Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

230 задач
КомбінаторикаІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-08-09-089

Поділ поля n × n відрізками на дві частини

Задане гральне поле n×nn \times n, у якому проведена лише зовнішня межа, а усі внутрішні лінії між квадратами 1×11 \times 1 витерті. Варя і Таня по черзі проводять межі у клітинок. За один хід дозволяється провести рівно один відрізок довжини 11, що розділяє дві клітини всередині квадрату, якщо цей відрізок ще не був проведений. Гра закінчується, якщо після чергового ходу усі клітини квадрату розбиваються на дві відокремлені частини, тобто з довільної клітини однієї частини дошки ходами шахової тури не можна потрапити в клітини, що належать іншій частині, не перетнувши при цьому проведені відрізки. Гравець, після ходу якого це трапилось, вважається таким, що програв. Хто з гравців може забезпечити собі виграш, якщо першою робить свій хід Варя?
10 класДерева
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-07-08-039

Таблиця непарних чисел і добутки сум рядків і стовпців

У нас є таблиця 2007×20072007 \times 2007. Непарні цілі числа записуються у кожну комірку цієї таблиці. Позначимо через ZiZ_i суму чисел в ii-му рядку, SjS_j – сума чисел в jj-й колонці, i,j=1,2007‾i, j = \overline{1, 2007}. Позначимо A=Z1Z2...Z2007A = Z_1 Z_2 ... Z_{2007}, B=S1S2...S2007B = S_1 S_2 ... S_{2007}. Довести, що A+B≠0A + B \ne 0.
10 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-07-08-034

Перетворення трійки чисел і можливість одержати інші трійки

За один крок дозволяється замінити трійку чисел (a,b,c)(a,b,c) (порядок яких не суттєвий) на трійку (a1,b1,c1)(a_1,b_1,c_1) за таким правилом: a1=2b2+2c2−a2, b1=2c2+2a2−b2, c1=2b2+2a2−c2.a_1 = \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2},\ b_1 = \sqrt{2c^2 + 2a^2 - b^2},\ c_1 = \sqrt{2b^2 + 2a^2 - c^2}. Чи можливо за скінченну кількість кроків з трійки {3,19,22}\{3, \sqrt{19}, \sqrt{22}\} одержати: а) трійку (32007⋅2, 32007⋅4, 32007⋅6)\left(\sqrt{3^{2007} \cdot 2},\ \sqrt{3^{2007} \cdot 4},\ \sqrt{3^{2007} \cdot 6}\right); б) трійку (32008⋅4, 32008⋅13, 32008⋅33)\left(\sqrt{3^{2008} \cdot 4},\ \sqrt{3^{2008} \cdot 13},\ \sqrt{3^{2008} \cdot 33}\right)?
9 класІнші інваріанти
Київська районна математична олімпіадаKDMO-06-07-022

Коні різних кольорів у кутах дошки 3×3

В кутах шахової дошки 3×33 \times 3 стоять 4 коня: 2 білі (у сусідніх кутах) та 2 чорні. Чи можна за кілька ходів (за шаховими правилами) поставити коней так, щоб в усіх сусідніх кутах стояли коні різних кольорів?
7 класІнші інваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-06-07-051

Точки на колі та отримання двох синіх точок

На колі є червоні та сині точки. Дозволено додавати червону точку та змінювати колір її сусідів або забирати червону точку й змінювати колір минулих сусідів. Нехай спочатку було дві червоні точки (менше двох точок залишати не дозволено). Чи можна отримати дозволеними операціями дві сині точки?
10 класІнші інваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-06-07-067

Дві червоні точки на колі і дві сині точки

На колі є червоні та сині точки. Дозволено додавати червону точку та змінювати колір її сусідів або забирати червону точку й змінювати колір минулих сусідів. Нехай спочатку було дві червоні точки (менше двох точок залишати не дозволено). Чи можна отримати дозволеними операціями дві сині точки?
11 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-06-07-014

Операції a ± 2/b з парами та нульова компонента

Упорядковану пару чисел (a,b)(a,b) дозволяється замінити на одну з таких чотирьох пар: (a±2b,b)\left(a\pm\frac{2}{b},b\right) при b≠0b\ne0, (a,b±2a)\left(a,b\pm\frac{2}{a}\right) при a≠0a\ne0. а) Отримайте за допомогою цих операцій з пари (2007,2)(2007,2) пару (2,−2007)(2,-2007). б) Доведіть, що при будь-якому способі отримання з пари (2007,2)(2007,2) пари (2,−2007)(2,-2007) в деякий момент було отримано пару з однією нульовою компонентою.
9 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-06-07-007

Операції a ± 2/b з парою і нульова компонента

Упорядковану пару чисел (a,b)(a,b) дозволяється замінити на одну з таких чотирьох пар: (a±2b,b)\left(a\pm\frac{2}{b},b\right) при b≠0b\ne0, (a,b±2a)\left(a,b\pm\frac{2}{a}\right) при a≠0a\ne0. а) Отримайте за допомогою цих операцій з пари (2007,2)(2007,2) пару (2,−2007)(2,-2007). б) Доведіть, що при будь-якому способі отримання з пари (2007,2)(2007,2) пари (2,−2007)(2,-2007) в деякий момент було отримано пару з однією нульовою компонентою.
8 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-05-06-046

