Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

74 задачі
ГеометріяКомбінації кіл (точка Мікеля, лема Архімеда тощо)
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-11-12-251

Проекції основи висоти і точка на BH1

У гострокутному трикутнику ABCABC точка MM — середина сторони ACAC, HH — ортоцентр, C1C_1 — основа висоти, опущеної з вершини CC на сторону ABAB, H1H_1 — точка, симетрична точці HH відносно прямої ABAB. Нехай PP, QQ та RR — проекції точки C1C_1 на прямі AH1AH_1, ACAC та BCBC відповідно. Точку M1M_1 вибрано так, що центр описаного кола трикутника PQRPQR є серединою відрізка MM1MM_1. Доведіть, що точка M1M_1 лежить на відрізку BH1BH_1.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-09-10-178

Геометричне місце перетину кіл з діаметром на прямій

На площині дано коло Γ\Gamma і пряма ll, що не перетинаються. Знайдіть геометричне місце точок перетину всіх можливих кіл з діаметром ABAB, де {A, B}\{A,\, B\} — така довільна пара точок на прямій ll, для якої існують точки P, Q, R, SP,\, Q,\, R,\, S на колі Γ\Gamma, такі, що PQ∩RS=APQ \cap RS = A і PS∩QR=BPS \cap QR = B.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-136

Відношення відрізків KL і MN у гострому куті

Дано гострий кут з вершиною OO. На одній стороні обрано довільні точки A,DA, D, на іншій – B,CB, C. Нехай M,NM, N – середини відрізків ABAB і CDCD відповідно. KK – точка перетину дотичних до описаного кола трикутника OABOAB в точках AA і BB; LL – точка перетину дотичних до описаного кола трикутника OCDOCD в точках CC і DD. Довести, що відношення KLMN\frac{KL}{MN} не залежить від вибору точок A,B,C,DA, B, C, D.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-08-09-101

Медіана, висоти і колінеарність перетинів дотичних кіл

У трикутнику ABCABC AMAM – медіана, BB1BB_1, CC1CC_1 – висоти. Через точку AA провели пряму, перпендикулярну AMAM, яка перетинає BB1BB_1, CC1CC_1 в точках E,FE, F відповідно. Нехай kk – коло, описане навколо трикутника EFMEFM, а k1k_1 і k2k_2 – кола, що дотикаються до прямої EFEF і дотикаються (внутрішнім чином) дуги EFEF кола kk, що не містить точку MM. Точки перетину k1k_1 і k2k_2 позначимо PP і QQ. Доведіть, що точки P,Q,MP, Q, M лежать на одній прямій.
8–9 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Київський турнір математичних боївKMB-07-08-009

Точки P, Q, M, R трикутника ABC

Задано ΔABC\Delta ABC, у якого AB>BCAB > BC. На стороні ABAB вибрана точка PP така, що 2AP=AB+BC2AP = AB + BC, а на дузі ∪AB\cup AB його описаного кола, що не містить CC, вибрано точку QQ таку, що PQ⊥ABPQ \perp AB. Нехай точка MM – середина ACAC, точка R=MP∩BCR = MP \cap BC. Довести, що точки M,Q,R,CM, Q, R, C лежать на одному колі.
8–9 класиТеорема про тризуб
Всеукраїнський турнір математичних боїв імені академіка І. І. ЛяшкаLMB-07-08-113

Кут 60° в трикутнику і паралельність QE та BC

Дано трикутник ABCABC з кутом ∠ACB=60∘\angle ACB = 60^\circ. Нехай точку EE обрано на стороні ACAC таким чином, що CE<BCCE < BC. Точка DD належить відрізку BCBC таким чином, що AEBD=BCCE−1\dfrac{AE}{BD} = \dfrac{BC}{CE} - 1. Позначимо через PP точку перетину прямих ADAD і BEBE. Нехай кола, що описані навколо трикутників AEPAEP і BDPBDP перетинаються в точках PP і QQ. Довести, що прямі QEQE і BCBC паралельні.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-001

