Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

92 задачі
АлгебраВластивості біноміальних коефіцієнтів
Відбір на міжнародні математичні олімпіадиITSEL-17-18-013

Найбільша кількість ходів гри на дев'яти клітинках

Олексій грає у гру на стрічці, що складається з дев'яти клітинок. На початку гри всі клітинки порожні. Кожним кроком Олексій може виконати одну з двох дій: а) вибрати довільне число вигляду 2j2^j, де jj — деяке невід'ємне ціле число, і записати його в порожню клітинку; б) вибрати дві (не обов'язково сусідні) клітинки, у яких записано однакові числа, скажімо 2j2^j, а після цього записати в одній із цих клітинок число 2j+12^{j+1}, а другу клітинку витерти. У кінці гри виявилося, що в одній клітинці записано число 2n2^n, де nn — наперед задане натуральне число, а решта клітинок порожні. Знайдіть максимальну кількість ходів, яку міг зробити Олексій залежно від значення nn.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-07-08-012

Многочлен із біноміальними коефіцієнтами та дійсні корені

Довести, що для будь-яких натуральних m,nm, n многочлен ∑i=0mCn+in⋅xi\sum\limits_{i=0}^{m} C_{n+i}^{n} \cdot x^i має не більше одного дійсного кореня.
10–11 класиМетод математичної індукції
Відбіркові змагання команди України на IMOUTST-00-01-003

Кількість ідеалів невід’ємних чисел для p і q

Нехай pp і qq — задані взаємно прості натуральні числа. Підмножина S⊂{0;1;2;…}S \subset \{0; 1; 2; \ldots\} називається ідеалом множини {0;1;2;…}\{0; 1; 2; \ldots\}, якщо 0∈S0 \in S та для будь-якого n∈Sn \in S числа n+pn + p та n+qn + q обидва належать SS. Для даних pp і qq знайдіть кількість ідеалів множини {0;1;2;…}\{0; 1; 2; \ldots\}.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2024-002

Порівняння кількості чудових конфігурацій

Для натурального числа nn назвемо nn-конфігурацією сім’ю множин (Ai,j)1⩽i,j⩽n(A_{i,j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n}. Деяку nn-конфігурацію (Ai,j)1⩽i,j⩽n(A_{i,j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n} назвемо чудовою, якщо для будь-якої пари індексів (i,j)(i, j) з 1⩽i⩽n−11 \leqslant i \leqslant n-1 та 1⩽j⩽n1 \leqslant j \leqslant n ми маємо Ai,j⊂Ai+1,jA_{i,j} \subset A_{i+1,j} і Aj,i⊂Aj,i+1A_{j,i} \subset A_{j,i+1}. Нехай f(n,k)f(n, k) — це кількість чудових nn-конфігурацій таких, що An,n⊂{1,2,…,k}A_{n,n} \subset \{1, 2, \ldots, k\}. З’ясуйте, яке із чисел є більшим: f(2024,20242)f(2024, 2024^2) чи f(20242,2024)f(2024^2, 2024).
10–11 класиБієкції
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2024-006

Трійки натуральних чисел і подільність цілої частини на p

З’ясуйте, чи існує нескінченно багато трійок (a,b,c)(a, b, c) натуральних чисел таких, що число pp ділить число ⌊(a+b2024)p⌋−c\left\lfloor (a+b\sqrt{2024})^p \right\rfloor - c для кожного простого числа pp. Примітка. Тут ⌊x⌋\lfloor x \rfloor позначає найбільше ціле число, що не перевищує xx.
10–11 класиЦіла та дробова частини числа
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2023-004

