульове, має дійсний корінь aa, який задовольняє a2≤−43p.a^2 \le -\frac{4}{3}p. Доведіть, що цей многочлен має дійсний корінь, відмінний від aa.
11 класКорені многочлена, розклад на мно…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-014

Многочлени з рівними дійсними коренями

Нехай PP, QQ — многочлени з дійсними коефіцієнтами такі, що P∘Q=P2019P \circ Q = P^{2019}. Припустимо, що всі корені многочлена PP дійсні. Доведіть, що всі вони рівні.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-116

Значення кубічного многочлена в одиниці

Нехай P(x)=x3+x2−r2x−2020P(x) = x^{3} + x^{2} - r^{2} x - 2020 — многочлен із коренями r,s,tr, s, t. Чому дорівнює P(1)P(1)?
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-121

Многочлени з обмеженими коефіцієнтами в ірраціональній точці

Многочлен P(x)P(x) називається многочленом з основою nn, якщо він має вигляд adxd+ad−1xd−1+⋯+a1x+a0a_{d} x^{d} + a_{d-1} x^{d-1} + \cdots + a_{1} x + a_{0}, де кожне aia_{i} — ціле число від 00 до n−1n-1 включно, а ad>0a_{d} > 0. Знайдіть найбільше натуральне число nn таке, що для будь-якого дійсного числа cc існує не більше одного многочлена з основою nn P(x)P(x), для якого P(2+3)=cP(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = c.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-123

Інтерполяційний многочлен у новій точці

Нехай P(x)P(x) — єдиний многочлен степеня не вище 20202020, такий, що P(k2)=kP\left(k^{2}\right)=k для k=0,1,2,…,2020k=0,1,2, \ldots, 2020. Обчисліть P(20212)P\left(2021^{2}\right).
10–11 класиІнтерполяційні многочлени2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-124

Многочлен попарних добутків коренів

Нехай P(x)=x2020+x+2P(x) = x^{2020} + x + 2 — многочлен, який має 20202020 різних коренів. Нехай Q(x)Q(x) — монічний многочлен степеня (20202)\binom{2020}{2}, коренями якого є попарні добутки коренів многочлена P(x)P(x). Нехай α\alpha задовольняє P(α)=4P(\alpha) = 4. Обчисліть суму всіх можливих значень Q(α2)2Q\left(\alpha^{2}\right)^{2}.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-022

Мінімальний многочлен для обернених до квадратних коренів

Нехай P(x)P(x) — зведений многочлен з раціональними коефіцієнтами найменшого степеня такий, що 12\frac{1}{\sqrt{2}}, 13,14,…,11000\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{4}}, \ldots, \frac{1}{\sqrt{1000}} є коренями многочлена PP. Знайдіть суму коефіцієнтів многочлена PP.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-035

Квадратні тричлени зі спільним дійсним коренем

Для дійсного числа rr квадратні тричлени x2+(r−1)x+6x^{2}+(r-1)x+6 і x2+(2r+1)x+22x^{2}+(2r+1)x+22 мають спільний дійсний корінь. Суму можливих значень rr можна подати у вигляді ab\frac{a}{b}, де a,ba, b — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100a+b.
10–11 класиКвадратні рівняння та системи
Відбіркові тести на IMOTST-2020-003

Монотонність послідовності коренів многочленів

Нехай a1,a2,…,a2020a_1, a_2, \dots, a_{2020} — дійсні числа, не обов'язково різні. Для всіх n≥2020n \ge 2020 нехай an+1a_{n+1} — найменший дійсний корінь многочлена Pn(x)=x2n+a1x2n−2+a2x2n−4+⋯+an−1x2+an,P_n(x) = x^{2n} + a_1 x^{2n-2} + a_2 x^{2n-4} + \dots + a_{n-1} x^2 + a_n, якщо він існує. Припустимо, що an+1a_{n+1} існує для всіх n≥2020n \ge 2020. Доведіть, що an+1≤ana_{n+1} \le a_n для всіх n≥2021n \ge 2021.
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Відбіркові тести на IMOTST-2020-029