Кола трикутників AKH і CLH та бісектриса кута B

Нехай BHBH — висота різностороннього гострокутного трикутника ABCABC. На сторонах ABAB і BCBC вибрано точки KK і LL відповідно так, що BK=BH=BLBK = BH = BL. Описані кола трикутників AKHAKH і CLHCLH удруге перетинаються в точці PP і вдруге перетинають промінь BHBH у точках QQ і RR відповідно. Доведіть, що центр описаного кола трикутника PQRPQR лежить на бісектрисі кута ABCABC.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-20-21-011

Дотик описаних кіл трикутників AID і IAEF

Дано трикутник ABCABC, у якому AB<ACAB < AC. Нехай точка II — це інцентр, а точка IAI_A — це центр зовнівписаного кола, що дотикається до сторони BCBC. Нехай вписане коло трикутника ABCABC дотикається до сторони BCBC у точці DD. Пряма ADAD перетинає прямі BIABI_A і CIACI_A в точках EE та FF відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників AIDAID та IAEFI_AEF дотикаються одне до одного.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-14-15-004

Друга точка перетину кіл трикутників AMP і BMC

Дано коло ω\omega і точки AA, BB, CC на ньому. Зафіксуємо дійсне число λ∈(0,1)\lambda \in (0, 1). Для довільної точки P∉{A,B,C}P \notin \{A, B, C\}, що лежить на колі ω\omega, позначимо на відрізку CPCP таку точку MM, що CM=λ⋅CPCM = \lambda \cdot CP. Нехай QQ — друга точка перетину описаних кіл трикутників AMPAMP і BMCBMC. Доведіть, що всі можливі розташування точки QQ знаходяться на фіксованому колі незалежно від вибору точки PP.
10–11 класиРадикальна вісь
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-11-12-002

Вписаний чотирикутник, середини сторін і спільна точка кіл

Нехай EE — точка перетину діагоналей вписаного чотирикутника ABCDABCD, FF — точка перетину прямих ABAB і CDCD, MM — середина сторони ABAB, NN — середина сторони CDCD. Кола, описані навколо трикутників ABEABE та ACNACN, удруге перетинаються в точці KK. Доведіть, що точки FF, KK, MM і NN лежать на одному колі.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-05-06-007

Прямокутний трикутник, бісектриса і перпендикуляр до прямої

Нехай ABCABC — прямокутний трикутник, у якому ∠C=90∘\angle C = 90^\circ. На сторонах ABAB і BCBC відмічено точки MM і NN відповідно так, що CN:NB=AC:BC=2CN : NB = AC : BC = 2 і MN∥ACMN \parallel AC. Нехай OO — точка перетину відрізків CMCM і ANAN. Точку KK відмічено на відрізку ONON так, що MO+OK=KNMO + OK = KN. Нехай TT — точка перетину бісектриси кута BB трикутника ABCABC і перпендикуляра до прямої ANAN, проведеного через точку KK. Доведіть, що ∠MTB=90∘\angle MTB = 90^\circ.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Шорт-лист IMOIMOSL-2024-003

Серединні перпендикуляри у вписаному чотирикутнику

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник такий, що AC<BD<ADAC < BD < AD і ∠DBA<90∘\angle DBA < 90^{\circ}. Точка EE лежить на прямій через DD, паралельній ABAB, причому EE і CC лежать по різні боки від прямої ADAD, і AC=DEAC = DE. Точка FF лежить на прямій через AA, паралельній CDCD, причому FF і CC лежать по різні боки від прямої ADAD, і BD=AFBD = AF. Доведіть, що серединні перпендикуляри до відрізків BCBC і EFEF перетинаються на описаному колі чотирикутника ABCDABCD.
10–11 класиПоворотна гомотетія3 розв’язки
Балканська юніорська математична олімпіада (JBMO)JBMO-2024-002