Рекурентні множини та оцінки їх потужностей

Для множин SS і TT, що складаються з додатних дійсних чисел, визначимо S+T={s+t∣s∈S,t∈T}S + T = \{s + t \mid s \in S, t \in T\} і 1S={1s∣s∈S}\frac{1}{S} = \{\frac{1}{s} \mid s \in S\}. Визначимо множини A1,A2,A3,…A_1, A_2, A_3, \dots рекурентно як A1={1}A_1 = \{1\} і An=⋃i=1n−1((Ai+An−i)∪(11Ai+1An−i))A_n = \bigcup_{i=1}^{n-1} \left( (A_i + A_{n-i}) \cup \left( \frac{1}{\frac{1}{A_i} + \frac{1}{A_{n-i}}} \right) \right) для всіх цілих n≥2n \ge 2. Доведіть, що для всіх цілих n≥1n \ge 1 виконується 2n−1≤∣An∣≤8n.2^{n-1} \le |A_n| \le 8^n.
10–11 класиРекурентний підрахунок
Математичний матч Чехія–Австрія–Польща–СловаччинаCAPS-2023-006

Найменше число прогулянок по дошці n × n

Задано ціле число n⩾1n \geqslant 1 та дошку розміром n×nn \times n, усі клітинки якої спочатку є білими. Маляр Петрик прогулюється по цій дошці та перефарбовує відвідані клітинки. Кожна прогулянка Петрика починається в лівій нижній кутовій клітинці дошки та продовжується в такий спосіб: - якщо Петрик стоїть на білій клітинці, то перефарбовує її у чорний колір та переміщується на одну клітинку вгору (або виходить за межі дошки, якщо на той момент він знаходиться у верхньому рядку); - якщо Петрик стоїть на чорній клітинці, то перефарбовує її у білий колір та переміщується на одну клітинку праворуч (або виходить за межі дошки, якщо на той момент він знаходиться в крайньому правому стовпці). Прогулянка Петрика закінчується, як тільки він виходить за межі дошки. Знайдіть найменше натуральне число ss, що має таку властивість: після рівно ss прогулянок усі клітинки дошки знову стануть білими. Наприклад, при n=3n = 3 розфарбування дошки після кожної з перших п’яти прогулянок будуть такими (рис. 9.2):
10–11 класиРекурентний підрахунок
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-009

Суми біноміальних коефіцієнтів та непредставне число

Знайдіть найменше натуральне число, яке не можна подати у вигляді (a2)+(b2)+c\binom{a}{2} + \binom{b}{2} + c з невід'ємними цілими числами a,b,ca, b, c, що задовольняють умови a≥b≥ca \ge b \ge c та a+b≤2019a + b \le 2019.
10–11 класиОптимальна конструкція (оцінка і…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2019-034

Незростаючі функції з нерухомими точками

Для натурального числа nn розглянемо всі незростаючі функції f:{1,…,n}→{1,…,n}f: \{1, \dots, n\} \to \{1, \dots, n\}. Деякі з них мають нерухому точку (c=f(c)c = f(c)), а деякі — ні. Яких більше? Знайдіть різницю між кількостями функцій цих двох видів.
10–11 класиБієкції
Шорт-лист IMOIMOSL-2019-010

Послідовність з біноміальною властивістю суми

Нескінченна послідовність a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots (не обов'язково різних) цілих чисел має такі властивості: 0⩽ai⩽i0 \leqslant a_{i} \leqslant i для всіх цілих i⩾0i \geqslant 0, і (ka0)+(ka1)+⋯+(kak)=2k\binom{k}{a_{0}}+\binom{k}{a_{1}}+\cdots+\binom{k}{a_{k}}=2^{k} для всіх цілих k⩾0k \geqslant 0. Доведіть, що всі цілі числа N⩾0N \geqslant 0 трапляються в послідовності (тобто для всіх N⩾0N \geqslant 0 існує i⩾0i \geqslant 0 таке, що ai=Na_{i}=N).
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2011-039

