Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

83 задачі
АлгебраЧисла Фібоначі
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-18-19-018

Додатні числа з обмеженим відношенням і гострокутний трикутник

Знайдіть усі натуральні n⩾3n \geqslant 3 такі, що серед довільних nn додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, за умови max⁡(a1,a2,…,an)⩽nmin⁡(a1,a2,…,an)\max(a_1, a_2, \ldots, a_n) \leqslant n \min(a_1, a_2, \ldots, a_n), існують попарно різні індекси ii, jj, kk, для яких ai,aj,aka_i, a_j, a_k — сторони гострокутного трикутника.
7–9 класиЧисла Фібоначі
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-018

Додатні числа з умовою на максимум і гострокутний трикутник

Знайдіть усі натуральні n⩾3n \geqslant 3 такі, що серед довільних nn додатних дійсних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, за умови max⁡(a1,a2,…,an)⩽nmin⁡(a1,a2,…,an)\max(a_1, a_2, \ldots, a_n) \leqslant n \min(a_1, a_2, \ldots, a_n), існують попарно різні індекси i,j,ki, j, k, для яких ai,aj,aka_i, a_j, a_k — сторони гострокутного трикутника.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-039

Двійкові цифри у зваженій сумі Фібоначчі

Нехай Z+\mathbb{Z}^+ — множина натуральних чисел, а (Fn)n∈Z+(F_n)_{n \in \mathbb{Z}^+} — послідовність Фібоначчі, задана рівностями F1=F2=1F_1 = F_2 = 1 і Fn+1=Fn+Fn−1F_{n+1} = F_n + F_{n-1} при n≥2n \ge 2. Розглянемо число N=22022F2023−22021F2022+22020F2021+⋯−2F2+F1.N = 2^{2022}F_{2023} - 2^{2021}F_{2022} + 2^{2020}F_{2021} + \dots - 2F_2 + F_1. Доведіть, що двійковий запис числа NN містить більше одиниць, ніж нулів.
10–11 класиСистеми числення2 розв’язки
Шорт-лист IMOIMOSL-2020-005

Перестановки зі зваженими нерівностями

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть кількість перестановок a1,a2,…,ana_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} послідовності 1,2,…,n1,2, \ldots, n, що задовольняють a1⩽2a2⩽3a3⩽…⩽nana_{1} \leqslant 2 a_{2} \leqslant 3 a_{3} \leqslant \ldots \leqslant n a_{n}
10–11 класиРекурентний підрахунок2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-006

Лінійне рівняння з числами Фібоначчі

Нехай FnF_n — послідовність, задана рекурентно рівностями F1=F2=1F_1 = F_2 = 1 і Fn+1=Fn+Fn−1F_{n+1} = F_n + F_{n-1} при n≥2n \ge 2. Знайдіть усі пари натуральних чисел (x,y)(x, y) такі, що 5Fx−3Fy=15F_x - 3F_y = 1
10–11 класиЧисла Фібоначі
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2014-022

Розфарбування місць з непарними одноколірними серіями

Треба пофарбувати nn місць у ряд, кожне в червоний або зелений колір. Розфарбування називаємо непарним, якщо кожна одноколірна серія має непарну довжину. Під одноколірною серією розуміємо послідовність місць одного кольору, обмежену місцями іншого кольору або стінкою. Порахуйте, скільки існує способів непарного розфарбування.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Європейська математична олімпіада для дівчат (EGMO)EGMO-2012-004

Існування багатої й талановитої множини цілих чисел

Назвімо множину AA цілих чисел талановитою, якщо кожен елемент цієї множини можна подати як суму деяких двох (не обов'язково різних) чисел, що також належать множині AA. Назвімо множину AA цілих чисел багатою, якщо 00 — єдине ціле число, яке не можна подати як суму елементів деякої скінченної непорожньої підмножини AA. Чи існує множина цілих чисел, що є водночас і багатою, і талановитою?
10–11 класиЧисла Фібоначі
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-013

Ряд Фібоначчі з геометричними вагами

Обчисліть суму ∑n=1∞Fn10n+1\sum_{n=1}^{\infty} \frac{F_n}{10^{n+1}} де FnF_n — nn-те число Фібоначчі, задане рівностями F1=F2=1F_1 = F_2 = 1 і Fn+1=Fn+Fn−1F_{n+1} = F_n + F_{n-1} для всіх n≥2n \geq 2.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Шорт-лист IMOIMOSL-2010-011