Трикутники з послідовними цілими сторонами і співвідношенням кутів

Назвемо невироджений трикутник з мірами кутів θ1,θ2,θ3\theta_1, \theta_2, \theta_3 примхливим, якщо існують цілі числа r1,r2,r3r_1, r_2, r_3, не всі нульові, такі, що r1θ1+r2θ2+r3θ3=0.r_1\theta_1 + r_2\theta_2 + r_3\theta_3 = 0. Знайдіть усі цілі числа n≥3n \ge 3, для яких трикутник зі сторонами n−1,n,n+1n-1, n, n+1 є примхливим.
10–11 класиІнші класи многочленів
Відбіркові тести на IMOTST-2020-023

Добуток степенів за модулем простого числа

Нехай p,qp, q — прості числа, а aa — ціле число таке, що p>2p > 2 і a≠1(modq)a \neq 1 \pmod{q}, але ap≡1(modq)a^p \equiv 1 \pmod{q}. Доведіть, що (1+a1)(1+a2)…(1+ap−1)≡1(modq).(1+a^1)(1+a^2)\dots(1+a^{p-1}) \equiv 1 \pmod{q}.
10–11 класиПорядок (показник) числа за модул…3 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2020-035

Многочлени з коренями на одиничному колі

Знайдіть усі несталі многочлени P(z)P(z) з комплексними коефіцієнтами, для яких усі комплексні корені многочленів P(z)P(z) і P(z)−1P(z) - 1 мають модуль 11.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-015

Степінь п'ятірки, що ділить зважену суму коефіцієнтів

Дано многочлен (x2+5x−19)50=a0+a1x+a2x2+⋯+a100x100,\left(x^{2}+5 x-19\right)^{50}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{100} x^{100}, розглянемо величину M=a0−a1+4a2−9a3+16a4−81a5+64a6−729a7+⋯+298a98−398a99+2100a100M=a_{0}-a_{1}+4 a_{2}-9 a_{3}+16 a_{4}-81 a_{5}+64 a_{6}-729 a_{7}+\cdots+2^{98} a_{98}-3^{98} a_{99}+2^{100} a_{100} в якій коефіцієнт при a2ka_{2 k} дорівнює 22k2^{2 k}, а коефіцієнт при a2k+1a_{2 k+1} дорівнює −32k-3^{2 k}. Який найбільший степінь числа 5 ділить MM? (A) 505^{0} (B) 515^{1} (C) 555^{5} (D) 5505^{50} (E) 51005^{100}
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2020-016

Многочлени, що задовольняють квадратичне функціональне рівняння

Скільки існує многочленів p(x)p(x) з дійсними коефіцієнтами, степінь яких від 1 до 2020 включно, для яких існує дійсне число α\alpha таке, що рівність p(x)2=p(x2)+αp(x)p(x)^2 = p\left(x^2\right) + \alpha p(x) виконується для кожного дійсного числа xx?
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2020-008

Квадрат кореня x³ - 2x + 1

Нехай P(x)=x3−2x+1P(x) = x^{3} - 2x + 1 і нехай Q(x)=x3−4x2+4x−1Q(x) = x^{3} - 4x^{2} + 4x - 1. Доведіть, що якщо P(r)=0P(r) = 0, то Q(r2)=0Q(r^{2}) = 0
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-006

Значення дробового виразу на натуральних числах

Професор М. А. Луко написав на дошці вираз: n2−5n+4n−4\frac{n^{2}-5 n+4}{n-4} Потім він каже учням, що nn може бути будь-яким натуральним числом, за винятком 44. а) Яке значення виразу для n=1n=1? б) Маркос підставив замість nn натуральне число й виявив, що значення виразу дорівнює 55. Яке число підставив Маркос замість nn? в) Які натуральні числа не можуть бути числовим значенням виразу?
8–9 класиКорені многочлена, розклад на мно…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.