Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

7 222 задачі
Комбінаторика
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-022

Гра з квадратами та подільністю на 2021

Учителька Джейн написала на дошці числа 12,22,32,…,202021^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \ldots, 2020^{2}. Вона пропонує таку гру: Аліса і Матіас мають по черзі витирати числа, по одному числу за хід, причому починає Матіас, доки на дошці не залишаться лише два числа. Якщо різниця між цими двома числами буде кратною 2021, перемагає Аліса, інакше перемагає Матіас. Визначте, хто завжди може гарантувати собі перемогу незалежно від гри суперника.
8–9 класиСиметрія та розбиття на пари
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-023

Шляхи між червоними точками у розфарбованому графі

На аркуші паперу намальовано 10 точок, з них 8 синіх і 2 червоні. Обидві червоні точки сполучено з усіма синіми точками, але між собою їх не сполучено. Усі сині точки сполучено між собою. Коли дві точки сполучено, це сполучення здійснено єдиним відрізком. Скількома різними способами можна вийти з однієї червоної точки й дійти до іншої, проходячи через кожну точку не більше одного разу?
8–9 класиРозміщення
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-001

Фотографії, на яких кожна пара родичів разом рівно один раз

Фотограф має зробити фотографії вечірки за участю 10 членів однієї родини. Кожна з 45 можливих пар людей цієї родини має з'явитися разом рівно на одній фотографії. Крім того, фотографії бувають лише двох типів: на 2 або на 3 особи. a) Перевірте, що кожна людина з родини має з'явитися принаймні на одній фотографії, на якій лише 2 особи. b) Перевірте, що фотограф має зробити принаймні 19 фотографій. c) Наведіть приклад розподілу людей на 19 фотографіях, що задовольняє задані умови.
8–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-028

Підрахунок легальних телефонних номерів

Назвемо телефонний номер d1d2d3−d4d5d6d7d_{1} d_{2} d_{3}-d_{4} d_{5} d_{6} d_{7} легальним, якщо число d1d2d3d_{1} d_{2} d_{3} дорівнює d4d5d6d_{4} d_{5} d_{6} або d5d6d7d_{5} d_{6} d_{7}. Наприклад, 234−2347234-2347 — легальний телефонний номер. Припустимо, що кожне did_{i} може бути будь-якою цифрою від 0 до 9. Скільки існує легальних телефонних номерів?
8–9 класиПравила суму та добутку
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-029

Перестановки з умовою порядку пар

а) Літери AA, BB і CC можна розмістити в ряд 6 різними способами: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBAA B C,\ A C B,\ B A C,\ B C A,\ C A B,\ C B A Зауважимо, що в 3 з них літера AA стоїть ліворуч від літери BB: ABC, ACB, CABA B C,\ A C B,\ C A B Якщо розмістити літери AA, BB, CC і DD в ряд усіма 24 можливими різними способами, у скількох з них літера AA стоїть ліворуч від літери BB? б) Павук має шкарпетку й черевик для кожної зі своїх восьми ніг. Скількома різними способами павук може взутися, якщо 8 шкарпеток і 8 черевиків попарно різні й кожну шкарпетку треба одягнути перед відповідним черевиком?
8–9 класиПерестановки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-060

Покриття пар альянсами обмеженого розміру

На планеті XX є 100 інопланетних країн, що конфліктують між собою. Щоб уникнути світової війни, ці країни об'єднуються в групи військових альянсів для взаємного захисту. Відомо, що альянси підпорядковуються таким правилам: 1) Жоден альянс не містить понад 50 країн. 2) Будь-які дві країни належать принаймні до одного альянсу. а) Чи можливо, що якась країна бере участь у менш ніж трьох військових альянсах? б) Яка найменша можлива кількість альянсів, за якої ці дві умови виконуються?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-063

Підмножина без прямокутників на дошці 7 на 7

На дошці 7×77 \times 7 скажемо, що 4 клітинки, позначені XX, утворюють замок, якщо вони є вершинами прямокутника зі сторонами, паралельними сторонам дошки, як показано на рисунку нижче: a) Позначте 21 клітинку знаком XX на дошці 7×77 \times 7 так, щоб серед них не було жодного замку. b) Доведіть, що за будь-якого вибору 22 клітинок зі знаком XX завжди існуватиме замок.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-064

