Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

49 задач
АлгебраМетод невизначених коефіцієнтів
Міжнародна математична олімпіадаIMO-2004-002

Многочлени з умовою ab+bc+ca=0

Знайдіть усі многочлени P(x)P(x) з дійсними коефіцієнтами, які задовольняють рівність P(a−b)+P(b−c)+P(c−a)=2P(a+b+c)P(a - b) + P(b - c) + P(c - a) = 2P(a + b + c) для всіх дійсних чисел aa, bb і cc таких, що ab+bc+ca=0ab + bc + ca = 0.
10–11 класиБазові підстановки (однакові аргу…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-053

Монічні многочлени з рівними значеннями на спряжених радикалах

Нехай S\mathcal{S} — множина всіх несталих монічних многочленів PP з цілими коефіцієнтами, що задовольняють P(3+2)=P(3−2)P\left(\sqrt{3} + \sqrt{2}\right) = P\left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right). Якщо QQ — елемент множини S\mathcal{S} найменшого степеня, обчисліть єдине можливе значення Q(10)−Q(0)Q(10) - Q(0).
10–11 класиРаціональні та ірраціональні числа
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-116

Частка многочленів другого степеня зі значеннями куба

Нехай f(x)f(x) — частка двох многочленів другого степеня. Відомо, що f(n)=n3f(n) = n^{3} для всіх n∈{1,2,3,4,5}n \in \{1,2,3,4,5\}. Обчисліть f(0)f(0).
10–11 класиКорені многочлена, розклад на мно…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2024-028

Коло, дотичне до гіперболи й осі

Коло дотикається до обох гілок гіперболи x2−20y2=24x^{2}-20 y^{2}=24, а також до осі xx. Обчисліть площу цього круга.
10–11 класиІнверсія2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-118

Многочлен із квадратичним функціональним рівнянням

Нехай P(x)P(x) — многочлен із дійсними коефіцієнтами такий, що P(t)=P(1)t2+P(P(1))t+P(P(P(1)))P(t) = P(1) t^{2} + P(P(1)) t + P(P(P(1))) для всіх дійсних чисел tt. Обчисліть найбільше можливе значення P(P(P(1)))P(P(P(1))).
10–11 класиМетод невизначених коефіцієнтів
Підготовка до Французької математичної олімпіадиFRMO-2021-019

Найбільший степінь неолімпійського монома

Позначимо через Z[x,y,z]\mathbb{Z}[x, y, z] множину многочленів з цілими коефіцієнтами від трьох змінних x,yx, y і zz. Будемо далі казати, що многочлен P∈Z[x,y,z]P \in \mathbb{Z}[x, y, z] є олімпійським, якщо Z[x,y,z]\mathbb{Z}[x, y, z] містить многочлени A,BA, B і CC такі, що P(x,y,z)=(x+y+z)A(x,y,z)+(xy+yz+zx)B(x,y,z)+xyzC(x,y,z).P(x, y, z)=(x+y+z) A(x, y, z)+(x y+y z+z x) B(x, y, z)+x y z C(x, y, z) . Знайти найбільше ціле число nn, для якого існують невід'ємні цілі числа i,ji, j і kk із сумою i+j+k=ni+j+k=n і такі, що многочлен xiyjzkx^{i} y^{j} z^{k} не є олімпійським. Зауваження: многочлен з цілими коефіцієнтами від змінних x,yx, y і zz — це функція, яку можна записати як суму доданків вигляду λxiyjzk\lambda x^{i} y^{j} z^{k}, де λ\lambda — ціле число, а i,ji, j і kk — невід'ємні цілі числа. Наприклад, x−y+1x-y+1 і xy+yz+zxx y+y z+z x — такі многочлени, а πxyz,exp⁡(x),x/(y2+1)\pi x y z, \exp (x), x /(y^{2}+1) і xy+z\sqrt{x y+z} — ні.
10–11 класиЕлементарні симетричні многочлени
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2020-047

Корінь кубічного рівняння та розклад на множники

Розгляньмо дійсні числа pp і qq та кубічне рівняння: x3+px+q=0x^{3}+p x+q=0 a) Якщо x0x_{0} — дійсний корінь рівняння, то x3+px+q=(x−x0)(x2+ax+b)x^{3}+p x+q=\left(x-x_{0}\right)\left(x^{2}+a x+b\right) Доведіть, що a=x0a=x_{0}. b) Доведіть, що p2≥4x0qp^{2} \geq 4 x_{0} q.
10–11 класиМетод невизначених коефіцієнтів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-123

Площа шестикутника в рівносторонньому трикутнику

Нехай ABCABC — рівносторонній трикутник зі стороною 11. Для дійсного числа 0<x<0.50 < x < 0.5 нехай A1A_1 і A2A_2 — точки на стороні BCBC такі, що A1B=A2C=xA_1B = A_2C = x, а TA=△AA1A2T_A = \triangle AA_1A_2. Аналогічно побудуємо трикутники TB=△BB1B2T_B = \triangle BB_1B_2 і TC=△CC1C2T_C = \triangle CC_1C_2. Існують додатні раціональні числа b,cb, c такі, що область точок усередині всіх трьох трикутників TA,TB,TCT_A, T_B, T_C є шестикутником з площею 8x2−bx+c(2−x)(x+1)⋅34\frac{8x^2 - bx + c}{(2-x)(x+1)} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} Знайдіть (b,c)(b, c).
10–11 класиМетод невизначених коефіцієнтів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)AMC10-2017-048

