Apex Minds

Олімпіадні задачі з математики

Найбільший банк задач українською мовою

21 566 задач 58 змагань 51 рік

Усі задачі

Задачі дня

Пошук задач

647 задач
АлгебраЧислові нерівності
Математичний гурток БеркліBMC-2017-010

Нерівність у рекурентній послідовності дійсних чисел

Нехай a1,a2,…a_{1}, a_{2}, \ldots — нескінченна послідовність додатних дійсних чисел, яка задовольняє an+1≥an2+15a_{n+1} \geq a_{n}^{2}+\frac{1}{5} для кожного натурального числа nn. Доведіть, що an+5≥an−5\sqrt{a_{n+5}} \geq a_{n-5} для кожного натурального числа nn.
Числові нерівності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-007

Невід’ємність квадратичної форми

Проста, але досить корисна нерівність — це x2≥0x^{2} \geq 0 для будь-якого дійсного xx. Щоб довести її, достатньо окремо розглянути такі можливості: x>0,x<0x>0, x<0 або x=0x=0. Справді, добуток додатного дійсного числа на додатне дійсне число є додатним, добуток від’ємного дійсного числа на інше від’ємне дійсне число також є додатним і, нарешті, 0⋅0=00 \cdot 0=0. З цієї нерівності можна вивести інші, не настільки елементарні. Наприклад, для будь-яких дійсних чисел xx і yy справедлива нерівність x2+xy+y2≥0x^{2}+x y+y^{2} \geq 0, оскільки x2+xy+y2=(x2+2xy2+y24)+3(y24)=(x+y2)2+3(y2)2≥0\begin{aligned} x^{2}+x y+y^{2} & =\left(x^{2}+\frac{2 x y}{2}+\frac{y^{2}}{4}\right)+3\left(\frac{y^{2}}{4}\right) \\ & =\left(x+\frac{y}{2}\right)^{2}+3\left(\frac{y}{2}\right)^{2} \\ & \geq 0 \end{aligned} В останній нерівності ми використали, що (x+y2)2≥0 і (y2)2≥0\left(x+\frac{y}{2}\right)^{2} \geq 0 \text{ і } \left(\frac{y}{2}\right)^{2} \geq 0. Розглянемо тепер застосування цих нерівностей. Нехай aa і bb — дійсні числа такі, що a3−b3=2a^{3}-b^{3}=2 і a5−b5≥4a^{5}-b^{5} \geq 4. а. Знаючи, що для будь-яких дійсних xx і yy виконується x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)x^{3}-y^{3}=(x-y)\left(x^{2}+x y+y^{2}\right), доведіть, що a>ba>b. б. Доведіть, що a2+b2≥2a^{2}+b^{2} \geq 2.
Числові нерівності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2017-055

Рекурентна послідовність з приростом оберненого квадрата

Послідовність дійсних чисел xnx_{n} — це впорядкований список дійсних чисел, у якому перше число списку — це член x1x_{1}, друге — член x2x_{2} і так далі. Наприклад, звичайну послідовність додатних цілих чисел можна описати як xn=nx_{n}=n для всіх натуральних чисел nn. Деякі послідовності можна задавати рекурентними співвідношеннями, у яких член визначається через свої попередні. Наприклад, послідовність додатних цілих чисел можна було б задати як x1=1x_{1}=1 і xn=xn−1+1x_{n}=x_{n-1}+1 для всіх натуральних чисел n≥2n \geq 2. Тоді можна було б обчислити x2=1+1=2x_{2}=1+1=2, x3=2+1=3x_{3}=2+1=3 і так далі. Розглянемо послідовність дійсних чисел, задану як x1=1x_{1}=1 і xn=xn−1+1xn−12x_{n}=x_{n-1}+\frac{1}{x_{n-1}^{2}} для всіх натуральних чисел n≥2n \geq 2. a) Обчисліть x2,x3x_{2}, x_{3} і x4x_{4}. b) Перевірте, що послідовність строго зростає, тобто що xn>xn−1x_{n}>x_{n-1} для всіх натуральних чисел nn. c) Зауважимо, що послідовність, здається, зростає дуже повільно. Після обчислення кількох початкових членів можна було б запідозрити, що жоден член не перевищує 2016, але насправді ми доведемо, що існують члени, більші за 2016. Для цього скористаємося допоміжною послідовністю yn=xn3y_{n}=x_{n}^{3}. Доведіть, що yn>yn−1+3y_{n}>y_{n-1}+3 для всіх n≥2n \geq 2. d) Доведіть, що існує таке число NN, що xN>2016x_{N}>2016.
Послідовності (інші властивості)
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2015-001