Сума модулів різниць розбиття чисел від 1 до 20

Натуральні числа від 11 до 2020 розбивають на дві групи по 1010 чисел у кожній. Нехай a1<a2<…<a10a_1 < a_2 < \ldots < a_{10} — числа першої групи в порядку зростання, а b1>b2>…>b10b_1 > b_2 > \ldots > b_{10} — числа другої групи в порядку спадання. Для кожного такого розбиття знайдіть значення виразу ∣a1−b1∣+∣a2−b2∣+…+∣a10−b10∣\left|a_1 - b_1\right| + \left|a_2 - b_2\right| + \ldots + \left|a_{10} - b_{10}\right|.
9 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-04-05-044

Кінь, що розганяється, і всі цілі точки площини

На координатній площині xOyxOy у точці (0;0)(0;0) стоїть фігура «Кінь, що розганяється». На nn-му ході вона переходить з деякої точки (a;b)(a;b) до однієї з точок (a±1;b±2n)\left(a\pm1; b\pm2^n\right), (a±2n;b±1)\left(a\pm2^n; b\pm1\right) (зокрема, перший хід — це хід звичайного шахового коня). Чи може ця фігура обійти на площині всі точки з цілими координатами? Точки дозволяється відвідувати більше від одного разу. (Тобто чи існує маршрут, який до будь-якої такої точки приводить за скінченну кількість кроків?)
9 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-03-04-022

Числа -11…14 на кубі з умовою сум

Чи можна розташувати числа −11-11, −10-10, −9-9, …, 1313, 1414 у вершинах, на ребрах і на гранях куба так, щоб число на будь-якому ребрі дорівнювало сумі чисел на його кінцях, а число на будь-якій грані цього куба дорівнювало сумі чотирьох чисел, які стоять на його ребрах?
10 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-02-03-036

Двадцять джентльменів і передача капелюхів між ними

У клубі зустрілися двадцять джентльменів. Деякі з них були в капелюхах, а деякі — ні. Час від часу один із джентльменів знімав свого капелюха і надівав його на одного з тих, у кого в цей момент капелюха не було. Наприкінці десять джентльменів підрахували, що кожен з них віддавав капелюха більше разів, аніж одержував. Скільки джентльменів прийшло в капелюхах?
8 класІнші інваріанти
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-01-02-010

Конструкція з чотирьох однакових гральних кубиків

Незнайка купив у магазині чотири однакові гральні кубики. Граючись, він став прикладати їх один до одного гранями з однаковою кількістю очок. У результаті з'явилась конструкція, зображена Незнайком на рисунку. Знайка, подивившись на рисунок, заявив, що Незнайка помилився. Чи правий Знайка?
7 класГеометричні приклади і контрприкл…
Всеукраїнська учнівська олімпіада з математикиVUOM-00-01-039

Поділ купи з 2001 сірника і подільність суми добутків

Дано одну купу з 20012001-го сірника. Двоє грають в наступну гру. Вони по черзі роблять такі ходи: вибирається довільна купа, що містить більше від одного сірника і ділиться на дві менші. Гра продовжується до тих пір, поки кожна купа не буде складатися з одного сірника. Після кожного поділу купи на дві записується добуток кількостей сірників в отриманих двох нових купах. Мета гравця, що ходить першим, зіграти так, щоб сума всіх записаних чисел ділилася без остачі на 10001000. Чи може другий гравець йому завадити?
8 класІнші інваріанти
Київські відбори до Всеукраїнської олімпіадиKSEL-06-07-017

Обміни сусідніх чисел на колі та сума 2007

По колу розставили у довільному порядку числа 1, 2, 3, …\ldots, 2006. Дозволяється міняти сусідні числа місцями. Через деякий час усі номери опинились на позиціях діаметрально протилежних початковим. Довести, що хоча б один раз мінялися числа, сума яких дорівнює 2007.
9 класІнші інваріантибез розв’язку
Київський турнір математичних боївKMB-24-25-117

Друзі за круглим столом і кількість відповідей так

За круглим столом сидять 30 людей, деякі з них є лицарями, які завжди кажуть правду, та інші є брехунами, які завжди брешуть. Відомо, що в кожного з них є рівно один друг, при цьому в брехуна другом є лицар, а в лицаря — брехун. На запитання «Чи сидить твій друг поруч із тобою?» усі, хто сидить через одного, дали відповідь «Так». Скільки всього могло бути відповідей «так» від усіх 30 людей?
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Командний чемпіонат Києва з математикиKTC-24-25-129

Перегортання рядка і стовпця монет у квадраті n×n

Для натурального nn у кожну комірку 1×11\times1 квадрата n×nn\times n поклали монету аверсом чи реверсом догори. За один крок можна вибрати довільну монету та перегорнути на протилежний бік усі 2n−12n-1 монет, що лежать в одному рядку та одному стовпчику з обраною монетою. Для яких nn, незалежно від початкового розташування монет, завжди можна за скінченну кількість кроків отримати всі монети догори аверсом?
10 класПарність і непарність
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-008

