Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

53 задачі
АлгебраКонструктивна побудова функції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-08-09-009

Існування іспанської пари для двох множин

Нехай SS – це деяка підмножина дійсних чисел. Назвемо пару функцій (f,g)(f, g) – іспанською парою для множини SS, якщо вони задовольняють такі умови: 1) обидві функції є строго зростаючими, тобто ∀x,y∈S\forall x, y \in S f(x)<f(y)f(x) < f(y), g(x)<g(y)g(x) < g(y); 2) ∀x∈S\forall x \in S справджується нерівність: f(g(g(x)))<g(f(x))f\left(g\left(g(x)\right)\right) < g\left(f(x)\right). З'ясувати, чи існує іспанська пара, якщо: а) множина S=NS = \mathbb{N} – множина натуральних чисел; б) множина S={a−1b  |  a,b∈N}S = \left\{ a - \frac{1}{b} \;\middle|\; a, b \in N \right\}.
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-008

Функції з нерівністю та значення f(2008)

Розглянемо функції f:N→Nf : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, які задовольняють умову f(m+n)≥f(m)+f(f(n))−1f (m + n) \ge f (m) + f (f (n)) - 1 для усіх m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}. Знайдіть усі можливі значення f(2008)f (2008).
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2024-006

Чарівні функції та суми значень у протилежних точках

Нехай Q\mathbb{Q} — множина раціональних чисел. Функцію f:Q→Qf : \mathbb{Q} \to \mathbb{Q} назвемо чарівною, якщо справджується така властивість: для будь-яких чисел x,y∈Qx, y \in \mathbb{Q} має місце рівність f(x+f(y))=f(x)+yабоf(f(x)+y)=x+f(y).f(x + f(y)) = f(x) + y \quad \text{або} \quad f(f(x) + y) = x + f(y). Доведіть, що існує таке ціле число cc, коли для будь-якої чарівної функції ff існують не більше ніж cc різних раціональних чисел вигляду f(r)+f(−r)f(r) + f(-r), де r∈Qr \in \mathbb{Q}, та знайдіть найменше значення числа cc.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-004

Цілозначна функція з рідкісними значеннями

Нехай Z\mathbb{Z} — множина цілих чисел. Розглянемо функції f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, які задовольняють f(f(x+y)+y)=f(f(x)+y)f(f(x+y)+y)=f(f(x)+y) для всіх цілих чисел xx і yy. Для такої функції кажемо, що ціле число vv є ff-рідкісним, якщо множина Xv={x∈Z:f(x)=v}X_{v}=\{x \in \mathbb{Z}: f(x)=v\} є скінченною і непорожньою. a. Доведіть, що існує така функція ff, для якої існує ff-рідкісне ціле число. b. Доведіть, що жодна така функція ff не може мати більше одного ff-рідкісного цілого числа.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…2 розв’язки
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2016-005

Функціональне рівняння з параметром масштабування

Знайдіть усі дійсні числа aa, для яких існує нестала функція f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, що задовольняє рівняння 1)f(ax)=a2f(x)1) \quad f(ax) = a^2 f(x) 2)f(f(x))=af(x).2) \quad f(f(x)) = a f(x).
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2013-002

Пара функцій і тотожна функція як спільна комутуюча

Чи існує така пара функцій g,h:R→Rg, h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, що єдиною функцією f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, яка одночасно задовольняє умови f(g(x))=g(f(x))f(g(x))=g(f(x)) та f(h(x))=h(f(x))f(h(x))=h(f(x)) для всіх дійсних xx, є функція f(x)=xf(x)=x?
10–11 класиКонструктивна побудова функції
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2011-001

Функції зі спадною та зростаючою композицією

Доведіть, що існують такі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g:R→Rg : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, що f(g(x))f(g(x)) є строго спадною, а g(f(x))g(f(x)) — строго зростаючою функцією.
10–11 класиКонструктивна побудова функції
Шорт-лист IMOIMOSL-2007-001

Функції з нерівністю f(m + n) і значення f(2007)

Розглянемо функції f:N→Nf: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, які задовольняють умову f(m+n)≥f(m)+f(f(n))−1f(m+n) \geq f(m)+f(f(n))-1 для всіх m,n∈Nm, n \in \mathbb{N}. Знайдіть усі можливі значення f(2007)f(2007). (N\mathbb{N} позначає множину всіх натуральних чисел.)
10–11 класиВластивості монотонності або обме…
Балтійський шляхBW-2006-005

Бінарна операція з інволютивною властивістю

Професор, який інколи буває ненадійним, присвятив свою останню книгу певній бінарній операції ∗*. Коли цю операцію застосовано до будь-яких двох цілих чисел, результат знову є цілим числом. Відомо, що операція задовольняє такі аксіоми: a. x∗(x∗y)=yx *(x * y)=y для всіх x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}; b. (x∗y)∗y=x(x * y) * y=x для всіх x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}. Професор стверджує у своїй книзі, що (C1) операція ∗* є комутативною: x∗y=y∗xx * y=y * x для всіх x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}. (C2) операція ∗* є асоціативною: (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z=x *(y * z) для всіх x,y,z∈Zx, y, z \in \mathbb{Z}. Яке з цих тверджень випливає з наведених аксіом?
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Балтійський шляхBW-2003-001