Порівняння нормованих гармонічних сум

Яке з чисел більше — AA чи BB, де A=12015(1+12+13+⋯+12015)іB=12016(1+12+13+⋯+12016)?A=\frac{1}{2015}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2015}\right) \quad \text{і} \quad B=\frac{1}{2016}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2016}\right) ? Доведіть, що ваша відповідь правильна.
Числові нерівності
Математичний гурток БеркліBMC-2015-014

Найбільше значення квадратичного виразу за фіксованої суми

Нехай xx і yy — дійсні числа, для яких x+y=5x + y = 5. Яке найбільше можливе значення x2+2xyx^{2} + 2 x y?
Числові нерівності
Математичний гурток БеркліBMC-2015-012

Найбільше середнє квадратів за нульової суми кубів

Знайдіть із доведенням найбільше можливе значення x12+⋯+xn2n\frac{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}{n} де дійсні числа x1,…,xn≥−1x_{1}, \ldots, x_{n} \geq -1 задовольняють x13+⋯+xn3=0x_{1}^{3}+\cdots+x_{n}^{3}=0.
Числові нерівності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2015-034

Нерівність між середнім квадратичним і геометричним

а) Квадрат будь-якого дійсного числа більший або дорівнює 00, причому дорівнює 00 лише тоді, коли саме число, піднесене до квадрата, дорівнює 00. Отже, для будь-яких дійсних чисел aa і bb маємо (a−b)2≥0(a-b)^2 \geq 0. Доведіть, що a2+b22≥ab\frac{a^2+b^2}{2} \geq a b причому рівність досягається лише коли a=ba=b. б) На рисунку нижче показано квадрат зі стороною 11, що має спільну вершину з горизонтальною прямою. Розглянувши всі положення, в яких квадрат «торкається» прямої лише однією зі своїх вершин, знайдіть найбільшу можливу площу п'ятикутника ABCEFA B C E F, де EE і FF — ортогональні проєкції вершин AA і CC на горизонтальну пряму.
Числові нерівності
Математичний гурток БеркліBMC-2013-019

Симетрична нерівність із шостими степенями

Доведіть, що для всіх дійсних чисел a,b,ca, b, c, a6+b6+c6−3a2b2c2≥12(a−b)2(b−c)2(c−a)2a^{6} + b^{6} + c^{6} - 3 a^{2} b^{2} c^{2} \geq \frac{1}{2}(a-b)^{2}(b-c)^{2}(c-a)^{2}
Числові нерівності
Естонські відкриті конкурсиESTOC-2012-002

Максимум частки симетричних сум

Нехай xx, yy, zz — додатні дійсні числа, сума яких дорівнює 20122012. Знайдіть найбільше значення (x2+y2+z2)(x3+y3+z3)(x4+y4+z4)\frac{(x^2 + y^2 + z^2)(x^3 + y^3 + z^3)}{(x^4 + y^4 + z^4)}
Числові нерівності
Математична олімпіада району затоки (BAMO)BAMO-2010-003

Нерівність між сумою чисел і середнім їх модулів

Нехай a,b,ca, b, c — дійсні числа, для яких a+b≥0a+b \geq 0, b+c≥0b+c \geq 0 і c+a≥0c+a \geq 0. Доведіть, що a+b+c≥∣a∣+∣b∣+∣c∣3.a+b+c \geq \frac{|a|+|b|+|c|}{3} . (Зауваження: ∣x∣|x| називається абсолютною величиною (модулем) числа xx і визначається так: якщо x≥0x \geq 0, то ∣x∣=x|x|=x; якщо ж x<0x<0, то ∣x∣=−x|x|=-x. Наприклад, ∣6∣=6|6|=6, ∣0∣=0|0|=0 і ∣−6∣=6|-6|=6.)
Лінійні нерівності та системи3 розв’язки
Математичний гурток БеркліBMC-2008-004