Роздачі карт без карт власного кольору

Колода складається з 3n3n карт: по nn карт червоного, зеленого та синього кольорів з номіналами від 11 до nn. Ми вибираємо підмножину SS номіналів і роздаємо всі карти вибраних номіналів у три руки однакового розміру гравцям, яких названо червоним, зеленим і синім, так, щоб жоден гравець не отримав карту свого кольору. Доведіть, що кількість роздач, для яких номінали, що з’являються в руці червоного гравця, — це 1,2,…,k1, 2, \dots, k, дорівнює (nk)(2kk)\binom{n}{k}\binom{2k}{k}. (Тобто вона не залежить від розміру SS.)
10–11 класиКомбінації
Шорт-лист IMOIMOSL-2011-011

Подільність степеневої суми на просте число

Нехай pp — непарне просте число. Для кожного цілого числа aa визначимо число Sa=a1+a22+⋯+ap−1p−1.S_{a} = \frac{a}{1} + \frac{a^{2}}{2} + \cdots + \frac{a^{p-1}}{p-1}. Нехай mm і nn — цілі числа такі, що S3+S4−3S2=mnS_{3} + S_{4} - 3 S_{2} = \frac{m}{n} Доведіть, що pp ділить mm.
10–11 класиМала теорема Ферма2 розв’язки
Румунський майстер математики (RMM)RMM-2011-002

Многочлен з цілими значеннями поза кратними n

Знайдіть усі натуральні числа nn, для яких існує многочлен f(x)f(x) степеня, меншого від nn, із дійсними коефіцієнтами, що має таку властивість: для кожного цілого kk число f(k)f(k) ціле тоді й лише тоді, коли kk не ділиться на nn.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Шорт-лист Балтійського шляхуBWSL-2009-036

Цілість частки з біноміальним коефіцієнтом

Доведіть, що для кожного цілого nn 11+n(4n+12n)\frac{1}{1+n}\binom{4n+1}{2n} є цілим числом.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Балтійський шляхBW-2002-016

Біноміальні коефіцієнти за модулем 2002

Доведіть, що послідовність (20022002),(20032002),(20042002),…\left(\begin{array}{l} 2002 \\ 2002 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 2003 \\ 2002 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2004 \\ 2002 \end{array}\right), \ldots розглянута за модулем 20022002, є періодичною.
10–11 класиПеріодичні і неперіодичні послідо…
Північний математичний конкурс (NMC)NMC-1998-004

Кількість непарних біноміальних коефіцієнтів

Нехай nn — додатне ціле число. Підрахуйте кількість чисел k∈{0,1,2,…,n}k \in \{0,1,2, \ldots, n\} таких, що (nk)\binom{n}{k} є непарним. Покажіть, що це число є степенем двійки, тобто має вигляд 2p2^{p} для деякого невід’ємного цілого числа pp.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2025-035

Очікувана кількість перебувань у максимумі замкненого блукання

На координатній площині замкнений ґратчастий цикл довжини 2n2n — це послідовність точок цілочисельної решітки P0,P1,P2,…,P2nP_{0}, P_{1}, P_{2}, \ldots , P_{2n} така, що P0P_{0} і P2nP_{2n} збігаються з початком координат, а PiPi+1=1P_{i}P_{i + 1} = 1 для кожного ii. Замкнений ґратчастий цикл довжини 20262026 вибирають рівномірно навмання серед усіх таких циклів. Нехай kk — найбільше ціле число таке, що пряма ℓ\ell з рівнянням x+y=kx + y = k проходить принаймні через одну точку циклу. Обчисліть математичне сподівання кількості індексів ii таких, що 0≤i≤20250 \leq i \leq 2025 і PiP_{i} лежить на прямій ℓ\ell. (Точка цілочисельної решітки — це точка з цілими координатами.)
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Американські математичні змагання 10 (AMC 10)AMC10-2024-020

Мови з попарно різними множинами

На математичне змагання з'їхалися 100 учнів із різних країн. Кожен учень знає однакову кількість мов, причому для кожної пари учнів AA та BB учень AA знає якусь мову, якої не знає учень BB, а учень BB знає якусь мову, якої не знає учень AA. Яка найменша можлива загальна кількість мов, якими володіють усі учні разом? (A) 9 (B) 10 (C) 12 (D) 51 (E) 100
8–10 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-101