Функції f(1/x)=f(x) і (1+1/x)f(x)=f(x+1)

Нехай Q+\mathbb{Q}_{+} — множина додатних раціональних чисел. Знайдіть усі функції f:Q+→Q+f: \mathbb{Q}_{+} \rightarrow \mathbb{Q}_{+}, які для всіх x∈Q+x \in \mathbb{Q}_{+} задовольняють (1) f(1x)=f(x)f\left(\frac{1}{x}\right)=f(x) (2) (1+1x)f(x)=f(x+1)\left(1+\frac{1}{x}\right) f(x)=f(x+1)
10–11 класиМетод математичної індукції
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1996-004

Функціональне рівняння з періодичністю

Дійснозначна функція ff визначена на натуральних числах, а натуральне число aa задовольняє f(a)=f(1995),f(a+1)=f(1996),f(a+2)=f(1997)f(n+a)=f(n)−1f(n)+1 для всіх натуральних чисел n\begin{gathered} f(a)=f(1995), \quad f(a+1)=f(1996), \quad f(a+2)=f(1997) \\ f(n+a)=\frac{f(n)-1}{f(n)+1} \quad \text{ для всіх натуральних чисел } n \end{gathered} (i) Доведіть, що f(n+4a)=f(n)f(n+4a)=f(n) для всіх натуральних чисел nn. (ii) Знайдіть найменше можливе aa.
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)
Балтійський шляхBW-1992-011

Єдина функція з умовами f(q/(1-2q)), f(q-1) і f(1/q)

Нехай Q+\mathbb{Q}^{+} позначає множину додатних раціональних чисел. Доведіть, що існує єдина функція f:Q+→Q+f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+}, яка задовольняє такі умови: (i) Якщо 0<q<120 < q < \frac{1}{2}, то f(q)=1+f(q1−2q)f(q) = 1 + f\left(\frac{q}{1 - 2q}\right). (ii) Якщо 1<q≤21 < q \leq 2, то f(q)=1+f(q−1)f(q) = 1 + f(q - 1). (iii) f(q)⋅f(1q)=1f(q) \cdot f\left(\frac{1}{q}\right) = 1 для всіх q∈Q+q \in \mathbb{Q}^{+}.
10–11 класиКонструктивна побудова функції
Відбіркові тести на IMOTST-2025-018

Цілочисельна функція з оцінкою опуклості

Нехай f:R→Zf: \mathbb{R} \to \mathbb{Z} — функція, для якої f(x−y)−2f(x)+f(x+y)≥−1f(x - y) - 2f(x) + f(x + y) \geq -1 для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. Знайдіть усі можливі значення множини {f(x)∣x∈R}\{f(x) \mid x \in \mathbb{R}\}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Нідерландська математична олімпіадаDMO-2024-003

Функціональне рівняння з ітераціями

Знайдіть усі пари (a,b)(a, b) натуральних чисел таких, що f(x)=xf(x)=x — єдина функція f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, яка задовольняє fa(x)fb(y)+fb(x)fa(y)=2xyf^{a}(x) f^{b}(y)+f^{b}(x) f^{a}(y)=2 x y для всіх x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. Тут fn(x)f^{n}(x) позначає nn-разове застосування функції ff до xx, тобто f1(x)=f(x)f^{1}(x)=f(x) і fn+1(x)=f(fn(x))f^{n+1}(x)=f\left(f^{n}(x)\right).
10–11 класиЦиклічні підстановки (метод орбіт)2 розв’язки
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2024-008

Кортежі з функціонального рівняння на невід'ємних цілих

Нехай N0N_0 — множина невід'ємних цілих чисел, а Z\mathbb{Z} — множина цілих чисел. Знайдіть кількість можливих кортежів (f(0),f(1),…,f(2024))(f(0), f(1), \dots, f(2024)) для функції f:N0→Zf: N_0 \to \mathbb{Z}, що задовольняє f(m+n)2=f(m∣f(n)∣)+f(n2)f(m+n)^2 = f(m|f(n)|) + f(n^2) для будь-яких m,n∈N0m, n \in N_0.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Канадська математична олімпіада (CMO)CMO-2021-003

Нерухомі точки канадських функцій

Функція ff з натуральних чисел у натуральні числа називається канадською, якщо вона задовольняє НСД(f(f(x)),f(x+y))=НСД(x,y)\text{НСД}(f(f(x)), f(x+y)) = \text{НСД}(x, y) для всіх пар натуральних чисел xx і yy. Знайдіть усі натуральні числа mm такі, що f(m)=mf(m) = m для всіх канадських функцій ff.
10–11 класиНСД та НСК
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2020-048

