Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

70 задач
ГеометріяПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-089

Подібні ромби зі спільною діагоналлю

Два різні подібні ромби мають спільну діагональ. Менший ромб має площу 11, а більший ромб має площу 99. Обчисліть довжину сторони більшого ромба.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Японська математична олімпіада (JMO)JMO-2023-006

Площа правильного шестикутника, вписаного в прямокутник

Правильний шестикутник вписано в прямокутник, як показано на рисунку. Площі зафарбованих трикутника й чотирикутника дорівнюють 2020 і 2323 відповідно. Знайдіть площу правильного шестикутника.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математична олімпіада Нової ЗеландіїNZMO-2023-004

Співвідношення площ у паралелограмі з паралельною прямою

Нехай ABCDABCD — паралелограм, а PP — точка на стороні ABAB. Нехай пряма через PP, паралельна стороні BCBC, перетинає діагональ ACAC у точці QQ. Доведіть, що ∣DAQ∣2=∣PAQ∣×∣BCD∣,|DAQ|^{2} = |PAQ| \times |BCD|, де ∣XYZ∣|XYZ| позначає площу трикутника XYZXYZ.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-122

Чотирикутник ABCD з BC = 3, CD = 4

Нехай AEFAEF — трикутник, у якому EF=20EF=20 і AE=AF=21AE=AF=21. Нехай BB і DD — точки на відрізках AEAE і AFAF відповідно, такі, що BDBD паралельна EFEF. Точку CC вибрано всередині трикутника AEFAEF так, що чотирикутник ABCDABCD є вписаним. Якщо BC=3BC=3 і CD=4CD=4, то відношення площ [ABCD][AEF]\frac{[ABCD]}{[AEF]} можна записати як ab\frac{a}{b}, де a,ba, b — взаємно прості натуральні числа. Обчисліть 100a+b100a+b.
10–11 класиПоворот2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-078

Відношення площ у ромбі з вписаним колом

Коло ω\omega вписане в ромб HM1M2TH M_{1} M_{2} T так, що ω\omega дотикається до HM1‾\overline{H M_{1}} у точці AA, до M1M2‾\overline{M_{1} M_{2}} у точці II, до M2T‾\overline{M_{2} T} у точці MM і до TH‾\overline{T H} у точці EE. Відомо, що площа ромба HM1M2TH M_{1} M_{2} T дорівнює 14401440, а площа трикутника EMTE M T дорівнює 405405. Знайдіть площу чотирикутника AIMEA I M E.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-055

Вписаний чотирикутник з основами висот і серединами сторін

Нехай ABCDABCD — вписаний чотирикутник, а відрізки ACAC і BDBD перетинаються в точці EE. Нехай WW і YY — основи висот, проведених із точки EE на сторони DADA і BCBC відповідно, а XX і ZZ — середини сторін ABAB і CDCD відповідно. Відомо, що площа трикутника AEDAED дорівнює 99, площа трикутника BECBEC дорівнює 2525, а ∠EBC−∠ECB=30∘\angle EBC - \angle ECB = 30^{\circ}. Обчисліть площу чотирикутника WXYZWXYZ.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Нідерландська юніорська математична олімпіадаDJMO-2019-018

Розбиття трикутника паралельними прямими

Дано трикутник ABCABC. Пряма з точки AA перетинає сторону BCBC у точці DD. Паралельно до BCBC проведено чотири прямі так, що вони ділять ABAB і ACAC на п’ять рівних частин. З десяти частин, на які поділено трикутник ABCABC, дві позначені пунктиром мають однакову площу. Також площа сірого трикутника внизу ліворуч біля AA дорівнює 55. Чому дорівнює площа сірого чотирикутника вгорі праворуч біля CC? A) 5050 B) 8181 C) 100100 D) 119119 E) 121121
7–9 класиВідношення площ трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-063

Відношення площ трикутників з вписаним і зовнівписаним колами

Нехай ABCABC — трикутник зі сторонами AB=5AB = 5, BC=8BC = 8, CA=11CA = 11. Вписане коло ω\omega і AA-зовнівписане коло Γ\Gamma мають центри I1I_1 і I2I_2 відповідно та дотикаються до сторони BCBC у точках D1D_1 і D2D_2 відповідно. Знайдіть відношення площі △AI1D1\triangle A I_1 D_1 до площі △AI2D2\triangle A I_2 D_2.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2019-064

Замощення рівностороннього трикутника

Розглянемо рівносторонній трикутник TT зі стороною 1212. Метью розрізає TT на NN менших рівносторонніх трикутників, кожен з яких має довжину сторони 11, 33 або 88. Обчисліть найменше можливе значення NN.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2018-106

Чотирикутник із серединами сторін

Бен «Ван Ханна Дола» Франклін запускає повітряного змія KITEKITE такого, що IEIE — серединний перпендикуляр до діагоналі KTKT. Нехай IEIE перетинає KTKT в точці RR. Середини сторін KIKI, ITIT, TETE, EKEK — це AA, NN, MM, DD відповідно. Відомо, що [MAKE]=18[MAKE]=18, IT=10IT=10, [RAIN]=4[RAIN]=4. Знайдіть [DIME][DIME]. Примітка: [X][X] позначає площу фігури XX.
10–11 класиВідношення площ трикутників
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-014