Нерівність із квадратними коренями та модулем

Нехай aa і bb — ненульові дійсні числа. Доведіть, що справджується принаймні одна з таких нерівностей: ∣a+a2+2b22b∣<1∣a−a2+2b22b∣<1\begin{aligned} & \left|\frac{a+\sqrt{a^{2}+2 b^{2}}}{2 b}\right|<1 \\ & \left|\frac{a-\sqrt{a^{2}+2 b^{2}}}{2 b}\right|<1 \end{aligned}
Числові нерівності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2007-029

Порівняння виразів зі степенями

Запишіть наведені нижче числа в порядку спадання: 35,3−2/3,3−2,(13)3,(13)−1\sqrt[5]{3}, \quad 3^{-2 / 3}, \quad 3^{-2}, \quad\left(\frac{1}{3}\right)^{3}, \quad\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}
Корені та степені
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-125

Квадратне рівняння з ірраціональними коренями

Який із коренів рівняння 2(x−35)(x−53)=02(x-3 \sqrt{5})(x-5 \sqrt{3})=0 менший?
Числові нерівності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-067

Дроби виду n/(n+1), менші за 7/9

Скільки існує дробів виду nn+1\frac{n}{n+1}, менших за 79\frac{7}{9}, якщо nn — натуральне число? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Числові нерівності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-078

Властивості модуля та порівняння

Визначте, які з тверджень є істинними: (A) ∣−108∣>100|-108|>100 (B) ∣5−13∣=∣5∣−∣13∣|5-13|=|5|-|13| (C) ∣2−9∣=9−2|2-9|=9-2 (D) ∣a2+5∣=a2+5|a^{2}+5|=a^{2}+5 (E) ∣−6a∣=6∣a∣|-6 a|=6|a|
Числові нерівності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-086

Неправильна нерівність для x, y і z

Якщо x>0x > 0, y>0y > 0, x>yx > y і z≠0z \neq 0, то єдиний неправильний варіант — це: (A) x+z>y+zx + z > y + z (B) x−z>y−zx - z > y - z (C) xz>yzx z > y z (D) xz2>yz2\frac{x}{z^{2}} > \frac{y}{z^{2}} (E) xz2>yz2x z^{2} > y z^{2}
Числові нерівності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-119

Натуральне число з дробовими обмеженнями

Якщо nn — натуральне число й n24\frac{n}{24} — число між 16\frac{1}{6} і 14\frac{1}{4}, то nn дорівнює: (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9
Перетворення дробів
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-014

Порядок за зростом з однаковими значеннями

Луїза, Марія, Антоніу та Жуліу — брати і сестри. Двоє з них мають однаковий зріст. Відомо, що: - Луїза вища за Антоніу - Марія нижча за Луїзу - Антоніу вищий за Жуліу - Жуліу нижчий за Марію. Хто з них має однаковий зріст? A) Марія і Жуліу B) Жуліу і Луїза C) Антоніу і Луїза D) Антоніу і Жуліу E) Антоніу і Марія
Числові нерівності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-019

Знаки чисел із додатних часток

Знак добутку і знак частки: aa, bb, cc і dd — чотири ненульові числа такі, що частки a5\frac{a}{5}, −b7a\frac{-b}{7 a}, 11abc\frac{11}{a b c}, −18abcd\frac{-18}{a b c d} додатні. Визначте знаки чисел aa, bb, cc і dd.
Числові нерівності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-069

