Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

99 задач
ГеометріяКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-030

Рівняння x⁴+3x³+3x²+3x+1=0 і сума модулів коренів

Нехай z1,z2,z3,z4z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} — розв'язки рівняння x4+3x3+3x2+3x+1=0x^{4}+3 x^{3}+3 x^{2}+3 x+1=0. Тоді ∣z1∣+∣z2∣+∣z3∣+∣z4∣|z_{1}|+|z_{2}|+|z_{3}|+|z_{4}| можна записати як a+bcd\frac{a+b \sqrt{c}}{d}, де cc — додатне ціле число, вільне від квадратів, а a,b,da, b, d — натуральні числа, для яких НСД(a,b,d)=1\text{НСД}(a, b, d)=1. Обчисліть 1000a+100b+10c+d1000 a+100 b+10 c+d.
10–11 класиЗаміни, породжені симетрією
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-060

Мінімальний тангенс для комплексної нерівності

Розглянемо множину SS усіх комплексних чисел zz з невід'ємними дійсною та уявною частинами, таких, що ∣z2+2∣≤∣z∣|z^{2}+2| \leq |z| Серед усіх z∈Sz \in S обчисліть найменше можливе значення tg⁡θ\operatorname{tg} \theta, де θ\theta — кут, утворений між zz і дійсною віссю.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-065

Площа області збіжності квадратичного відображення

Для точки P=(x,y)P=(x, y) на декартовій площині нехай f(P)=(x2−y2,2xy−y2)f(P)=\left(x^{2}-y^{2}, 2 x y-y^{2}\right). Якщо SS — множина всіх PP таких, що послідовність P,f(P),f(f(P)),f(f(f(P))),…P, f(P), f(f(P)), f(f(f(P))), \ldots прямує до (0,0)(0,0), то площа множини SS може бути записана у вигляді πr\pi \sqrt{r} для деякого додатного дійсного числа rr. Обчисліть ⌊100r⌋\lfloor 100 r\rfloor.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-114

Комплексні числа з рівними модулями

Нехай xx, yy і zz — комплексні числа з рівними модулями, які задовольняють x+y+z=−32−i5x + y + z = -\frac{\sqrt{3}}{2} - i \sqrt{5} і xyz=3+i5.xyz = \sqrt{3} + i \sqrt{5}. Якщо x=x1+ix2x = x_1 + i x_2, y=y1+iy2y = y_1 + i y_2 і z=z1+iz2z = z_1 + i z_2 для дійсних x1x_1, x2x_2, y1y_1, y2y_2, z1z_1 і z2z_2, то (x1x2+y1y2+z1z2)2\left(x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2\right)^2 можна записати у вигляді ab\frac{a}{b} для взаємно простих натуральних чисел aa і bb. Обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-093

Ланцюжок рівнобедрених трикутників і відновлення точки

Алан малює опуклий 2020-кутник A=A1A2⋯A2020\mathcal{A}=A_{1} A_{2} \cdots A_{2020} з вершинами в порядку обходу за годинниковою стрілкою і вибирає 2020 кутів θ1,θ2,…,θ2020∈(0,π)\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{2020} \in (0, \pi) у радіанах із сумою 1010π1010 \pi. Далі він будує зовні многокутника A\mathcal{A} рівнобедрені трикутники △AiBiAi+1\triangle A_{i} B_{i} A_{i+1} з BiAi=BiAi+1B_{i} A_{i}=B_{i} A_{i+1} і ∠AiBiAi+1=θi\angle A_{i} B_{i} A_{i+1}=\theta_{i}. (Тут A2021=A1A_{2021}=A_{1}.) Зрештою він стирає A\mathcal{A} і точку B1B_{1}. Потім він повідомляє Джейсону вибрані ним кути θ1,θ2,…,θ2020\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots, \theta_{2020}. Доведіть, що Джейсон може визначити, де була точка B1B_{1}, за рештою 2019 точок, тобто доведіть, що B1B_{1} однозначно визначається тією інформацією, яку має Джейсон.
10–11 класиПоворот
Відбіркові тести на IMOTST-2020-035

Многочлени з коренями на одиничному колі

Знайдіть усі несталі многочлени P(z)P(z) з комплексними коефіцієнтами, для яких усі комплексні корені многочленів P(z)P(z) і P(z)−1P(z) - 1 мають модуль 11.
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2020-005

Ділення навпіл у трикутнику з висотами і колами

Нехай △ABC\triangle ABC — гострокутний трикутник, у якому AB>ACAB > AC. Нехай PP — основа висоти з CC на ABAB, а QQ — основа висоти з BB на ACAC. Нехай XX — перетин прямих PQPQ і BCBC. Нехай перетин описаних кіл трикутника △AXC\triangle AXC і трикутника △PQC\triangle PQC складається з двох різних точок: CC і YY. Доведіть, що пряма PYPY ділить відрізок AXAX навпіл.
10–11 класиДопоміжне коло (перекидання кутів)
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-015