Вкладеність n-додатних функцій

Нехай nn — натуральне число, відмінне від нуля. Кажуть, що функція f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} є nn-додатною, якщо для всіх дійсних x1,…,xnx_{1}, \ldots, x_{n} таких, що x1+…+xn=0x_{1}+\ldots+x_{n}=0, виконується f(x1)+…+f(xn)⩾0f\left(x_{1}\right)+\ldots+f\left(x_{n}\right) \geqslant 0. a) Чи кожна 2020-додатна функція обов'язково є 1010-додатною? b) Чи кожна 1010-додатна функція обов'язково є 2020-додатною?
8–10 класиКонструктивна побудова функції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-057

Функціональне рівняння із симетричною сумою

Нехай R\mathbb{R} — множина дійсних чисел. Нехай f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} — функція така, що для всіх дійсних чисел xx і yy виконується f(x2)+f(y2)=f(x+y)2−2xyf\left(x^{2}\right)+f\left(y^{2}\right)=f(x+y)^{2}-2 x y Нехай S=∑n=−20192019f(n)S=\sum_{n=-2019}^{2019} f(n). Визначте кількість можливих значень SS.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Відбіркові тести на IMOTST-2019-002

Функції з рівністю f(x² f(y)²) = f(x²) f(y)

Множину всіх додатних раціональних чисел позначено через Q+\mathbb{Q}^{+}. Знайдіть усі функції f:Q+→Q+f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+} з властивістю f\left(x^{2} f(y)^{2}\right) = f\left(x^{2}\right) f(y) \tag{*} для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^{+}.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-096

Хороші цілі числа для функціонального рівняння

Розглянемо всі функції f:Z→Zf: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}, які задовольняють f(f(x)+2x+20)=15f(f(x)+2x+20)=15 Назвемо ціле число nn хорошим, якщо f(n)f(n) може набувати будь-якого цілого значення. Іншими словами, якщо зафіксувати nn, то для будь-якого цілого числа mm існує така функція ff, що f(n)=mf(n)=m. Знайдіть суму всіх хороших цілих чисел xx.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Французька математична олімпіадаFRMO-2012-003

Ітерації функції зі степеневою умовою

Нехай k>1k > 1 — ціле число. Функція f:N∗→N∗f: \mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{N}^* називається kk-катастрофічною, якщо для кожного цілого числа n>0n > 0 справджується fk(n)=nkf_k(n) = n^k, де fkf_k — kk-та ітерація функції ff: fk(n)=f∘f∘⋯∘f⏟k разів (n)f_k(n) = \underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}_{k \text{ разів }}(n) Для яких kk існує kk-катастрофічна функція?
9–11 класиКонструктивна побудова функції
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-139

Інтеграл неперервної функції зі сталою другою ітерацією

Нехай f:[0,1]→[0,1]f:[0,1] \rightarrow [0,1] — неперервна функція така, що f(f(x))=1f(f(x)) = 1 для всіх x∈[0,1]x \in [0,1]. Знайдіть множину можливих значень ∫01f(x) dx\int_{0}^{1} f(x) \, dx.
10–11 класиВластивості ін'єктивність або сюр…
Відбіркові тести на IMOTST-2011-039

Еластичні функції на додатних раціональних числах

Позначимо через Q+\mathbb{Q}^{+} множину додатних раціональних чисел. Функція f:Q+→Q+f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+} називається еластичною, якщо для всіх x,y∈Q+x, y \in \mathbb{Q}^{+} виконується нерівність f(x)+f(y)≥4f(x+y)f(x)+f(y) \geq 4 f(x+y) a. Доведіть: якщо f:Q+→Q+f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+} еластична і x,y,zx, y, z — додатні раціональні числа, то f(x)+f(y)+f(z)≥8f(x+y+z)f(x)+f(y)+f(z) \geq 8 f(x+y+z). b. Чи існує еластична функція f:Q+→Q+f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{Q}^{+} разом із додатними раціональними числами x,y,zx, y, z, для яких виконується f(x)+f(y)+f(z)<9f(x+y+z)f(x)+f(y)+f(z)<9 f(x+y+z)?
10–11 класиКонструктивна побудова функції
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2022-012

Функціональне рівняння з модулями

Функція f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} задовольняє для всіх дійсних xx і yy рівняння 2f(x)(f(y))2+y2f(−x∣y∣)=f(xy2)2f(x)(f(y))^2 + y^2f(-x|y|) = f(xy^2). Знайдіть усі можливі значення f(1)f(1).
Базові підстановки (однакові аргу…
Математичний гурток БеркліBMC-2018-018

Строго зростаюча субадитивна функція

Наведіть приклад строго зростаючої функції f:R→[0,1]f: \mathbb{R} \rightarrow [0,1] з властивістю f(x+y)≤f(x)+f(y)f(x+y) \leq f(x)+f(y) для будь-яких дійсних чисел xx і yy.
Конструктивна побудова функції

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.