Система нарахування балів зі штрафами

Ана, Бенто і Лукас беруть участь у конкурсі, що складається з 20 запитань, з такими правилами: - кожна правильна відповідь дає 5 балів, - кожна неправильна відповідь забирає 3 бали, - кожна пропущена відповідь забирає 2 бали. Результати наведено в таблиці нижче: | | Кількість правильних відповідей | Кількість неправильних відповідей | Кількість пропущених відповідей | |:--- |:---: |:---: |:---: | | Ана | 12 | 4 | 4 | | Бенто | 13 | 7 | 0 | | Лукас | 12 | 3 | 5 | Записавши імена цих трьох учасників від найвищого місця в конкурсі до найнижчого, отримаємо: A) Ана, Бенто, Лукас B) Лукас, Бенто, Ана C) Ана, Лукас, Бенто D) Лукас, Ана, Бенто E) Бенто, Лукас, Ана
Числові нерівності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-061

Порівняння раціональних виразів

Якщо x>5x > 5, то яке з чисел, наведених нижче, є найменшим? (A) 5x\dfrac{5}{x} (B) 5x+1\dfrac{5}{x+1} (C) 5x−1\dfrac{5}{x-1} (D) x5\dfrac{x}{5} (E) x+15\dfrac{x+1}{5}
Числові нерівності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-020

Порівняння радикалів і цілих чисел

Які з наведених нижче чисел є від'ємними? 10−31110 - 3 \sqrt{11}; 311−103 \sqrt{11} - 10; 18−51318 - 5 \sqrt{13}; 51−102651 - 10 \sqrt{26}; 1026−5110 \sqrt{26} - 51.
Числові нерівності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-022

Найбільший перепад температури за таблицею

У таблиці показано максимальні й мінімальні температури протягом 5 днів поспіль у певному місті. У який день був найбільший перепад температури? | День | Максимальна температура в ∘C^{\circ} \mathrm{C} | Мінімальна температура в ∘C^{\circ} \mathrm{C} | |:----------:|:------------------------------------------:|:-------------------------------------------:| | понеділок | 7 | -12 | | вівторок | 0 | -11 | | середа | -2 | -15 | | четвер | 9 | -8 | | п'ятниця | 13 | -7 |
Числові нерівності
Бразильська математична олімпіада (OBM)OBM-2006-094

Кількість кіл на круговій доріжці

Андре тренується до марафону, бігаючи кола навколо кругової доріжки радіуса 100 м100~\text{м}. Щоб подолати приблизно 42 км42~\text{км}, кількість кіл, які Андре має пробігти, перебуває між: A) 11 і 1010 B) 1010 і 5050 C) 5050 і 100100 D) 100100 і 500500 E) 500500 і 10001000
Наближення дійсних чисел і оцінки
Математичний гурток БеркліBMC-2003-001

Кругова послідовність із сумою сусідів

а) Однієї неділі Звезда написала по колу 14 чисел так, що кожне число дорівнює сумі двох своїх сусідів. Доведіть, що сума всіх 14 чисел дорівнює 0. б) Наступної неділі Звезда написала по колу 21 число, і цього разу кожне число дорівнювало половині суми двох його сусідів. Чому дорівнює сума всіх 21 числа, якщо одне з чисел дорівнює 3?
Підрахунок двома способами

Для учнів, батьків і вчителів

Рекомендації щодо вивчення олімпіадної математики

Олімпіадної математики не вчать за підручником — її вчать у гуртку, задача за задачею, роками. Нижче: як влаштований гурток, що кажуть дослідження про те, як цього навчаються, і як зібрати собі задачі з цього банку.

Гурток за п’ять хвилин

Урок у школі показує спосіб і дає вправи на нього. Гурток дає задачу, до якої спосіб ще треба знайти, — і саме це вміння в ній головне.

Заняття зазвичай одне на тиждень, дві-три години, і має сталу форму:

  1. Листоккоротка теорія і 10–20 задач за зростанням складності
  2. Самостійна роботапоодинці або по двоє-троє; викладач дає підказку, а не розв’язок
  3. Усна здачапояснити свій розв’язок і чому кожен крок правильний
  4. Розбіркілька різних розв’язків однієї задачі
Усна здача — головне в занятті: саме тут виявляється, що «очевидно» ще не доведено. А нерозв’язані задачі не зникають: вони лишаються в листку на тиждень і довше.