Найбільша стала у нерівності з сумою квадратичних виразів

Знайдіть найбільше дійсне число cc таке, що для довільних 20172017 дійсних чисел x1,x2,…,x2017x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2017} виконується нерівність ∑i=12016xi(xi+xi+1)≥c⋅x20172\sum_{i=1}^{2016} x_{i}\left(x_{i}+x_{i+1}\right) \geq c \cdot x_{2017}^{2}
10–11 класиНерівності та системи другого сте…
Італійська математична олімпіадаITAMO-2017-003

Нескінченні трійки із сумою квадратів — повним квадратом

a. Доведіть, що існує нескінченно багато трійок (x,y,z)(x, y, z) натуральних чисел таких, що x2+y2+z2x^{2}+y^{2}+z^{2} є повним квадратом. b. Доведіть, що існує нескінченно багато трійок (x,y,z)(x, y, z) натуральних чисел таких, що x2+y2+z2x^{2}+y^{2}+z^{2} є повним квадратом і що найбільший спільний дільник трьох чисел (x,y,z)(x, y, z) дорівнює 1.
10–11 класиПіфагорові трійки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-097

Визначений інтеграл від тригонометричної раціональної функції

Обчисліть ∫0π2sin⁡θ+3cos⁡θ−313cos⁡θ−5 dθ.\int_{0}^{\pi} \frac{2 \sin \theta+3 \cos \theta-3}{13 \cos \theta-5} \, d\theta .
10–11 класиПеретворення тригонометричних вир…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-019

Старша цифра розкладу многочлена за базою

Нехай b(x)=x2+x+1b(x) = x^{2} + x + 1. Многочлен x2015+x2014+⋯+x+1x^{2015} + x^{2014} + \cdots + x + 1 має єдине подання за «базою b(x)b(x)» x2015+x2014+⋯+x+1=∑k=0Nak(x)b(x)kx^{2015} + x^{2014} + \cdots + x + 1 = \sum_{k=0}^{N} a_{k}(x) b(x)^{k} де - NN — невід'ємне ціле число; - кожна «цифра» ak(x)a_{k}(x) (при 0≤k≤N0 \leq k \leq N) — або нульовий многочлен (тобто ak(x)=0a_{k}(x) = 0), або ненульовий многочлен степеня, меншого за deg⁡b=2\operatorname{deg} b = 2; і - «старша цифра aN(x)a_{N}(x)» ненульова (тобто не нульовий многочлен). Знайдіть aN(0)a_{N}(0) («старшу цифру, обчислену в нулі»).
10–11 класиВластивості коефіцієнтів многочле…
Французька математична олімпіадаFRMO-2014-046

Симетрична нерівність із кубічними чисельниками

Нехай aa, bb, cc — три додатні дійсні числа такі, що a+b+c=9a + b + c = 9. Доведіть, що a3+b3ab+9+b3+c3bc+9+c3+a3ca+9⩾9\frac{a^{3} + b^{3}}{a b + 9} + \frac{b^{3} + c^{3}}{b c + 9} + \frac{c^{3} + a^{3}}{c a + 9} \geqslant 9
9–11 класиМетод невизначених коефіцієнтів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-150

Многочлен із різницею похідної

Нехай p(x)p(x) — многочлен і p(x)−p′(x)=x2+2x+1p(x) - p'(x) = x^{2} + 2x + 1. Обчисліть p(5)p(5).
10–11 класиМетод невизначених коефіцієнтів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-158

Диференціальне рівняння другого порядку з тригонометричною правою частиною

Нехай x(t)x(t) — розв'язок диференціального рівняння (x+x′)2+x⋅x′′=cos⁡t\left(x + x'\right)^2 + x \cdot x'' = \cos t з початковими умовами x(0)=x′(0)=25x(0) = x'(0) = \sqrt{\frac{2}{5}}. Обчисліть x(π4)x\left(\frac{\pi}{4}\right).
10–11 класиМетод невизначених коефіцієнтів
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2010-159

Асимптотичний розклад гармонічної суми

Нехай f(n)=∑k=1n1kf(n) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}. Тоді існують сталі γ\gamma, cc і dd такі, що f(n)=ln⁡(n)+γ+cn+dn2+O(1n3)f(n) = \ln(n) + \gamma + \frac{c}{n} + \frac{d}{n^{2}} + O\left(\frac{1}{n^{3}}\right) де O(1n3)O\left(\frac{1}{n^{3}}\right) означає доданки порядку 1n3\frac{1}{n^{3}} або меншого. Обчисліть впорядковану пару (c,d)(c, d).
10–11 класиНаближення дійсних чисел і оцінки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2008-064