Заміна трьох чисел на дошці одним числом

На дошці записано 2020 чисел 1⋅2,2⋅3,3⋅4,…,2020⋅20211 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, \ldots, 2020 \cdot 2021 Один хід полягає у виборі трьох чисел a,b,ca, b, c, записаних на дошці, їх стиранні та записуванні на дошку числа abcab+bc+ac\frac{a b c}{a b + b c + a c} a) Перевірте, що 1a+1b+1c=(abcab+bc+ac)−1\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \left(\frac{a b c}{a b + b c + a c}\right)^{-1} b) Користуючись 1k(k+1)=1k−1k+1\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} знайдіть значення суми 11⋅2+12⋅3+13⋅4+…+12020⋅2021\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{2020 \cdot 2021} c) Після 1009 ходів на дошці залишаються два числа. Доведіть, що якщо одне з них дорівнює 4/34/3, то інше більше за 44.
10–11 класиІнші інваріанти
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-004

Рукостискання в прямокутній сітці

На змаганнях учасники займають усі місця в прямокутному залі, де сидіння розташовані рядами та стовпцями таким чином, що є більше двох рядів і в кожному ряду більше двох місць. У певний момент ці учасники отримують наказ потиснути руку лише своїм безпосереднім сусідам у залі, тобто тим, хто знаходиться ліворуч, праворуч, спереду, ззаду та по діагоналі. Хтось помітив, що було зроблено 1020 рукостискань. Нехай nn — кількість рядів, а mm — кількість місць у кожному ряду. a) Які кількості рукостискань міг зробити учасник у залі? b) Для кожної з кількостей xx, описаних у попередньому пункті, обчисліть, скільки учасників зробили xx рукостискань. c) Визначте кількість учасників, які були в залі.
10–11 класиСтепені вершин
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2020-003

Прямокутники у квадраті 5 на 5

Розглянемо білий квадрат 5×55 \times 5, що складається з 25 одиничних квадратів. Скільки існує різних способів зафарбувати один або кілька одиничних квадратів у чорний колір так, щоб утворена чорна область була прямокутником?
10–11 класиКомбінації
Швейцарська математична олімпіадаSWMO-2020-004

Група однакового віку серед 2020 мешканців

Село Рош має 2020 мешканців. Одного дня відомий математик Жорж де Рам робить такі спостереження: - Кожен мешканець села знає ще одного мешканця такого самого віку. - У кожній групі зі 192 осіб із села є принаймні троє одного віку. Доведіть, що існує група з 22 мешканців села, які всі мають однаковий вік.
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2019-005

Визначення номіналів монет через торговий автомат

Ви подорожуєте іноземною країною, валюта якої складається з п'яти видів монет, різних на вигляд. У вас у кишені є по кілька монет кожного виду. Ви пам'ятаєте, що монети мають номінали 11, 22, 55, 1010 і 2020 флоринів, але гадки не маєте, яка монета яка, і не розмовляєте місцевою мовою. Ви знаходите торговий автомат, у якому за 11 флорин можна купити одну цукерку: ви опускаєте монету будь-якого виду і отримуєте 11 цукерку плюс решту, якщо така вам належить. За раз можна купити лише одну цукерку, але цукерок можна купити скільки завгодно, одну за одною. Яку найменшу кількість цукерок потрібно купити, щоб гарантовано визначити номінали всіх монет? Доведіть, що ваша відповідь правильна.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2019-006

Розфарбування дошки з обмеженням на парність сусідів

Спочатку всі клітинки дошки 8×88 \times 8 білі. Починаємо з того, що вибираємо одну з клітинок і фарбуємо її сірою. Після цього можна фарбувати сірим додаткові клітинки по одній, але пофарбувати клітинку сірою можна лише тоді, коли в цей момент у неї рівно 1 або 3 сірих сусіди (сусід — клітинка зі спільною стороною). Наприклад, наведена нижче конфігурація (на меншій дошці 3×43 \times 4) показує ситуацію, коли сірими вже пофарбовано шість клітинок. Клітинки, які можна пофарбувати наступним кроком, позначено крапкою. Чи можна пофарбувати сірим усі клітинки? Обґрунтуйте відповідь.
10–11 класиІнші інваріанти
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2019-003