Три послідовні числа і два нулі на дошці

На дошці записано три послідовні натуральні числа n−1n-1, nn та n+1n+1. За один хід можна вибрати два довільно записані числа aa та bb і записати замість них числа 2a−b2a-b та 2b−a2b-a. Для яких значень nn після деякої послідовності таких ходів можна отримати на дошці записаними два нулі?
7–8 класиІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-026

Футбольний турнір і найнижче місце Ла-Ла-Ла

У футбольному турнірі в одне коло брали участь 10 команд. Петрик побачив частину підсумкової таблиці, у якій були зображені забиті та пропущені м'ячі кожною командою за весь турнір, при цьому кожна команда забила та пропустила принаймні 1 гол. Найбільше голів забила команда «Ла-Ла-Ла», яка мала 15 забитих та 15 пропущених голів. Петрик зміг відновити результат кожної зустрічі. Яке найнижче місце могла посісти команда «Ла-Ла-Ла», якщо у футболі за перемогу нараховується 3 очки, за нічию — 1, за поразку очок не нараховується? У випадку рівності очок команди посідають однакове місце, наприклад, якщо команди з 3 до 6 місця мають однакову кількість очок, то вони вважаються такими, що вибороли 3 місце.
7–8 класиІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-091

Футбольний турнір і найнижче місце команди Ла-Ла-Ла

У футбольному турнірі в одне коло брали участь 10 команд. Петрик побачив частину підсумкової таблиці, у якій були зображені забиті та пропущені м'ячі кожною командою за весь турнір, при цьому кожна команда забила та пропустила принаймні 1 гол. Найбільше голів забила команда «Ла-Ла-Ла», яка мала 12 забитих та 12 пропущених голів. Петрик зміг відновити результат кожної зустрічі. Яке найнижче місце могла посісти команда «Ла-Ла-Ла», якщо у футболі за перемогу нараховується 3 очки, за нічию — 1, за поразку очок не нараховується? У випадку рівності очок команди посідають однакове місце, наприклад, якщо команди з 3 до 6 місця мають однакову кількість очок, то вони вважаються такими, що вибороли 3 місце.
9 класІнші інваріанти
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-24-25-116

Рівняння x² + px + q і цілі корені

На уроках математики вчитель пропонує учням розв'язати квадратні рівняння виду x2+px+q=0x^2 + px + q = 0, де pp і qq — деякі цілі числа. Кожне нове рівняння вчитель отримує, збільшуючи або зменшуючи на 11 значення pp або qq у щойно розв'язаному рівнянні. У початковому рівнянні p=2020p = 2020 і q=2010q = 2010, тоді як в останньому рівнянні p=2010p = 2010 і q=2020q = 2020. Чи обов'язково правильним є твердження, що обидва корені хоча б одного рівняння, розв'язаного за цей час, є цілими числами?
9 класІнші інваріанти
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-23-24-001

Кількість машинок за цукерками і мандаринками

Протягом року в деякі дні Петрик ходив у крамницю зі своїми старшими родичами. Коли він ішов з дідусем, то щоразу отримував у дарунок дві цукерки та машинку. Коли йшов з бабцею Марусею, то отримував машинку та дві мандаринки. Якщо допомагав тітці Галині, то отримував машинку, цукерку та мандаринку. Скільки всього він назбирав машинок, якщо за цей рік з’їв 200200 цукерок та 100100 мандаринок?
4 класІнші інваріанти
Київські олімпіади для молодших школярівKJMO-23-24-029

Десять стрільців з результатами як середнє попередніх

У змаганні зі стрільби брали участь 1010 спортсменів. Перший вибив 6464 очки, другий — 3232 очки, кожний наступний вибивав кількість очок, що дорівнює середньому арифметичному результатів усіх попередніх спортсменів. Який результат показав 1010-й стрілець?
5 класІнші інваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-23-24-007

Три різні натуральні числа та десять замін напівсумами

На дошці написали три попарно різних натуральних числа aa, bb, cc. Після того застосовували процедуру заміни цих чисел на такі: a+b2\dfrac{a+b}{2}, b+c2\dfrac{b+c}{2}, c+a2\dfrac{c+a}{2}. Після застосування цієї процедури 1010 разів, усі три числа, записані на дошці, є натуральними. Якого найменшого значення може набувати сума a+b+ca+b+c?
8 класІнші інваріанти
Київський турнір математичних боївKMB-23-24-060

Тринадцять піратів і поділ піску порівну

У кожного з 1313 піратів є деяка кількість золотого піску. Вони можуть зустрічатися компаніями будь-якої кількості, але не всі разом, та ділити пісок порівну. Чи можуть пірати гарантовано досягти того, щоб після декількох таких зустрічей у всіх 1313 піратів піску стало порівну?
6–7 класиІнші інваріанти

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.