Поділ об'єму кулі на менші кулі

Патрік і Андерсон граються в сніжки. Патрік кидає в Андерсона сніжку, що має форму кулі радіусом 1010 сантиметрів. Андерсон ловить сніжку і використовує сніг із неї, щоб зліпити сніжки радіусом 44 сантиметри. За умови, що сумарний об'єм сніжок, які зліпить Андерсон, не може перевищувати об'єм сніжки, яку кинув Патрік, скільки сніжок може зліпити Андерсон?
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2016-034

Площі поверхонь у вкладеній послідовності куб–октаедр

Дано куб C1C_{1} з довжиною ребра 11. Центри його граней сполучено так, що утворюється октаедр O1O_{1}. Центри граней октаедра сполучено, і утворюється новий куб C2C_{2}. Цей процес продовжують нескінченно. Знайдіть суму всіх площ поверхонь кубів та октаедрів.
10–11 класиГеометрична прогресія
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2015-122

Трикутник із центроїдів, побудованих від ортоцентра

Нехай ABCABC — трикутник з ортоцентром HH; припустимо, що AB=13AB = 13, BC=14BC = 14, CA=15CA = 15. Нехай GAG_{A} — центроїд трикутника HBCHBC, і аналогічно визначимо GB,GCG_{B}, G_{C}. Знайдіть площу трикутника GAGBGCG_{A} G_{B} G_{C}.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-097

Випадкова точка в правильному шестикутнику

Нехай H\mathcal{H} — правильний шестикутник зі стороною один. Петро вибирає точку PP рівномірно навмання всередині шестикутника H\mathcal{H}, а потім проводить найбільше коло з центром PP, що міститься в шестикутнику H\mathcal{H}. Яка ймовірність того, що радіус цього кола менший за 12\frac{1}{2}?
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-101

Шестикутник з паралельними сторонами й відношеннями площ

Нехай ABCDEFA B C D E F — опуклий шестикутник з такими властивостями. a. AC‾\overline{A C} та AE‾\overline{A E} ділять ∠BAF\angle B A F на три рівні частини. b. BE‾∥CD‾\overline{B E} \parallel \overline{C D} і CF‾∥DE‾\overline{C F} \parallel \overline{D E}. c. AB=2AC=4AE=8AFA B = 2 A C = 4 A E = 8 A F. Припустімо, що чотирикутники ACDEA C D E і ADEFA D E F мають площу 20142014 і 14001400 відповідно. Знайдіть площу чотирикутника ABCDA B C D.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-030

Рівнобедрений трикутник з проєкціями середини

Нехай ABCABC — трикутник, у якому AB=AC=2514BCAB = AC = \frac{25}{14} BC. Нехай MM — середина сторони BC‾\overline{BC}, а XX та YY — проєкції MM на сторони AB‾\overline{AB} і AC‾\overline{AC} відповідно. Якщо площі трикутника ABCABC та чотирикутника AXMYAXMY є натуральними числами, знайдіть найменшу можливу суму цих площ.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-033

Точки повороту в правильному п’ятикутнику

Дано правильний п’ятикутник площею 11, поворотна пряма — це пряма, яка не проходить через жодну з вершин п’ятикутника, така, що з одного боку від прямої лежать 33 вершини п’ятикутника, а з іншого — 22. Точка повороту — це точка всередині п’ятикутника, через яку проходить лише скінченна кількість неповоротних прямих. Знайдіть площу області точок повороту.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-041

Перетини бісектрис кутів трапеції

Нехай ABCDABCD — трапеція, у якій AB∥CDAB \parallel CD. Бісектриси кутів ∠CDA\angle CDA і ∠DAB\angle DAB перетинаються в точці EE, бісектриси кутів ∠ABC\angle ABC і ∠BCD\angle BCD перетинаються в точці FF, бісектриси кутів ∠BCD\angle BCD і ∠CDA\angle CDA перетинаються в точці GG, а бісектриси кутів ∠DAB\angle DAB і ∠ABC\angle ABC перетинаються в точці HH. Чотирикутники EABFEABF і EDCFEDCF мають площі 2424 і 3636 відповідно, а трикутник ABHABH має площу 2525. Знайдіть площу трикутника CDGCDG.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-057

Трикутник з перетинів парабол

У трикутнику ABCABC нехай парабола з фокусом AA і директрисою BCBC перетинає сторони ABAB і ACAC у точках A1A_1 і A2A_2 відповідно. Аналогічно, нехай парабола з фокусом BB і директрисою CACA перетинає сторони BCBC і BABA у точках B1B_1 і B2B_2 відповідно. Нарешті, нехай парабола з фокусом CC і директрисою ABAB перетинає сторони CACA і CBCB у точках C1C_1 і C2C_2 відповідно. Якщо трикутник ABCABC має сторони завдовжки 55, 1212 і 1313, знайдіть площу трикутника, утвореного прямими A1C2A_1C_2, B1A2B_1A_2 і C1B2C_1B_2.
10–11 класиГомотерія і подібність
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2014-064