П’ять років програми

Програма, за якою побудована «Тематика» цього банку задач, — це 250 тем у чотирьох предметах, розкладених на п’ять років. Рік навчання — це не шкільний клас: дев’ятикласник, який прийшов уперше, починає з першого року.

Фази перекриваються: тему проходять не один раз, а повертаються до неї наступного року глибше.

Роки 1–2. Мова. Парність, остачі, подільність, НСД; принцип Діріхле, інваріанти, підрахунок двома способами, ігри та симетрія; кути, подібність, вписані кути, вписане й описане кола. Головне надбання цих років — не список фактів, а вміння записати міркування так, щоб його можна було перевірити.

Роки 2–3. Методи. Мала теорема Ферма й теорема Ейлера, діофантові рівняння (факторизація, спуск, затискання), індукція; графи; «оцінка і приклад», аналіз з кінця, бієкції; многочлени, теорема Вієта, нерівність Коші; площі, теореми Чеви й Менелая, степінь точки, перетворення, координати й вектори.

Роки 3–5. Поглиблений рівень. Лема про підняття показника, квадратичні лишки, стрибки Вієта, рівняння Пелля; функціональні рівняння; рекурентні послідовності; інверсія, проєктивна геометрія, комбінаторна геометрія. Тут задача рідко піддається одному прийому.

Зверніть увагу, як названі теми: «підрахунок двома способами», «аналіз з кінця», «допоміжне коло». Це не розділи знань, а прийоми. Знати прийом означає впізнавати задачу, у якій він спрацює, — а не вміти його переказати.

Шість правил, підтверджених дослідженнями

  1. Не кидайте задачу через десять хвилин — але й не тримайтеся мертво за першу ідею. Алан Шенфельд опитав понад двісті школярів: у середньому вони вважали, що звичайна домашня задача має забирати 2,2 хвилини, а через 11,7 хвилини вже можна вирішити, що вона нерозв’язна. З таким переконанням учень здається за крок до розв’язку. Є й протилежна вада: типовий учень обирає перший-ліпший шлях і йде ним усі двадцять хвилин, жодного разу не спитавши себе, чи веде цей шлях кудись, — а математик ставить це питання постійно. Раз на кілька хвилин зупиніться: що я зараз роблю і навіщо?
  2. Спершу спробуйте самі, потім читайте пояснення. У дослідженнях «продуктивної невдачі» Ману Капура учні, які спочатку самі шукали розв’язок нової для них задачі й лише потім отримували пояснення, розуміли матеріал глибше й краще переносили його на незнайомі задачі, ніж ті, кому пояснили одразу.
  3. Скільки саме сидіти над задачею — залежить від досвіду. Новачкові, у якого ще немає схем у голові, година мовчазної боротьби переважно дає втому: 10–20 хвилин, а тоді розбір готового розв’язку. Досвідченому, навпаки, готовий розв’язок стає зайвим і навіть заважає — для нього година самостійної роботи над однією задачею нормальна. Це ефект розібраних прикладів і його зворотний бік для досвідчених — обидва добре описані в психології навчання.
  4. Читайте розв’язок заради однієї ідеї. Шукайте одне-два речення з кроком, якого ви не знайшли; решта виводиться самостійно. Далі закрийте текст і відтворіть розв’язок із нуля, а через тиждень перевірте, чи відтворюється він без підказки. Прочитане здається зрозумілим і зникає за два дні.
  5. Перемішуйте теми. У дослідженні Дага Рорера та його колег 54 класи впродовж чотирьох місяців розв’язували або перемішані набори задач, або набори з однієї теми. На неоголошеній контрольній через місяць «перемішані» набрали 61 % проти 38 %. Під час роботи перемішане здається важчим — це не вада, а ознака того, що воно працює.