Максимальне розфарбування модульної таблиці

Рядки і стовпці таблиці 2n×2n2^{n} \times 2^{n} пронумеровано від 00 до 2n−12^{n}-1. Клітинки таблиці розфарбовано так, що виконується така властивість: для кожного 0≤i,j≤2n−10 \leq i, j \leq 2^{n}-1, jj-та клітинка в ii-му рядку і (i+j)(i+j)-та клітинка в jj-му рядку мають однаковий колір. (Індекси клітинок у рядку розглядаються за модулем 2n2^{n}.) Доведіть, що максимально можлива кількість кольорів дорівнює 2n2^{n}.
10–11 класиФункція vₚ(n) та її властивості
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-010

Рекурентне співвідношення Фібоначчі в рівнянні зі степенем

Послідовність (fi)i=0∞(f_i)_{i=0}^{\infty} задано умовами f0=f1=1f_0 = f_1 = 1 і fi+2=fi+1+fif_{i+2} = f_{i+1} + f_i (i≥0i \ge 0). Знайдіть усі дійсні розв'язки рівняння x2010=f2009x+f2008.x^{2010} = f_{2009}x + f_{2008}.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Шорт-лист IMOIMOSL-2006-005

Лінійні нерівності для сум Фібоначчі

Послідовність c0,c1,…,cn,…c_{0}, c_{1}, \ldots, c_{n}, \ldots задано умовами c0=1c_{0}=1, c1=0c_{1}=0 і cn+2=cn+1+cnc_{n+2}=c_{n+1}+c_{n} для n≥0n \geq 0. Розглянемо множину SS впорядкованих пар (x,y)(x, y), для яких існує скінченна множина JJ натуральних чисел така, що x=∑j∈Jcjx=\sum_{j \in J} c_{j}, y=∑j∈Jcj−1y=\sum_{j \in J} c_{j-1}. Доведіть, що існують дійсні числа α\alpha, β\beta і mm, MM з такою властивістю: впорядкована пара невід'ємних цілих чисел (x,y)(x, y) задовольняє нерівність m<αx+βy<Mm<\alpha x+\beta y<M тоді й лише тоді, коли (x,y)∈S(x, y) \in S. N. B. Сума за елементами порожньої множини вважається рівною 00.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-2004-002

Арифметична прогресія без чисел Фібоначчі

Нехай f1=0f_{1}=0, f2=1f_{2}=1, а fn+2=fn+1+fnf_{n+2}=f_{n+1}+f_{n} при n=1,2,…n=1,2, \ldots — послідовність Фібоначчі. Доведіть, що існує строго зростаюча нескінченна арифметична прогресія, жодне число якої не належить послідовності Фібоначчі. [Послідовність є арифметичною, якщо різниця будь-яких її сусідніх членів є сталою.]
10–11 класиМіркування за модулем
Балтійський шляхBW-2003-008

Пошук числа із затримкою відповідей

Відомо, що nn — натуральне число, n≤144n \leq 144. Дозволено поставити десять запитань виду «Чи nn менше за aa?». Відповіді надходять із затримкою: відповідь на ii-те запитання дається лише після того, як поставлено (i+1)(i+1)-ше запитання, i=1,2,…,9i=1,2, \ldots, 9. Відповідь на десяте запитання дається одразу після того, як його поставлено. Знайдіть стратегію, що дає змогу визначити nn.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-047

Прості числа з періодичним функціональним рівнянням

Нехай Z\mathbb{Z} — множина цілих чисел. Знайдіть із доведенням усі прості числа pp, для яких існує функція f ⁣:Z→Zf\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{Z} така, що для будь-якого цілого числа xx, f(x+p)=f(x)f(x + p) = f(x) і pp ділить f(x+f(x))−xf(x + f(x)) - x.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2024-040

Сума відношень чисел Фібоначчі

Числа Фібоначчі визначено як F1=1F_1 = 1, F2=1F_2 = 1 і Fn=Fn−1+Fn−2F_n = F_{n-1} + F_{n-2} при n≥3n \ge 3. Чому дорівнює F2F1+F4F2+F6F3+⋯+F20F10?\frac{F_2}{F_1} + \frac{F_4}{F_2} + \frac{F_6}{F_3} + \dots + \frac{F_{20}}{F_{10}}?
8–10 класиЧисла Фібоначі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-025