Зовнівписане коло трикутника і колінеарні точки P, Q, R

Дано трикутник ABCABC, у якому AB<ACAB < AC. Зовнівписане коло навпроти вершини AA дотикається до прямих ABAB, BCBC, CACA в точках DD, EE, FF відповідно. Центр цього кола позначено літерою JJ. Нехай PP — довільна точка на стороні BCBC. Описані кола трикутників BDPBDP, CEPCEP удруге перетинаються в точці QQ. Нехай точка RR — основа перпендикуляра, який проведено з точки AA до прямої FJFJ. Доведіть, що точки PP, QQ, RR лежать на одній прямій.
7–9 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист IMOIMOSL-2022-004

Дотична з точки на стороні трикутника

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з AC>ABAC > AB, OO — центр його описаного кола, а DD — точка на відрізку BCBC. Пряма через DD, перпендикулярна до BCBC, перетинає прямі AOAO, ACAC і ABAB у точках WW, XX і YY відповідно. Описані кола трикутників AXYAXY і ABCABC перетинаються вдруге в точці Z≠AZ \neq A. Доведіть, що якщо OW=ODOW = OD, то пряма DZDZ дотикається до кола AXYAXY.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2021-028

Точки на одному колі з локальною умовою

На площині є 20212021 точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Для будь-яких 55 точок знайдуться принаймні 44 серед них, які лежать на одному колі. Чи обов’язково принаймні 20202020 із цих точок лежать на одному колі?
10–11 класиГеометричні конфігурації точок
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2019-002

Точки на чевіанах трикутника на одному колі

У трикутнику ABCABC точка A1A_1 лежить на відрізку BCBC, а точка B1B_1 — на відрізку ACAC. Нехай точки PP і QQ вибрано на відрізках AA1AA_1 та BB1BB_1 відповідно так, що пряма PQ∥ABPQ \parallel AB. Точку P1P_1 вибрано на прямій PB1PB_1 так, що точка B1B_1 розміщується строго між точками PP і P1P_1, при цьому ∠PP1C=∠BAC\angle PP_1C = \angle BAC. Аналогічно точку Q1Q_1 вибрано на прямій QA1QA_1 так, що точка A1A_1 розміщується строго між точками QQ і Q1Q_1, при цьому ∠QQ1C=∠CBA\angle QQ_1C = \angle CBA. Доведіть, що точки PP, QQ, P1P_1 і Q1Q_1 належать одному колу.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2018-020

Спільна точка кіл у конфігурації трапеції

Нехай ABCDABCD — трапеція з AD∥BCAD \parallel BC та ∠ADC=∠BAD\angle ADC = \angle BAD, а ℓ\ell — пряма, що не перетинає відрізки ACAC чи BDBD. Припустимо, що ℓ\ell перетинає прямі AC,AD,BC,BDAC, AD, BC, BD та CDCD в точках P,Q,R,SP, Q, R, S та TT відповідно. Доведіть, що три кола ⊙(DQT),⊙(BRQ)\odot(DQT), \odot(BRQ) і ⊙(BPS)\odot(BPS) перетинаються в спільній точці, де ⊙(XYZ)\odot(XYZ) позначає описане коло трикутника XYZXYZ.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Шорт-лист IMOIMOSL-2012-005

Рівність відстаней до центра описаного кола

Нехай ABCABC — трикутник з центром описаного кола OO та інцентром II. Точки DD, EE і FF на сторонах BCBC, CACA і ABAB відповідно такі, що BD+BF=CABD + BF = CA і CD+CE=ABCD + CE = AB. Описані кола трикутників BFDBFD і CDECDE перетинаються в точці P≠DP \neq D. Доведіть, що OP=OIOP = OI.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Шорт-лист IMOIMOSL-2008-007

Точка з рівними сумами кутів у чотирикутнику

Дано опуклий чотирикутник ABCDA B C D. Доведіть, що існує точка PP всередині чотирикутника така, що \angle P A B+\angle P D C=\angle P B C+\angle P A D=\angle P C D+\angle P B A=\angle P D A+\angle P C B=90^{\circ} \tag{1} тоді і тільки тоді, коли діагоналі ACA C і BDB D перпендикулярні.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2007-002

