Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

64 задачі
КомбінаторикаДерева
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-01-02-011

Різні підмножини після вилучення спільного елемента

Нехай n≥3n \ge 3 — натуральне число, A1,A2,…,AnA_1, A_2, \ldots, A_n — попарно різні (тобто неспівпадаючі) підмножини множини S={1;2;3;…;n}S = \{1; 2; 3; \ldots; n\}. Доведіть, що існує елемент x∈Sx \in S такий, що попарно різними є підмножини A1∖{x}A_1 \setminus \{x\}, A2∖{x}A_2 \setminus \{x\}, …\ldots, An∖{x}A_n \setminus \{x\}.
10–11 класиДерева
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2025-003

Найменший степінь многочлена для дерева і чисел

Зафіксуємо ціле число n⩾3n \geqslant 3. Знайдіть найменше додатне ціле число kk, яке задовольняє таку умову: для будь-якого дерева TT із вершинами v1,v2,…,vnv_1, v_2, \ldots, v_n і будь-яких попарно різних комплексних чисел a1,a2,…,ana_1, a_2, \ldots, a_n, існує многочлен P(X,Y)P(X, Y) з комплексними коефіцієнтами степеня, не більшими за kk, такий, що для всіх i≠ji \neq j, які задовольняють 1⩽i,j⩽n1 \leqslant i, j \leqslant n, виконується: P(zi,zj)=0P(z_i, z_j) = 0, тоді й тільки тоді, коли в TT є ребро, що з'єднує viv_i з vjv_j. Примітка. Наприклад, степінь многочлена 9X3Y4+XY5+X6−29X^3Y^4+XY^5+X^6-2 дорівнює 77, оскільки 7=3+47=3+4.
10–11 класиМногочлени багатьох змінних
Балтійський шляхBW-2024-006

Лабіринт з 2024 печер і ходи Еріка

Лабіринт — це система з 2024 печер та 2023 (двосторонніх) коридорів, що не перетинаються, де кожний коридор з'єднує рівно дві печери, а з кожної печери можна дістатися до будь-якої іншої через певну послідовність коридорів. Спочатку Ерік стоїть у коридорі, що з'єднує якісь дві печери. За один хід він може пройти через одну з печер в інший коридор, що з'єднує цю печеру з третьою печерою. Однак при цьому коридор, яким він щойно пройшов, магічним чином зникне і буде замінений новим коридором, який з'єднує кінець його нового коридору з початком його старого коридору (тобто, якщо Ерік був у коридорі, що з'єднував печери aa і bb, і пройшов через печеру bb у коридор, що з'єднує печери bb і cc, то коридор між печерами aa і bb зникне, а новий коридор з'явиться між печерами aa і cc). Оскільки Ерік любить придумувати лабіринти й має особливий задум для свого наступного лабіринту, він цікавиться, чи може він перетворити лабіринт у той, який він задумав, використовуючи ці ходи. Доведіть, що це дійсно можливо незалежно від початкового лабіринту і положення Еріка в ньому.
10–11 класиДерева
Європейський математичний кубокEMC-2024-005

Максимальна кількість двійкових пар серед n чисел

Ми називаємо пару різних чисел (a,b)(a, b) двійковою парою, якщо ab+1ab + 1 є степенем двійки. Яка максимальна можлива кількість двійкових пар у множині SS, що містить nn попарно різних натуральних чисел?
10–11 класиДерева
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-011

Зафарбовування дошки квадратами два на два

Нехай nn — натуральне число. Дано дошку n×nn \times n, клітинка у верхньому лівому куті спочатку зафарбована в чорний колір, а інші клітинки зафарбовані в білий. Потім до дошки застосовують серію операцій фарбування. У кожній операції вибирають квадрат 2×22 \times 2 з рівно однією чорною клітинкою і фарбують решту три клітинки цього квадрата 2×22 \times 2 в чорний колір. Визначте всі значення nn, для яких можна зафарбувати всю дошку в чорний колір.
10–11 класиДерева2 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2023-006