    Результат контрольної через місяць

    Перемішані задачі 61 %
    Задачі блоками 38 %
    54 класи, чотири місяці занять, неоголошена контрольна.
  6. Розтягуйте в часі, а не «ще десять таких самих». У тих самих авторів десять задач, розподілених на два заняття, майже подвоїли результат через чотири тижні порівняно з тими самими десятьма за одне заняття. А збільшення з трьох задач до дев’яти в межах одного заняття не дало нічого.

Звідси й розумна норма самостійної роботи: п’ять задач на тиждень із різних тем, доведених до кінця й записаних, плюс одна складна «фонова», до якої ви повертаєтеся.

Ритм олімпіадного року

Державна олімпіада — Всеукраїнська — йде сходинками, і це не просто різні рівні, а різні жанри задач.

Восени розумно працювати з базовими темами й районними задачами, взимку — з обласними, навесні — із задачами Всеукраїнського етапу. Готуйтеся до наступної сходинки, а не до тієї, що вже дається.

Але драбина — це не весь олімпіадний рік. Поряд із нею йдуть турніри — математичні бої, каруселі, командні чемпіонати, — відкриті олімпіади, міжнародні й закордонні змагання. У них свої календарі й своя форма: командна, усна, з обмеженим часом на хід. Матбій, наприклад, тренує саме усну здачу, з якої починається гурток. Сходинок у них немає, і складність там не впорядкована: турнірна задача може бути легшою за районну й важчою за задачу Всеукраїнського етапу.

Як зібрати задачі тут

Тут понад 20 000 задач з розв’язками: задачі українських олімпіад і турнірів, а також з міжнародних і зарубіжних змагань у перекладі українською. Кожна позначена темами тієї самої програми.

Серед задач українських змагань турнірів більше, ніж державних олімпіад:

Турніри 54 %
Державні олімпіади 29 %
Відкриті олімпіади 9 %
Відбір до збірної 4 %
Міжнародні 4 %
Частки задач українських змагань, вересень 2026. Матбої, каруселі й командні чемпіонати — це половина з них.

Два способи, що випливають із правил вище. Листок: одна тема, 5–6 задач районного рівня, далі 3–4 обласного. Повторення: кілька вже вивчених тем разом, задачі впереміш — щоб ніхто не підказував, з якої вони теми.

Перейти до пошуку задач

Ці рекомендації описують усталену практику математичних гуртків і не є офіційною програмою якогось одного з них. Гурток із живим викладачем вони не замінюють — але задачі, над якими там працюють, тут є.

Про проєкт

Apex Minds — відкритий архів олімпіадних задач з математики українською мовою. Майже всі задачі — з розв’язками. Безкоштовно і без реєстрації.

Усі задачі Як вчитися

Автори задач

Кожну задачу в архіві хтось придумав: учителі, науковці, члени журі олімпіад. Десятиліттями вони складали задачі, на яких виросли покоління українських математиків, — і ми їм вдячні.

Усі автори задач

Що в архіві

В архіві зібрано задачі українських олімпіад і турнірів. Серед них Всеукраїнська олімпіада від районного етапу до відбірково-тренувальних зборів, київські олімпіади, математичні бої, каруселі й командні чемпіонати.

Задачі міжнародних змагань і національних олімпіад інших країн перекладено українською.

Українські олімпіади й турніри

Міжнародні олімпіади

Змагання інших країн

Решта змагань — у фільтрі «Змагання» на сторінці пошуку задач.

Що є в кожної задачі

Умова, відповідь і розв’язок
Відповідь і розв’язок сховані, доки ви їх не відкриєте: спершу можна подумати самому.
Теми
Кожна задача позначена темами з програми на 250 тем у чотирьох предметах: теорія чисел, алгебра, комбінаторика, геометрія. Як ця програма розкладена на роки навчання, розказано в рекомендаціях.
Складність
Число від 1 до 20 і рівень: шкільний, конкурсний, олімпіадний або дуже складний. Воно є майже в кожної задачі, і в пошуку за ним можна відбирати.
Код
Наприклад, IMO-2023-003. Він не змінюється, тож задачу можна знайти за кодом у пошуку і послатися на неї в листку чи в чаті.