Корені симетричного многочлена на одиничному колі

Доведіть, що для всіх натуральних чисел nn всі комплексні корені rr многочлена P(x)=(2n)x2n+(2n−1)x2n−1+⋯+(n+1)xn+1+nxn+(n+1)xn−1+⋯+(2n−1)x+2nP(x) = (2 n) x^{2 n} + (2 n-1) x^{2 n-1} + \cdots + (n+1) x^{n+1} + n x^{n} + (n+1) x^{n-1} + \cdots + (2 n-1) x + 2 n лежать на одиничному колі (тобто ∣r∣=1|r|=1).
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-140

Площа шестикутника з вкладених квадратів

У трикутнику ABCABC, AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, CA=15CA = 15. Квадрати ABB1A2ABB_1A_2, BCC1B2BCC_1B_2, CAA1C2CAA_1C_2 побудовано назовні трикутника. Квадрати A1A2A3A4A_1A_2A_3A_4, B1B2B3B4B_1B_2B_3B_4, C1C2C3C4C_1C_2C_3C_4 побудовано назовні шестикутника A1A2B1B2C1C2A_1A_2B_1B_2C_1C_2. Квадрати A3B4B5A6A_3B_4B_5A_6, B3C4C5B6B_3C_4C_5B_6, C3A4A5C6C_3A_4A_5C_6 побудовано назовні шестикутника A4A3B4B3C4C3A_4A_3B_4B_3C_4C_3. Знайдіть площу шестикутника A5A6B5B6C5C6A_5A_6B_5B_6C_5C_6.
10–11 класиГомотерія і подібність2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-062

Рівносторонній трикутник на комплексній площині

Комплексні числа a,b,ca, b, c утворюють рівносторонній трикутник зі стороною 1818 на комплексній площині. Якщо ∣a+b+c∣=36|a+b+c|=36, знайдіть ∣bc+ca+ab∣|bc+ca+ab|.
10–11 класиКомплексні числа
Відбіркові тести на IMOTST-2019-029

Рівні хорди та перетин прямих на колі

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом Ω\Omega та ортоцентром HH. Точки DD і EE лежать на відрізках ABAB і ACAC відповідно так, що AD=AEAD = AE. Прямі через BB і CC, паралельні прямій DEDE, перетинають Ω\Omega знову в точках PP і QQ відповідно. Позначимо через ω\omega описане коло трикутника △ADE\triangle ADE. а. Покажіть, що прямі PEPE і QDQD перетинаються на колі ω\omega. б. Доведіть, що якщо коло ω\omega проходить через HH, то прямі PDPD і QEQE також перетинаються на колі ω\omega.
10–11 класиПоворотна гомотетія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-113

Найменше значення косинуса за умов на суми

Нехай α,β\alpha, \beta і γ\gamma — три дійсні числа. Припустімо, що cos⁡α+cos⁡β+cos⁡γ=1sin⁡α+sin⁡β+sin⁡γ=1\begin{aligned} \cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma & =1 \\ \sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma & =1 \end{aligned} Знайдіть найменше можливе значення cos⁡α\cos \alpha.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-108

Добуток відстаней між вписаними многокутниками

Кола ω1\omega_{1} радіуса 11 і ω2\omega_{2} радіуса 22 концентричні. Ґодзілла вписує квадрат CASHCASH у коло ω1\omega_{1} та правильний п'ятикутник MONEYMONEY у коло ω2\omega_{2}. Потім він записує всі 2020 (не обов'язково різних) відстаней між вершиною квадрата CASHCASH і вершиною п'ятикутника MONEYMONEY та перемножує їх усі. Чому дорівнює найбільше можливе значення його результату?
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-033

Математичне сподівання квадрата модуля суми випадкових коренів

Майкл вибирає випадкову підмножину комплексних чисел {1,ω,ω2,…,ω2017}\{1, \omega, \omega^{2}, \ldots, \omega^{2017}\}, де ω\omega — первісний корінь 2018-го2018^{\text{-го}} степеня з одиниці, причому всі підмножини мають однакову ймовірність бути обраними. Якщо сума елементів його підмножини дорівнює SS, чому дорівнює математичне сподівання ∣S∣2|S|^{2}? (Сума елементів порожньої множини дорівнює 0.)
10–11 класиСиметрія та розбиття на пари
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-044

Дійсна частина комплексного числа за відстанями

Нехай zz — комплексне число. На комплексній площині відстань від zz до 11 дорівнює 22, а відстань від z2z^{2} до 11 дорівнює 66. Чому дорівнює дійсна частина числа zz?
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-059

Найменша площа вписаного рівнобедреного прямокутного трикутника

Рівнобедрений прямокутний трикутник ABCABC має площу 11. Точки DD, EE, FF вибрано на сторонах BCBC, CACA, ABAB відповідно так, що DEFDEF — також рівнобедрений прямокутний трикутник. Знайдіть найменшу можливу площу трикутника DEFDEF.
10–11 класиПоворот
Відбіркові тести на IMOTST-2018-034