Сума біноміальних коефіцієнтів за модулем 8

Нехай rkr_{k} — остача від ділення (127k)\binom{127}{k} на 88. Обчисліть r1+2r2+3r3+⋯+63r63r_{1} + 2 r_{2} + 3 r_{3} + \cdots + 63 r_{63}.
10–11 класиВластивості біноміальних коефіціє…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-144

Випадкова послідовність з умовою опуклості

Нехай x0=x101=0x_{0} = x_{101} = 0. Числа x1,x2,…,x100x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{100} вибрано випадково з проміжку [0,1][0,1] рівномірно й незалежно. Обчисліть імовірність того, що 2xi≥xi−1+xi+12 x_{i} \geq x_{i-1} + x_{i+1} для всіх i=1,2,…,100i = 1, 2, \ldots, 100.
10–11 класиПерестановки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2023-029

Підрахунок послідовностей ходів з двома відніманнями

Число 770770 написане на дошці. Мелоді неодноразово виконує ходи, причому хід полягає у відніманні від числа на дошці або 4040, або 4141. Вона виконує ходи, доки число не стане недодатним, а тоді зупиняється. Нехай NN — кількість послідовностей ходів, які могла виконати Мелоді. Припустимо, що N=a⋅2bN = a \cdot 2^{b}, де aa — непарне натуральне число, а bb — невід'ємне ціле число. Обчисліть 100a+b100a + b.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2022-139

Шляхи на решітці з правилами повороту

Нехай S={(x,y)∈Z2∣0≤x≤11,0≤y≤9}S=\{(x, y) \in \mathbb{Z}^2 \mid 0 \leq x \leq 11, 0 \leq y \leq 9\}. Обчисліть кількість послідовностей (s0,s1,…,sn)(s_0, s_1, \ldots, s_n) з елементів множини SS (для довільного натурального числа n≥2n \geq 2), які задовольняють такі умови: - s0=(0,0)s_0 = (0,0) і s1=(1,0)s_1 = (1,0), - s0,s1,…,sns_0, s_1, \ldots, s_n різні, - для всіх цілих чисел 2≤i≤n2 \leq i \leq n точка sis_i одержана обертанням si−2s_{i-2} навколо si−1s_{i-1} на 90∘90^\circ або 180∘180^\circ за годинниковою стрілкою.
10–11 класиКомбінації
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2021-086

Рекурсивна функція на цілочисельній решітці

Функція f:Z2→Zf: \mathbb{Z}^2 \rightarrow \mathbb{Z} задовольняє умови - f(x,0)=f(0,y)=0f(x, 0) = f(0, y) = 0, а - f(x,y)=f(x−1,y)+f(x,y−1)+x+yf(x, y) = f(x-1, y) + f(x, y-1) + x + y для всіх невід'ємних цілих чисел xx і yy. Знайдіть f(6,12)f(6,12).
10–11 класиМетод допоміжних функцій: g(x) =…
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-123

Інтерполяційний многочлен у новій точці

Нехай P(x)P(x) — єдиний многочлен степеня не вище 20202020, такий, що P(k2)=kP\left(k^{2}\right)=k для k=0,1,2,…,2020k=0,1,2, \ldots, 2020. Обчисліть P(20212)P\left(2021^{2}\right).
10–11 класиІнтерполяційні многочлени2 розв’язки
Математичний турнір Гарвард-MIT (HMMT)HMMT-2020-144

Очікувана абсолютна різниця гербів і решок

Макс раз за разом підкидає симетричну монету в ураган. При кожному кидку є 4%4\% шанс, що монету знесе вітром. Він записує кількість гербів HH і кількість решок TT до втрати монети. (Якщо монету знесло під час кидка, результат цього кидка не записується.) Чому дорівнює математичне сподівання величини ∣H−T∣|H-T|?
10–11 класиСуми послідовностей3 розв’язки

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.