Симетричні суми кубів і п'ятих степенів

Нехай aa, bb, cc — ненульові дійсні числа такі, що a+b+c=0a+b+c=0 і a3+b3+c3=a5+b5+c5a^{3}+b^{3}+c^{3}=a^{5}+b^{5}+c^{5}. Знайдіть значення a2+b2+c2a^{2}+b^{2}+c^{2}.
10–11 класиЕлементарні симетричні многочлени
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-1999-009

Сума дробів з многочленами n від 2 до 17

Обчисліть ∑n=217n2+n+1n4+2n3−n2−2n\sum_{n=2}^{17} \frac{n^{2}+n+1}{n^{4}+2 n^{3}-n^{2}-2 n}.
10–11 класиСуми послідовностей
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-1998-024

Парабола, дотична до сторін трикутника

Парабола вписана в рівносторонній трикутник ABCABC зі стороною 11 в тому сенсі, що сторони ACAC і BCBC дотикаються до параболи в точках AA і BB відповідно. Знайдіть площу між стороною ABAB і параболою.
10–11 класиМетод координат
Естонська математична олімпіадаESTMO-2025-013

Функціональне рівняння з виразом y²f(x) - f(xy)

Знайдіть усі функції f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, що задовольняють f(y2f(x)−f(xy))=f(y2)+2(x2−f(x))(f(y)−1)+1f(y^2f(x) - f(xy)) = f(y^2) + 2(x^2 - f(x))(f(y) - 1) + 1 для всіх дійсних чисел xx і yy.
Базові підстановки (однакові аргу…2 розв’язки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2012-027

Симпатичні числа виду суми квадратів мінус квадрат

Ціле число nn називається симпатичним, коли існують натуральні числа a,ba, b і cc такі, що a<b<ca < b < c і n=a2+b2−c2n = a^{2} + b^{2} - c^{2}. Наприклад, числа 1 і 2 симпатичні, оскільки 1=42+72−821 = 4^{2} + 7^{2} - 8^{2} і 2=52+112−1222 = 5^{2} + 11^{2} - 12^{2}. a) Перевірте, що (3x+1)2+(4x+2)2−(5x+2)2(3x+1)^{2} + (4x+2)^{2} - (5x+2)^{2} дорівнює 2x+12x+1 для будь-якого xx. b) Знайдіть цілі числа mm і nn такі, що (3x−m)2+(4x−n)2−(5x−5)2=2x(3x-m)^{2} + (4x-n)^{2} - (5x-5)^{2} = 2x для будь-якого xx. c) Покажіть, що число 4 симпатичне. d) Покажіть, що всі натуральні числа симпатичні.
Піфагорові трійки
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2011-021

Коефіцієнти квадратичної тотожності та зсунута система

a. Знайдіть aa, bb і cc такі, що рівність (n+2)2=a(n+1)2+bn2+c(n−1)2(n+2)^2 = a(n+1)^2 + b n^2 + c(n-1)^2 справджується для будь-якого числа nn. b. Припустімо, що x1,x2,…,x7x_1, x_2, \ldots, x_7 задовольняють систему {x1+4x2+9x3+16x4+25x5+36x6+49x7=14x1+9x2+16x3+25x4+36x5+49x6+64x7=129x1+16x2+25x3+36x4+49x5+64x6+81x7=123\left\{\begin{array}{l} x_1 + 4 x_2 + 9 x_3 + 16 x_4 + 25 x_5 + 36 x_6 + 49 x_7 = 1 \\ 4 x_1 + 9 x_2 + 16 x_3 + 25 x_4 + 36 x_5 + 49 x_6 + 64 x_7 = 12 \\ 9 x_1 + 16 x_2 + 25 x_3 + 36 x_4 + 49 x_5 + 64 x_6 + 81 x_7 = 123 \end{array}\right. Знайдіть значення 16x1+25x2+36x3+49x4+64x5+81x6+100x716 x_1 + 25 x_2 + 36 x_3 + 49 x_4 + 64 x_5 + 81 x_6 + 100 x_7
Метод невизначених коефіцієнтів
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1991-002

Рекурентна послідовність з поліноміальною умовою на відношення

Нехай k>0k > 0, послідовність a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots задано першими двома членами та an+2=an+1+knana_{n+2} = a_{n+1} + \frac{k}{n} a_n. Для яких kk можна записати якесь ana_n у вигляді многочлена від nn? Для яких kk можна записати an+1an=p(n)q(n)\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{p(n)}{q(n)}, де pp і qq — многочлени?
Властивості коефіцієнтів многочле…
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-1985-001

Дріб з добутком у знаменнику та сума таких дробів

Нехай aa, bb, cc, dd — цілі числа, причому ad≠bcad \neq bc. Доведіть, що 1(ax+b)(cx+d)\frac{1}{(ax+b)(cx+d)} можна записати у вигляді rax+b+scx+d\frac{r}{ax+b} + \frac{s}{cx+d}. Знайдіть суму 11⋅4+14⋅7+17⋅10+⋯+12998⋅3001\frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{2998 \cdot 3001}
Суми послідовностей

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.