Кістякове дерево із заданою кількістю кольорових ребер

Нехай rr, gg, bb — це цілі невід’ємні числа. Нехай Γ\Gamma — це зв’язний граф на r+g+b+1r + g + b + 1 вершинах. Кожне ребро графа Γ\Gamma пофарбовано в червоний, зелений або синій колір. Виявилося, що граф Γ\Gamma містить: - кістякове дерево, у якому рівно rr з усіх ребер є червоними; - кістякове дерево, у якому рівно gg з усіх ребер є зеленими; - кістякове дерево, у якому рівно bb з усіх ребер є синіми. Доведіть, що граф Γ\Gamma містить кістякове дерево, у якому рівно rr червоних ребер, рівно gg зелених ребер і рівно bb синіх ребер. Примітка. Кістякове дерево графа Γ\Gamma — це граф, який має ті ж самі вершини, що й граф Γ\Gamma, ребра якого є також ребрами графа Γ\Gamma і для якого існує рівно один шлях між будь-якими двома його різними вершинами.
10–11 класиДерева
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2022-006

Мінімальна кількість зльотів у байрактарському квадраті

Дано натуральне число nn. Дошку розміром n×nn \times n, у клітинках якої записано по одному числу, назвемо байрактарським квадратом, якщо вона містить усі натуральні числа від 11 до n2n^2. Дві різні клітинки вважатимемо сусідніми, якщо у них є спільна сторона. Назвемо клітинку днищем, якщо число в кожній сусідній до неї клітинці більше за число в цій клітинці. Назвемо зльотом таку послідовність з однієї чи більшої кількості клітинок, у якій: а) перша клітинка послідовності є днищем; б) кожна наступна клітинка послідовності є сусідньою до попередньої; в) числа в клітинках послідовності йдуть у порядку зростання. Знайдіть як функцію від nn мінімальну можливу кількість зльотів у байрактарському квадраті.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Міжнародна Жаутиковська олімпіада (IZhO)IZHO-2022-002

Двокольорове десятиповерхове дерево та його перестановки

На площині нарисоване 10-поверхове 2-дерево: вершину A1A_1 сполучено з двома вершинами B1B_1 і B2B_2, кожну з яких сполучено з двома із чотирьох вершин C1,C2,C3,C4C_1, C_2, C_3, C_4. Кожну з вершин CiC_i сполучено рівно з однією з вершин BjB_j, і так далі, по степенях числа 2 (на дев’ятому рівні 512 точок, тобто 292^9) до 512 вершин J1,J2,J3,…,J512J_1, J_2, J_3, \ldots, J_{512}. Кожну з вершин J1,J2,J3,…,J512J_1, J_2, J_3, \ldots, J_{512} пофарбовано в один із двох кольорів — блакитний чи жовтий. Розглядаємо всі можливі перестановки ff множини вершин нарисованого дерева: - якщо вершини XX та YY були сполучені відрізком, то й вершини f(X)f(X) та f(Y)f(Y) також сполучені відрізком; - якщо вершину XX пофарбовано в один з кольорів, то й вершину f(X)f(X) також пофарбовано в той самий колір. Для якого максимального MM гарантовано знайдуться принаймні MM таких різних перестановок?
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2020-003

Непарний замкнений маршрут з рейсами різних авіакомпаній

У країні є n⩾3n \geqslant 3 аеропортів та nn авіакомпаній, що здійснюють двосторонні рейси на певних авіалініях. Для кожної авіакомпанії є непарне число m⩾3m \geqslant 3 та mm різних аеропортів c1,…,cmc_1, \ldots, c_m, для яких усі рейси цієї авіакомпанії — це рейси між такими парами міст: c1c_1 та c2c_2, c2c_2 та c3c_3, …\ldots, cm−1c_{m-1} та cmc_m, cmc_m та c1c_1. Доведіть, що існує замкнений маршрут, що складається з непарної кількості рейсів, у якому жодні два рейси не здійснюються однією авіакомпанією.
10–11 класиДвочасткові графи
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-003