З чого почати

Кожна добірка на сторінці пошуку має власну адресу: відберіть задачі фільтрами й надішліть посилання учням або збережіть його собі. Кілька готових добірок:

Як працювати із задачами — скільки сидіти над однією, як читати розв’язок, як скласти листок, — описано в розділі «Як вчитися».

Хто це робить

Apex Minds — некомерційний освітній проєкт фонду Apex Talent. Фонд також проводить Apex XY — програму олімпіадної математики й англійської для 8–9 класів.

Помилки та пропозиції

Помітили помилку в умові чи розв’язку або маєте інший розв’язок? На сторінці кожної задачі є кнопка «Повідомити / запропонувати». З іншими питаннями пишіть нам через apex-talent.org.

Подяка

Автори задач

За кожною задачею в цьому архіві стоїть людина, яка її вигадала. Учителі, викладачі університетів, науковці, члени журі, колишні олімпіадники — десятиліттями вони складали задачі для олімпіад і турнірів, найчастіше у вільний час. Саме на їхніх задачах виросли покоління українських математиків. Ця сторінка — наша подяка їм.

Окрема подяка

Богдан Рубльов

Понад двадцять років Богдан Рубльов складає задачі для українських олімпіад: Всеукраїнської олімпіади — від обласного етапу до відбору до збірної, — турнірів математичних боїв імені академіка І. І. Ляшка, київських олімпіад. Його задачі є на кожній сходинці олімпіадного шляху, і чимало українських задач у нашому архіві — саме його.

Дякуємо за роки праці, за щедрість ідей і за задачі, з яких почалася математика для багатьох школярів.

Українські олімпіади й турніри

Автори задач Всеукраїнської олімпіади та відбору до збірної, київських і регіональних олімпіад, математичних боїв.

  • А. Акопян
  • Андрій Анікушин
  • Галина Апостолова
  • Андрій Арман
  • О. Артемчук
  • Артем Батоговський
  • Олексій Бачерніков
  • Леонід Бедратюк
  • Ярослав Безверхнєв
  • Всеволод Биков
  • Юрій Білецький
  • Євген Білокопитов
  • Віктор Богданський
  • А. В. Бондаренко
  • Михайло Бондаренко
  • Володимир Брайман
  • Богдан Веклич
  • В. Висоцький
  • Марія Власенко
  • Денис Волошин
  • Ігор Воронович
  • Тетяна Герасимова
  • Андрій Гоголєв
  • Олександр Голованов
  • Кирило Голоднов
  • Алла Данилова
  • Олесь Добосевич
  • В. В. Дума
  • Сергій Жидков
  • Сергій Жиляєв
  • Юрій Жучок
  • Микола Заєць
  • Володимир Зуб
  • Богдан Ківва
  • Олексій Клурман
  • К. О. Кноп
  • Вадим Коваль
  • Андрій Коротков
  • Олег Крижанівський
  • Галина Крюкова
  • Олександр Кукуш
  • Матвій Курський
  • Олександр Курченко
  • Валентин Лейфура
  • В. В. Лиманський
  • А. Лисакевич
  • С. С. Лінчук
  • Ю. С. Лінчук
  • Віталій Лішунов
  • Антон Луньов
  • О. Майзліш
  • О. О. Малахов
  • Юрій Маліцький
  • О. С. Манзюк
  • Олексій Масалітін
  • Данило Мисак
  • Вадим Митрофанов
  • В. І. Михайловський
  • Борислав Мірчев
  • Ігор Мітельман
  • Д. Ю. Мітін
  • Микола Мороз
  • Ігор Нагель
  • Георгій Науменко
  • Захар Наумець
  • М. Наумов
  • О. Н. Нестеренко
  • Арсеній Ніколаєв
  • Станіслав Ніколаєнко
  • Дмитро Номіровський
  • А. Я. Оленко
  • Л. Л. Оридорога
  • Карло Пагано
  • М. О. Перестюк
  • Дмитро Петровський
  • Олексій Піскун
  • Володимир Плахотник
  • Михайло Плотников
  • В. Б. Полонський
  • Андрій Примак
  • Павло Проценко
  • Юхим Рабінович
  • Вадим Радченко
  • Данило Радченко
  • Олександр Рибак
  • Марія Рожкова
  • Олександр Руденко
  • В. Ф. Санніков
  • О. А. Сарана
  • Наїрі Седракян
  • Віра Семенова
  • Віталій Сенін
  • Назар Сердюк
  • С. В. Слободянюк
  • Вадим Соломка
  • О. Ю. Теплінський
  • Дмитро Терьошин
  • Олександр Терьошин
  • Т. Д. Тимошкевич
  • М. В. Ткач
  • Сергій Торба
  • Антон Тригуб
  • Едвард Туркевич
  • Андрій Уразовський
  • Олена Усольцева
  • Р. П. Ушаков
  • Іван Федак
  • Іван Фещенко
  • Микита Харін
  • Данило Хілько
  • Б. І. Чинік
  • Максим Чорний
  • Олексій Чубенко
  • Ліон Шайн
  • О. В. Шаповалов
  • Шохаг Шахжалал
  • Василь Швець
  • Георгій Шевченко
  • Варвара Шепельська
  • Михайло Штанденко
  • Сергій Шуклін
  • Н. М. Шунда
  • Федір Юдін
  • Владислав Юрашев
  • Кирило Юрченко
  • М. Й. Ядренко
  • М. С. Якір
  • Олександра Яковенко
  • В’ячеслав Ясінський