Шляхи на решітці з ходами та стрибками

Жабеня Келвін наразі сидить у точці (0,0)(0,0) координатної площини. Якщо Келвін перебуває в точці (x,y)(x, y), то він може або пройти до будь-якої з точок (x,y+1)(x, y+1), (x+1,y)(x+1, y) чи (x+1,y+1)(x+1, y+1), або стрибнути до будь-якої з точок (x,y+2)(x, y+2), (x+2,y)(x+2, y) чи (x+1,y+1)(x+1, y+1). Прохід і стрибок з точки (x,y)(x, y) до точки (x+1,y+1)(x+1, y+1) вважаються різними діями. Обчисліть кількість способів, якими Келвін може дістатися до точки (6,8)(6,8).
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-026

Розбиття чисел Фібоначчі на рівні за сумою частини

Числа Фібоначчі задано рекурентно: F0=0F_{0}=0, F1=1F_{1}=1 і Fi=Fi−1+Fi−2F_{i}=F_{i-1}+F_{i-2} при i≥2i \geq 2. Дано 15 дерев’яних брусків вагою F2,F3,…,F16F_{2}, F_{3}, \ldots, F_{16}. Обчисліть кількість способів пофарбувати кожен брусок у червоний або синій колір так, щоб сумарна вага червоних брусків дорівнювала сумарній вазі синіх брусків.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-071

Розбиття кубічних коренів із чисел Фібоначчі

Числа Фібоначчі задано рекурентно: F0=0F_{0}=0, F1=1F_{1}=1 і Fi=Fi−1+Fi−2F_{i}=F_{i-1}+F_{i-2} при i≥2i \geq 2. Дано 30 дерев'яних брусків вагою F23,F33,…,F313\sqrt[3]{F_{2}}, \sqrt[3]{F_{3}}, \ldots, \sqrt[3]{F_{31}}; оцініть кількість способів пофарбувати кожен брусок у червоний або синій колір так, щоб сумарна вага червоних брусків і сумарна вага синіх брусків відрізнялися не більше ніж на 1. Надішліть натуральне число EE. Якщо правильна відповідь — AA, ви отримаєте ⌊25min⁡((E/A)8,(A/E)8)⌋\left\lfloor 25 \min \left((E / A)^{8},(A / E)^{8}\right)\right\rfloor балів. (Якщо ви не надішлете натуральне число, ви отримаєте нуль балів за це запитання.)
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-022

Множина з різницями Фібоначчі

Для кожного цілого k⩾0k \geqslant 0 позначимо через FkF_{k} k-теk^{\text{-те}} число Фібоначчі, визначене рівностями F0=0F_{0}=0, F1=1F_{1}=1 і Fk=Fk−2+Fk−1F_{k}=F_{k-2}+F_{k-1} при k⩾2k \geqslant 2. Нехай n⩾2n \geqslant 2 — ціле число, і нехай SS — множина цілих чисел, яка має таку властивість: Для кожного цілого kk такого, що 2⩽k⩽n2 \leqslant k \leqslant n, множина SS містить два цілі числа xx і yy такі, що x−y=Fkx-y=F_{k}. Яка найменша можлива кількість елементів такої множини SS?
10–11 класиДерева
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-042

Багатократна сума чисел Фібоначчі

Числа Фібоначчі визначено як F0=0F_{0}=0, F1=1F_{1}=1 і Fn=Fn−1+Fn−2F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2} для n≥2n \geq 2. Існують єдині натуральні числа n1n_{1}, n2n_{2}, n3n_{3}, n4n_{4}, n5n_{5}, n6n_{6} такі, що ∑i1=0100∑i2=0100∑i3=0100∑i4=0100∑i5=0100Fi1+i2+i3+i4+i5=Fn1−5Fn2+10Fn3−10Fn4+5Fn5−Fn6\sum_{i_{1}=0}^{100} \sum_{i_{2}=0}^{100} \sum_{i_{3}=0}^{100} \sum_{i_{4}=0}^{100} \sum_{i_{5}=0}^{100} F_{i_{1}+i_{2}+i_{3}+i_{4}+i_{5}}=F_{n_{1}}-5 F_{n_{2}}+10 F_{n_{3}}-10 F_{n_{4}}+5 F_{n_{5}}-F_{n_{6}} Знайдіть n1+n2+n3+n4+n5+n6n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}+n_{5}+n_{6}.
10–11 класиЧисла Фібоначі
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-054