Соціальна мережа з 2019 користувачів і зміни дружби

У соціальній мережі є 20192019 користувачів. Деякі користувачі товаришують з деякими іншими, при цьому якщо користувач AA є другом користувача BB, то BB також є другом AA. Зміни наступного типу здійснюються послідовно, по одній зміні за раз: обирають трьох користувачів AA, BB та CC таких, що AA є другом BB та CC, але BB і CC не є друзями; після цього BB та CC стають друзями, але AA перестає бути другом BB і CC. У всіх інших парах відношення не змінюються. Спочатку 10101010 користувачів мають по 10091009 друзів кожен, а 10091009 користувачів мають по 10101010 друзів кожен. Доведіть, що існує послідовність змін, після яких кожен користувач матиме не більш як одного друга.
10–11 класиЗв’язність
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-015

Турніри з малою кількістю вихідних доріг

Аліса має карту Дивокраю — країни, що складається з n⩾2n \geqslant 2 міст. Для кожної пари міст існує вузька дорога, що веде від одного міста до іншого. Одного дня всі дороги оголошено односторонніми. Аліса не має інформації про напрямки доріг, але Червовий Король запропонував їй допомогти. Їй дозволено ставити йому низку запитань. У кожному запитанні по черзі Аліса обирає пару міст, а Червовий Король повідомляє їй напрямок дороги, що з'єднує ці два міста. Аліса хоче дізнатися, чи існує хоча б одне місто в Дивокраї з не більш ніж однією вихідною дорогою. Доведіть, що вона завжди може це з'ясувати, поставивши не більше ніж 4n4 n запитань.
10–11 класиОрієнтовані графи
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2019-003

Два різних простих цикли однакової довжини в графі

Дано додатнє число ε\varepsilon. Доведіть, що для всіх натуральних чисел nn, окрім скінченної кількості, справджується твердження: у довільному графі на nn вершинах, у якому кількість ребер не менша від (1+ε)n(1+\varepsilon)n, існують два різних простих цикли однакової довжини. Примітка. Графом називають множину VV вершин і множину EE ребер, де кожне ребро з множини EE є парою різних вершин із множини VV. Простий цикл довжини k⩾3k \geqslant 3 — це kk-елементна підмножина CC ребер із множини EE, для якої існує послідовність попарно різних вершин V1,V2,…,VkV_1, V_2, \ldots, V_k така, що для кожного 1⩽i<k1 \leqslant i < k пара {Vi,Vi+1}\{V_i, V_{i+1}\} належить підмножині CC і пара {Vk,V1}\{V_k, V_1\} також належить підмножині CC.
10–11 класиДерева
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2016-006

Скінченність послідовності перетворень AB-дерев

У тривимірному евклідовому просторі є множина з nn точок така, що жодні 4 з них не лежать в одній площині. Цю множину розбили на дві підмножини AA та BB. ABAB-деревом називають таку конфігурацію з n−1n-1 відрізка, кожний з яких має кінці в різних підмножинах AA та BB так, що відрізки не формують жодної замкненої ламаної. ABAB-дерево перетворюють на інше ABAB-дерево таким чином: вибирають довільні три різні відрізки A1B1A_1B_1, B1A2B_1A_2 та A2B2A_2B_2, де A1∈AA_1 \in A та A1B1+A2B2>A1B2+A2B1A_1B_1 + A_2B_2 > A_1B_2 + A_2B_1 і міняють сегмент A1B1A_1B_1 на A1B2A_1B_2. Доведіть для довільного заданого ABAB-дерева, що будь-яка послідовність припустимих перетворень дійде кінця, тобто після скінченної кількості кроків неможливо буде зробити жодного припустимого перетворення.
10–11 класиНапівінваріанти
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2010-033