Фішки на шахівниці без діагональних сусідів

Нехай mm та nn — додатні цілі числа. Шахівниця розміром 2m×2n2m \times 2n розфарбована у звичайний шаховий спосіб. Знайдіть кількість способів розміщення mnmn фішок на білих клітинках, не більше однієї фішки на клітинку, так, щоб жодні дві фішки не стояли на білих клітинках, сусідніх по діагоналі. Приклад розміщення фішок для m=2m=2 та n=3n=3 показано нижче.
10–11 класиБієкції
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2019-005

Уникнення непарного циклу в грі на графі

Девід і Джейкоб грають у гру зі з’єднання n≥3n \geq 3 точок, намальованих на площині. Жодні три з точок не лежать на одній прямій. Кожного свого ходу гравець вибирає дві точки, щоб з’єднати їх новим відрізком. Гравець, який першим завершить цикл, що складається з непарної кількості відрізків, програє гру. (Обидва кінці кожного відрізка в циклі мають бути серед nn заданих точок, а не точками, які виникають пізніше як перетини відрізків.) Якщо Девід ходить першим, визначте всі nn, для яких він має виграшну стратегію.
10–11 класиДвочасткові графи
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-014

Суми рядків і стовпців магічного квадрата

Сто учнів носять футболки з номерами від 11 до 100100. Учнів розмістили у квадраті десять рядків на десять стовпців. Виявилося, що додавання десяти номерів на футболках учнів у будь-якому рядку чи будь-якому стовпці завжди дає той самий результат. Визначте цей результат.
7–9 класиПідрахунок двома способами
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-007

Спільні діти двох чисел

Кажемо, що число є дитиною іншого числа, якщо його можна отримати, вставивши між будь-якими двома цифрами іншого числа або нічого, або ++, або ×\times. Наприклад, 145145 і 55 є дітьми числа 1212112121, оскільки 145=12×12+1145 = 12 \times 12 + 1 і 5=1+2×1+2×15 = 1 + 2 \times 1 + 2 \times 1. Число 1515 є дитиною як числа 1212112121, так і числа 3333333333, оскільки 12+1+2×1=15=3+3+3+3+312 + 1 + 2 \times 1 = 15 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3. Яке з наведених нижче чисел також є дитиною обох чисел 1212112121 і 3333333333? A) 1818 B) 3434 C) 3939 D) 4242 E) 4545
7–9 класиРозбиття на випадки
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-008

Найменший середній бал за найчастішої оцінки

У класі 3030 учнів склали тест. Кожен учень отримав оцінку — ціле число від 11 до 1010. Оцінка 88 траплялася частіше, ніж будь-яка інша оцінка. Який найменший можливий середній бал учнів? A) 38153\frac{8}{15} B) 3233\frac{2}{3} C) 3563\frac{5}{6} D) 411304\frac{11}{30} E) 48154\frac{8}{15}
7–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-009

Розфарбування сітки 6×6 з обертанням

Ми хочемо розфарбувати 36 клітинок дошки 6×66 \times 6. Кожна клітинка повинна бути пофарбована в білий, сірий або чорний колір, і повинна виконуватися така вимога: Три сусідні клітинки в одному рядку або стовпці завжди повинні мати три різні кольори. Назвемо два розфарбування справді різними, якщо одне не можна отримати з іншого обертанням дошки. Нижче зображено три розфарбування, які задовольняють вимогу. Перше і друге розфарбування є справді різними, але третє після обертання збігається з другим. Скільки справді різних розфарбувань задовольняють вимогу (враховуючи два з рисунка)?
7–9 класиКонструкція через періодичність
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-003

Оптимальні номінали монет для сум

У кав'ярні кожен товар коштує щонайбільше 1212 дукатів. Наразі власник кав'ярні використовує лише монети вартістю один дукат. Однак для дорожчих товарів це непрактично. Тому власник кав'ярні вирішив додатково ввести два нових типи монет поряд із монетами в один дукат. Він робить це так, щоб якомога більше значень від 11 до 1212 дукатів можна було сплатити щонайбільше двома монетами (без решти). Яка вартість двох нових типів монет?
7–9 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-011