Нескінченні ковтки з трикутної чашки

Плаский Альберт і його приятель Майк дивляться гру в неділю вдень. Альберт п’є лимонад із двовимірної чашки, що є рівнобедреним трикутником, висота й основа якого дорівнюють 99 см і 66 см; отвір чашки відповідає основі, яка напрямлена вгору. Щохвилини після початку гри відбувається таке: якщо минуло nn хвилин, Альберт енергійно розмішує свій напій і робить ковток висотою 1n2\frac{1}{n^{2}} см. Невдовзі після цього, поки Альберт захоплено дивиться гру, Майк доливає в чашку журавлинний сік, доки вона знову не стане повною, намагаючись створити журавлинний лимонад Майка. Альберт робить ковтки точно щохвилини, і його перший ковток відбувається рівно за хвилину після початку гри. Через нескінченно довгий час нехай AA позначає кількість налитого журавлинного соку (у квадратних сантиметрах). Знайдіть ціле число, найближче до 27π2A\frac{27}{\pi^{2}} A.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-125

Шестикутник з паралельними діагоналями та відношеннями площ

Нехай A1A2A3A4A5A6A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} — опуклий шестикутник такий, що AiAi+2∥Ai+3Ai+5A_{i} A_{i+2} \parallel A_{i+3} A_{i+5} для i=1,2,3i=1,2,3 (вважаємо Ai+6=AiA_{i+6}=A_{i} для кожного ii). Відрізок AiAi+2A_{i} A_{i+2} перетинає відрізок Ai+1Ai+3A_{i+1} A_{i+3} у точці BiB_{i} при 1≤i≤61 \leq i \leq 6, як показано. Крім того, припустимо, що △A1A3A5≅△A4A6A2\triangle A_{1} A_{3} A_{5} \cong \triangle A_{4} A_{6} A_{2}. Відомо, що [A1B5B6]=1[A_{1} B_{5} B_{6}]=1, [A2B6B1]=4[A_{2} B_{6} B_{1}]=4 і [A3B1B2]=9[A_{3} B_{1} B_{2}]=9 (через [XYZ][X Y Z] ми позначаємо площу △XYZ\triangle X Y Z), знайдіть площу шестикутника B1B2B3B4B5B6B_{1} B_{2} B_{3} B_{4} B_{5} B_{6}.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2013-060

Рівносторонні трикутники, що заповнюють прямокутний трикутник

Нехай △XYZ\triangle X Y Z — прямокутний трикутник з ∠XYZ=90∘\angle X Y Z=90^{\circ}. Припустимо, існує нескінченна послідовність рівносторонніх трикутників X0Y0T0,X1Y1T1,…X_{0} Y_{0} T_{0}, X_{1} Y_{1} T_{1}, \ldots така, що X0=XX_{0}=X, Y0=YY_{0}=Y, XiX_{i} лежить на відрізку XZX Z при всіх i≥0i \geq 0, YiY_{i} лежить на відрізку YZY Z при всіх i≥0i \geq 0, XiYiX_{i} Y_{i} перпендикулярний до YZY Z при всіх i≥0i \geq 0, TiT_{i} і YY розділені прямою XZX Z при всіх i≥0i \geq 0, а XiX_{i} лежить на відрізку Yi−1Ti−1Y_{i-1} T_{i-1} при i≥1i \geq 1. Нехай P\mathcal{P} — об'єднання цих рівносторонніх трикутників. Якщо площа фігури P\mathcal{P} дорівнює площі трикутника XYZX Y Z, знайдіть XYYZ\frac{X Y}{Y Z}.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2012-041

Відношення площ подібних паралелограмів

ABCDABCD — паралелограм, у якому AB=7AB = 7, BC=2BC = 2 та ∠DAB=120∘\angle DAB = 120^\circ. Паралелограм ECFAECFA міститься в паралелограмі ABCDABCD і подібний до нього. Знайдіть відношення площі ECFAECFA до площі ABCDABCD.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2011-116

Квадрат і трикутник з рівними площами

Нехай ABCDABCD — квадрат зі стороною 1313. Нехай EE і FF — точки на променях ABAB і ADAD відповідно такі, що площа квадрата ABCDABCD дорівнює площі трикутника AEFAEF. Якщо EFEF перетинає BCBC у точці XX і BX=6BX=6, знайдіть довжину відрізка DFDF.
10–11 класиПлощі подібних фігур
Італійська математична олімпіадаITAMO-2011-001

Розбиття трапеції на рівновеликі трапеції

Дано трапецію з основами завдовжки 11 і 44 відповідно. Розділимо її на дві трапеції розрізом, паралельним основам, завдовжки 33. Тепер хочемо розділити дві нові трапеції, знову розрізами, паралельними основам, на mm і nn трапецій відповідно так, щоб усі m+nm+n утворених трапецій мали однакову площу. Визначити найменше можливе значення m+nm+n і довжини розрізів, які треба виконати для досягнення цього найменшого значення.
10–11 класиПлощі подібних фігур

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.