Цикли у чотиривимірному ґратковому графі

Нехай SS — множина з 343^{4} точок чотиривимірного простору, в яких кожна координата належить {−1,0,1}\{-1,0,1\}. Нехай NN — кількість послідовностей точок P1,P2,…,P2020P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{2020} з SS таких, що PiPi+1=2P_{i} P_{i+1}=2 для всіх 1≤i≤20201 \leq i \leq 2020 і P1=(0,0,0,0)P_{1}=(0,0,0,0). (Тут P2021=P1P_{2021}=P_{1}.) Знайдіть найбільше ціле число nn таке, що 2n2^{n} ділить NN.
10–11 класиЛінійні рекурентні послідовності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-050

Добуток виразів із квадратами чисел Фібоначчі

Послідовність Фібоначчі задано рекурентно рівністю Fn+2=Fn+1+FnF_{n+2}=F_{n+1}+F_{n} для n∈Zn \in \mathbb{Z} і F1=F2=1F_{1}=F_{2}=1. Знайдіть значення: (1−F22F32)(1−F32F42)⋅…⋅(1−F20192F20202)\left(1-\frac{F_{2}^{2}}{F_{3}^{2}}\right)\left(1-\frac{F_{3}^{2}}{F_{4}^{2}}\right) \cdot \ldots \cdot\left(1-\frac{F_{2019}^{2}}{F_{2020}^{2}}\right)
10–11 класиЧисла Фібоначі
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-016

Вибір чисел, що утворюють трикутник

У високому капелюсі є сто папірців, пронумерованих від 11 до 100100. Ви хочете мати три папірці з властивістю, що кожне з трьох чисел менше за суму двох інших. Наприклад, три папірці з номерами 1010, 1515 і 2020 були б придатними (оскільки 10<15+2010 < 15 + 20, 15<10+2015 < 10 + 20 і 20<10+1520 < 10 + 15), а папірці з номерами 33, 44 і 77 — ні (оскільки 77 не менше за 3+43 + 4). Ви можете (не дивлячись на числа на папірцях) взяти кілька папірців із капелюха. Яка найменша кількість папірців, яку треба взяти, щоб напевно мати три папірці, які задовольняють ваше бажання?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2019-004

Сума обернених добутків чисел Фібоначчі

Послідовність чисел Фібоначчі F0,F1,F2,…F_0, F_1, F_2, \ldots задано умовами F0=F1=1F_0 = F_1 = 1 і Fn+2=Fn+Fn+1F_{n+2} = F_n + F_{n+1} для всіх n≥0n \ge 0. Наприклад, маємо F2=F0+F1=2,F3=F1+F2=3,F4=F2+F3=5,F5=8.F_2 = F_0 + F_1 = 2, \quad F_3 = F_1 + F_2 = 3, \quad F_4 = F_2 + F_3 = 5, \quad F_5 = 8. Послідовність a0,a1,a2,…a_0, a_1, a_2, \ldots задано формулою an=1FnFn+2для всіх n≥0.a_n = \frac{1}{F_n F_{n+2}} \quad \text{для всіх } n \ge 0. Доведіть, що для всіх m≥0m \ge 0 виконується: a0+a1+a2+⋯+am<1.a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_m < 1.
10–11 класиСуми послідовностей
Відбіркові тести на IMOTST-2019-042

Многочлен, суми цифр значень якого не є числами Фібоначчі

Нехай PP — многочлен з цілими коефіцієнтами, такий, що для кожного натурального числа nn сума десяткових цифр числа ∣P(n)∣|P(n)| не є числом Фібоначчі. Чи обов'язково PP сталий? (Число Фібоначчі — це елемент послідовності F0,F1,…F_0, F_1, \dots, заданої рекурсивно співвідношеннями F0=0F_0 = 0, F1=1F_1 = 1 та Fk+2=Fk+1+FkF_{k+2} = F_{k+1} + F_k для k≥0k \ge 0.)
10–11 класиРозклад по розрядах, десяткові др…

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.