Рівні кола з рівних хорд

Нехай ABCABC — гострокутний трикутник з описаним колом ω\omega, а HH — основа висоти, опущеної з AA на сторону BC‾\overline{BC}. Нехай PP і QQ — точки на колі ω\omega, для яких PA=PHPA = PH і QA=QHQA = QH. Дотична до кола ω\omega в точці PP перетинає прямі ACAC і ABAB у точках E1E_1 і F1F_1 відповідно; дотична до кола ω\omega в точці QQ перетинає прямі ACAC і ABAB у точках E2E_2 і F2F_2 відповідно. Доведіть, що описані кола трикутників △AE1F1\triangle AE_1F_1 і △AE2F2\triangle AE_2F_2 рівні, а пряма, що проходить через їхні центри, паралельна дотичній до кола ω\omega в точці AA.
10–11 класиМетричні співвідношення в колі
Відбіркові тести на IMOTST-2018-035

Червоне розфарбування та парність кортежів

Нехай S={1,…,100}S = \{1, \dots, 100\}, і для кожного натурального числа nn визначимо Tn={(a1,…,an)∈Sn∣a1+⋯+an≡0(mod100)}.T_n = \{(a_1, \dots, a_n) \in S^n \mid a_1 + \dots + a_n \equiv 0 \pmod{100}\}. Визначте, для яких nn виконується така властивість: якщо пофарбувати будь-які 75 елементів множини SS у червоний колір, то принаймні половина nn-елементних кортежів із TnT_n має парну кількість координат із червоними елементами.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-041

Мінімальний модуль з кубічними коренями з одиниці

Нехай a,b,ca, b, c — цілі числа, для яких abc=60a b c = 60, а комплексне число ω≠1\omega \neq 1 задовольняє умову ω3=1\omega^{3} = 1. Знайдіть найменше можливе значення ∣a+bω+cω2∣\left| a + b \omega + c \omega^{2} \right|.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-016

Максимальний модуль комплексного кореня

Нехай aa і bb — комплексні числа, що задовольняють два рівняння a3−3ab2=36b3−3ba2=28i\begin{aligned} a^{3}-3 a b^{2} & =36 \\ b^{3}-3 b a^{2} & =28 i \end{aligned} Нехай MM — найбільший можливий модуль числа aa. Знайдіть усі aa, для яких ∣a∣=M|a|=M.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2017-033

Мінімальний модуль у квадратичній рекурентній послідовності

Нехай zz — комплексне число, визначимо послідовність z0,z1,z2,…z_{0}, z_{1}, z_{2}, \ldots рівностями z0=zz_{0}=z і zn+1=2zn2+2znz_{n+1}=2 z_{n}^{2}+2 z_{n} при n≥0n \geq 0. Відомо, що z10=2017z_{10}=2017, знайдіть найменше можливе значення ∣z∣|z|.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-112

Перетин одиничного кола з колом

Нехай zz — комплексне число, таке, що ∣z∣=1|z|=1 і ∣z−1.45∣=1.05|z-1.45|=1.05. Обчисліть дійсну частину числа zz.
10–11 класиЗастосування тригонометрії
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-107

Площа шестикутника за коренями многочлена

Нехай P1,P2,…,P6P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{6} — точки на комплексній площині, які також є коренями рівняння x6+6x3−216=0x^{6}+6 x^{3}-216=0. Відомо, що P1P2P3P4P5P6P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} P_{5} P_{6} — опуклий шестикутник. Знайдіть площу цього шестикутника.
10–11 класиКомплексні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-120

Знакозмінна сума за статистиками перестановок

Для будь-якого натурального числа nn нехай SnS_{n} — множина всіх перестановок множини {1,2,3,…,n}\{1,2,3, \ldots, n\}. Для кожної перестановки π∈Sn\pi \in S_{n} нехай f(π)f(\pi) — кількість впорядкованих пар (j,k)(j, k), для яких π(j)>π(k)\pi(j)>\pi(k) і 1≤j<k≤n1 \leq j<k \leq n. Далі визначимо g(π)g(\pi) як кількість натуральних чисел k≤nk \leq n, таких, що π(k)≡k±1( mod n)\pi(k) \equiv k \pm 1(\bmod n). Обчисліть ∑π∈S999(−1)f(π)+g(π)\sum_{\pi \in S_{999}}(-1)^{f(\pi)+g(\pi)}
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-032

Добуток тангенсів кутів, кратних пі на сім

Обчисліть tg⁡(π7)tg⁡(2π7)tg⁡(3π7)\operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{7}\right) \operatorname{tg} \left(\frac{2 \pi}{7}\right) \operatorname{tg} \left(\frac{3 \pi}{7}\right).
10–11 класиТеорема Вієта

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.