Розсадка по колу з різною кількістю кульок

П’ятеро розумних учнів сидять по колу. Учитель дає кожному з них одну або більше кульок. Він пояснює, що загалом він роздав 18 кульок і що кожен отримав різну кількість кульок. Кожен учень бачить свою кількість кульок, а також кількість кульок у свого сусіда ліворуч і свого сусіда праворуч. Користуючись лише цією інформацією, кожен учень має спробувати логічно вивести різницю між кількостями кульок у двох учнів навпроти нього. Учитель розподілив кульки так, щоб мінімізувати кількість учнів, які зможуть це зробити. Скільки учнів зможе це зробити? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5
7–9 класиРозбиття на випадки
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-001

Повні числа з різницями, що чергуються

Повне число — це 9-цифрове число, яке містить кожну з цифр від 1 до 9 рівно один раз. Різницеве число числа NN — це число, яке отримують, беручи різниці послідовних цифр числа NN і записуючи ці цифри підряд. Наприклад, різницеве число числа 25143 дорівнює 3431. Повне число 124356879 має ще й таку властивість: його різницеве число, 12121212, складається з цифр 1 і 2, які чергуються. Знайдіть усі aa з 3≤a≤93 \le a \le 9, для яких існує повне число NN з додатковою властивістю, що цифри його різницевого числа почергово дорівнюють 1 і aa.
10–11 класиШляхи на графах
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-021

Послідовність різних цілих чисел зі складеним розбиттям

Розглянемо послідовності a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_n, що складаються з nn цілих чисел. Для заданого k≤nk \le n числа послідовності можна розбити на kk груп так: a1a_1 потрапляє до першої групи, a2a_2 — до другої групи і так далі аж до aka_k, яке потрапляє до kk-ї групи. Далі ak+1a_{k+1} знову потрапляє до першої групи, ak+2a_{k+2} — до другої групи і так далі. Послідовність називається kk-складеною, якщо за такого розбиття суми чисел у kk групах рівні. Послідовність 1,2,3,4,−2,6,13,12,17,81, 2, 3, 4, -2, 6, 13, 12, 17, 8, наприклад, є 4-складеною, оскільки 1+(−2)+17=2+6+8=3+13=4+12.1 + (-2) + 17 = 2 + 6 + 8 = 3 + 13 = 4 + 12. Однак ця послідовність не є 3-складеною, оскільки суми 1+4+13+81 + 4 + 13 + 8, 2+(−2)+122 + (-2) + 12 і 3+6+173 + 6 + 17 дають неоднакові результати. a. Наведіть послідовність із 6 різних цілих чисел, яка є одночасно 2-складеною і 3-складеною. b. Наведіть послідовність із 7 різних цілих чисел, яка є 2-складеною, 3-складеною і 4-складеною. c. Знайдіть найбільше k≤99k \le 99, для якого існує послідовність із 99 різних цілих чисел, яка є kk-складеною. (Наведіть приклад такої послідовності та доведіть, що для більших значень kk такої послідовності не існує.)
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-007

П'ятірка чисел, менших за 10, без суми 10

Артур записав п'ять різних натуральних чисел, менших за 1010. Якщо додати будь-які два з цих п'яти чисел, то результат ніколи не дорівнюватиме 1010. Яке число Артур записав напевно? A) 11 B) 22 C) 33 D) 44 E) 55
10–11 класиПринцип Діріхле (скінченні множин…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-002

Гості з чотирма друзями та умовою про недрузів

На вечірці є nn гостей. Будь-які двоє гостей або дружать між собою, або ні. Кожен гість дружить рівно з чотирма іншими гостями. Щоразу, коли якийсь гість не дружить із двома іншими гостями, ці двоє інших гостей також не можуть дружити між собою. Які можливі значення nn?
10–11 класиСтепені вершин

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для Всеукраїнської олімпіади, турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка та київських олімпіад. Дякуємо за роки праці й щедрість ідей.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.