Паралелограм, вписаний чотирикутник і бісектриса кута

Розглянемо такі 5 точок A,B,C,D,EA, B, C, D, E, що ABCDABCD – паралелограм, а BCDEBCDE – вписаний чотирикутник. Нехай пряма ll, яка проходить через точку AA, перетинає відрізок DCDC в точці FF, яка не є його кінцем, а також перетинає пряму BCBC в точці GG. Довести, що якщо EF=EG=ECEF = EG = EC, то ll є бісектрисою кута ∠DAB\angle DAB.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1987-002

Кола рівного радіуса в паралелограмі

Нехай ABCDABCD — паралелограм на площині. Проведемо два кола радіуса RR, одне через точки AA і BB, а друге через BB і CC. Нехай EE — друга точка перетину цих кіл. Припустимо, що EE не є вершиною паралелограма. Доведіть, що коло, яке проходить через AA, DD і EE, також має радіус RR.
10–11 класиПаралельний перенос
Відбірковий тест на BxMO та EGMOBXTST-2025-002

Перетин прямих у трикутнику із серединою дуги

Дано △ABC\triangle ABC з описаним колом Γ\Gamma. Нехай MM — середина дуги BCBC кола Γ\Gamma, що не містить AA. Точка NN на колі Γ\Gamma — діаметрально протилежна до AA. Пряма через BB, перпендикулярна до прямої AMAM, перетинає AMAM у точці DD та перетинає Γ\Gamma вдруге у точці P≠BP \neq B. Пряма через DD, перпендикулярна до прямої ACAC, перетинає ACAC у точці EE та перетинає BCBC у точці FF. Доведіть, що прямі NDND, MFMF і PEPE перетинаються в одній точці.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2025-004

Конкурентність у геометрії кола

Дано △ABC\triangle ABC з описаним колом Γ\Gamma. Нехай MM — середина дуги BCBC кола Γ\Gamma, на якій не лежить AA. Точка NN на колі Γ\Gamma діаметрально протилежна точці AA. Пряма, що проходить через BB перпендикулярно до прямої AMAM, перетинає AMAM у точці DD і перетинає Γ\Gamma вдруге в точці P≠BP \neq B. Пряма, що проходить через DD перпендикулярно до прямої ACAC, перетинає ACAC у точці EE і перетинає BCBC у точці FF. Доведіть, що прямі NDND, MFMF і PEPE перетинаються в одній точці.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-082

Точка в шестикутнику з прямими кутами

Нехай ABCDEFABCDEF — правильний шестикутник з центром OO і стороною довжини 11. Точка XX розміщена всередині шестикутника так, що ∠BXC=∠AXE=90∘\angle BXC = \angle AXE = 90^\circ. Обчисліть усі можливі значення довжини відрізка OXOX.
10–11 класиКомбінації кіл (точка Мікеля, лем…2 розв’язки
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2023-002

Паралельні прямі в трикутнику з вписаним колом

Нехай ABCABC — нерівнобедрений трикутник, а II — центр його вписаного кола. Нехай DD — точка на відрізку [BC][BC] (відмінна від BB і CC). Описане коло трикутника DIBDIB перетинає пряму (AB)(AB) вдруге в точці E≠BE \neq B, а описане коло трикутника DICDIC перетинає пряму (AC)(AC) вдруге в точці F≠CF \neq C. Описане коло трикутника DEFDEF перетинає прямі (AB)(AB) і (AC)(AC) вдруге в точках MM і NN відповідно. Прямі (IB)(IB) і (DE)(DE) перетинаються в точці PP, а прямі (IC)(IC) і (DF)(DF) перетинаються в точці QQ. Доведіть, що прямі (EN)(EN), (FM)(FM) і (PQ)(PQ) паралельні.
8–10 класиТеорема про тризуб

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.