Найменша кількість чорних трикутників у тріангуляції

Нехай nn — ціле число, n≥3n \ge 3. Розглянемо всі розбиття опуклого nn-кутника на трикутники за допомогою n−3n-3 діагоналей, які не мають спільних точок усередині многокутника, та всі розфарбування трикутників у чорний і білий кольори так, щоб трикутники зі спільною стороною завжди були різного кольору. Знайдіть найменшу можливу кількість чорних трикутників.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…2 розв’язки
Відбіркові тести на IMOTST-2025-016

Період функції за значеннями

Нехай nn — додатне ціле число. Ана і Банана грають у гру. Банана загадує функцію f:Z→Zf: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} і просте число pp. Він повідомляє Ані, що ff є непостійною, p<100p < 100, і f(x+p)=f(x)f(x+p) = f(x) для всіх цілих чисел xx. Мета Ани — визначити значення pp. Вона записує nn цілих чисел x1,…,xnx_1, \dots, x_n. Побачивши цей список, Банана записує f(x1),…,f(xn)f(x_1), \dots, f(x_n) по порядку. Ана виграє, якщо вона може визначити значення pp з цієї інформації. Знайдіть найменше значення nn, для якого Ана має виграшну стратегію.
10–11 класиЗв’язність
Відбіркові тести на IMOTST-2024-014

Максимальна кількість мостів проти пожежі на дереві

Дано натуральне число nn. Є nn островів із n−1n-1 мостами між ними так, що з кожного острова можна потрапити на будь-який інший острів. Одного дня опівдні на одному з островів спалахує пожежа. Щоранку вогонь поширюється на всі сусідні острови (ті острови, що з'єднані мостом). Щоб стримати вогонь, щоночі підривають один міст, доки вогонь ще має куди поширюватися. Нехай XX — мінімальна кількість мостів, яку потрібно підірвати для даної групи островів і осередку пожежі. Знайдіть максимум XX за всіма можливими групами островів і осередками пожежі.
10–11 класиДерева
Італійська математична олімпіадаITAMO-2023-003

Максимальна лабіринтова підмножина в сітці

Дано таблицю 2n×2n2n \times 2n, підмножина SS її клітинок називається лабіринтовою, якщо вона має такі властивості: - з кожної клітинки SS можна перейти до будь-якої іншої клітинки SS, рухаючись лише з клітинок SS до суміжних клітинок SS (по горизонталі або вертикалі, тобто тих, що мають спільну сторону з вихідною клітинкою); - неможливо, починаючи з клітинки SS, повернутися до тієї ж клітинки, рухаючись лише до суміжних клітинок SS і ніколи не перетинаючи одну й ту саму сторону двічі. a. Доведіть, що якщо SS є лабіринтовою, то вона не може мати більше ніж 3n23n^{2} клітинок; b. Наведіть приклад лабіринтової множини з 12 клітинок для n=2n=2. c. Назвемо периметром множини SS кількість сторін, суміжних принаймні з однією клітинкою SS, але не з двома клітинками SS. Якщо SS є лабіринтовою і складається з kk клітинок, чому дорівнює її периметр? d. Доведіть, що не існує лабіринтової множини з 300 клітинок, якщо n=10n=10.
10–11 класиДерева
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-004

Квазірозфарбування графів з обмеженням на степені

Назвемо простий граф GG квазі-розфарбовуваним, якщо кожне його ребро можна пофарбувати в синій, червоний, зелений або білий колір так, щоб - для кожної вершини vv степеня 33 у GG три ребра, що містять vv як кінцеву вершину, були пофарбовані або в синій, червоний і зелений кольори, або всі три ребра були білими, - не всі ребра були білими. Зв'язний граф GG має aa вершин степеня 44, bb вершин степеня 33 і не має інших вершин, де aa і bb — натуральні числа. Знайдіть найменше дійсне число cc, для якого таке твердження є істинним: «Якщо a/b>ca / b > c, то GG є квазі-розфарбовуваним».
10–11 класиДерева2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-081

Множини, замкнені щодо подвоєння за модулем 16

Обчисліть кількість множин SS таких, що кожен елемент SS є невід'ємним цілим числом, меншим за 1616, і якщо x∈Sx \in S, то (2x mod 16)∈S(2x \bmod 16) \in S.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-022