Міжнародні й закордонні змагання

Автори задач міжнародних олімпіад і змагань інших країн, які ми переклали українською.

  • Макс Алексєєв
  • Альф’єрі
  • Тіту Андреєску
  • Нітід Анчаленукун
  • Джон Берман
  • Вінсент Біан
  • Анкіт Бісайн
  • Кріт Бунсірісет
  • Альберт Ванг
  • Сем Вандервельде
  • Картік Венката Ведула
  • Герхард Воєгінгер
  • Джон Майкл Ву
  • Грегорі Галперін
  • Джої Гіренс
  • Олег Гольберг
  • Акаш Дас
  • Рішабх Дас
  • Д’Ауріціо
  • Пакавут Джираділок
  • Стів Дінь
  • Чжунхао Є
  • Александер Кац
  • Кіран Кедлая
  • Деніел Кейн
  • Габріель Керролл
  • Ізабелла Куан
  • Кузьмін
  • Дехо Джейкоб Лі
  • Ієн Лі
  • Мітчелл Лі
  • Джеймс Лін
  • Аллен Лю
  • Дерек Лю
  • Ріккі Лю
  • Делонг Менг
  • Шьям Нараянан
  • Ешаан Нічані
  • Еван О’Дорні
  • Андерс Олсен
  • Грегорі Пилипович
  • Космін Похоата
  • Саранеш Прембабу
  • Брайан Рейнхарт
  • Майкл Рен
  • Люк Робітай
  • Пітчают Саенгрунгконгка
  • Девід Спаєр
  • Варут Суксомпонг
  • Цян Сун
  • Шелдон Кірен Тан
  • Сарунью Тхонгджараст
  • Зумін Фенг
  • Мілан Хайман
  • Ґанмай Ханда
  • Донг’яо Цзян
  • Еван Чен
  • Шентонг Чжан
  • Фредді Чжао
  • Джой Чжен
  • Деніел Чжу
  • Тревіс Шедлер
  • Ерік Шен
  • Карл Шилдкраут
  • Бенджамін Шимабукуро
  • Кевін Янг
  • Юань Яо

Дякуємо

Олімпіадна задача — маленький твір: її треба придумати, перевірити, відшліфувати й зробити так, щоб вона була водночас красивою і цікавою. Кожна з них комусь уперше показала, що математика — це не лише вправи з підручника. Дякуємо всім, хто роками робить цю невидиму роботу.

Список неповний: автори багатьох задач не були вказані, і ми продовжуємо його доповнювати. Якщо ви автор задачі з архіву, а вашого імені тут немає або його написано неточно, напишіть нам на info@apex-talent.org — ми виправимо.