Множина з різницями Фібоначчі

Для кожного цілого k⩾0k \geqslant 0 позначимо через FkF_{k} k-теk^{\text{-те}} число Фібоначчі, визначене рівностями F0=0F_{0}=0, F1=1F_{1}=1 і Fk=Fk−2+Fk−1F_{k}=F_{k-2}+F_{k-1} при k⩾2k \geqslant 2. Нехай n⩾2n \geqslant 2 — ціле число, і нехай SS — множина цілих чисел, яка має таку властивість: Для кожного цілого kk такого, що 2⩽k⩽n2 \leqslant k \leqslant n, множина SS містить два цілі числа xx і yy такі, що x−y=Fkx-y=F_{k}. Яка найменша можлива кількість елементів такої множини SS?
10–11 класиДерева
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2021-014

Чорні клітинки з мінімумом змішаних квадратів 2×2

Нехай nn — натуральне число. Знайдіть усі цілі числа 1≤k≤2n21 \le k \le 2n^2, що задовольняють таку умову: Є дошка 2n×2n2n \times 2n. Коли kk різних клітинок вибрано і пофарбовано в чорний колір, а решту клітинок пофарбовано в білий, найменша кількість квадратів 2×22 \times 2, які мають одночасно чорні та білі клітинки, дорівнює 2n−12n-1.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-006

Індуковані зв'язні підграфи з обмеженням на степінь

Нехай GG — скінченний неорієнтований граф, n∈N∗n \in \mathbb{N}^{*}, d∈N∗d \in \mathbb{N}^{*} такі, що степінь кожної вершини графа GG обмежений числом dd, xx — вершина графа GG. Позначимо через a(n,x)a(n, x) кількість зв'язних індукованих підграфів графа GG, які містять nn вершин, серед яких є вершина xx (індукований підграф UU — це граф, вершини якого є вершинами графа GG, і якщо xx і yy є вершинами графа UU, то xx з'єднана ребром з yy в UU тоді й лише тоді, коли xx з'єднана ребром з yy в GG). 1. Доведіть, що a(n,x)⩽2nda(n, x) \leqslant 2^{n d}. 2. Доведіть, що a(n,x)⩽((d+1)d+1dd)na(n, x) \leqslant\left(\frac{(d+1)^{d+1}}{d^{d}}\right)^{n}
10–11 класиСтепені вершин
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-007

Вершина, що належить щонайбільше одному циклу кактуса

Кактус — це скінченний простий зв’язний граф, у якому жодні два цикли не мають спільного ребра. Доведіть, що в непорожньому кактусі обов’язково існує вершина, яка належить щонайбільше одному циклу.
10–11 класиДерева
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-098

Кількість стратегій відгадування числа за п'ять спроб

Девід і Еван грають у гру. Еван загадує натуральне число NN від 1 до 59 включно, а Девід намагається його відгадати. Щоразу, коли Девід називає число, Еван повідомляє йому, чи це число більше, дорівнює чи менше за NN. Девід хоче розробити стратегію, яка гарантуватиме, що він знатиме NN за п'ять спроб. У стратегії Девіда кожна спроба визначатиметься лише відповідями Евана на всі попередні спроби (перша спроба завжди однакова), і Девід називатиме лише число, яке узгоджується з кожною з відповідей Евана. Скільки існує таких стратегій? Зауваження: Девід не зобов'язаний назвати NN протягом своїх п'яти спроб; йому достатньо знати, чому дорівнює NN, після п'яти спроб.
10–11 класиДерева
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-028

Обміни, що породжують циклічну перестановку

У Яна є послідовність цілих чисел 1,2,…,20171,2, \ldots, 2017. Він послідовно виконує 2016 обмінів, де обмін змінює місцями два числа в послідовності. Його мета — отримати наприкінці 2,3,…,2017,12,3, \ldots, 2017,1. Скільки різних послідовностей обмінів може виконати Ян, щоб досягти своєї мети?
10–11 класиДерева

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.